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Abdoumahmoudy

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Primalité de X^2 + 1

Bonjour ,
Je voudrais savoir pourquoi X^2+1 est premier dans R[X] ? J'essaie de trouver la démonstration ou de la démontrer mais au vain.

Abdou.

Paco del Rey

Invité

Re : Primalité de X^2 + 1

Tout simplement parce que $\mathbb R[X]/(X^2+1)$ est un corps. Bien connu par ailleurs.

Paco.

bridgslam

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Re : Primalité de X^2 + 1

Ce polynôme n'est pas nul, pas inversible, il reste à montrer que s'il divise un produit de deux polynômes, il divise l'un d'eux.
Par division euclidienne, ça revient à montrer qu'il ne peut pas diviser (X+a)(X+b), ce qui est du calcul.

Remarque:
Comme dans un anneau factoriel, premier équivaut à irréductible, tu peux aussi montrer qu'il n'est pas le produit de deux polynômes de degrés 1.

Alain

Abdoumahmoudy

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Re : Primalité de X^2 + 1

Bonjour bridgslam
J'ai pas compris deux choses , pourquoi vous avez dit que X^2+1 est inversible , c'est à dire , comment peut-on trouver un an pôlynome P de sorte que (X^2+1)P=1?
La deuxième chose pourquoi si X^2+1 /PQ ,alors elle divise P ou Q? Comment la montrer?
Dans l'arithmétique dans Z , on a si un entier relatif a divisant bc , alors il divise b ou divise c.Est ce qu'on a la même chose dans R[X] ?

Dernière modification par Abdoumahmoudy (25-10-2021 15:15:36)

bridgslam

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Re : Primalité de X^2 + 1

Bonjour,

Je n'ai pas dit cela. Relis bien ce que j'ai écrit, et les définitions ( premier, irréductible) dans un anneau.

Alain