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ccapucine

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Système matriciel

Bonjour,
On considère le modèle suivant: pour tout $t \in [0,T]$:

\begin{equation}\label{2}
I'=a u_0 V-\beta I,
\end{equation}   
\begin{equation}\label{3}
V'= b I_{\tau} - \sigma V,
\end{equation}   
où
$$
I_{\tau}(t)= 0 \ \mbox{si} \ t \leq \tau, \ =I(t-\tau)\ \mbox{si} \ t > \tau.
$$   
    avec les conditions initiales
$$
I(0)=0, \ V(0)=v_0.
$$   

   
Ce système s'écrit sous la forme matricielle
\begin{equation}
    X'(t)= A(t) X(t) + b(t),
\end{equation}
où
$$
X(t)
=
\begin{pmatrix}
    I(t)\\V(t)
\end{pmatrix},
A(t)
=
\begin{pmatrix}
    &-\beta  &au_0\\
    &0 &-\sigma
\end{pmatrix},
b(t)
=
\begin{pmatrix}
    0\\
    I(t-\tau)
\end{pmatrix}.
$$

Par la formule de Duhamel, la solution s'écrit
\begin{equation}
    X(t)= e^{tA} X(0) + \displaystyle\int_0^t e^{(t-u)A} b(u) \ du.
\end{equation}

Sur $[0,\tau)$: on a $I(t-\tau)=0$, donc $b(t)=0$ et la solution s'écrit
\begin{equation}
    X(t)= e^{tA} X(0).
\end{equation}
On a
$$
X(\tau)= e^{\tau} X(0).
$$

\medskip

Sur $[\tau,2\tau)$: on a
\begin{equation}
    X(t)= e^{(t-\tau) A} X(\tau) + \displaystyle\int_{\tau}^t e^{(t-u)A} b(u) \ du,
\end{equation}

Je lis que $$I(u-\tau)= (e^{(u-\tau)A} X(0))_1$$ Que veut dire cette écriture? Svp.

Merci d'avance pour votre aide.

Zebulor

Membre expert

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Re : Système matriciel

Bonjour,
spontanément cette écriture m'évoque les notations d'Einstein mais je suis peut être complètement à côté de la plaque !