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kadaide

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Loi binomiale variable aléatoire.

Bonjour,

Une personne invite ses amis et reçoit 117 réponses positives alors que la salle peut contenir que 100 personnes.
Elle estime qu'il y a 10% de chance qu'une personne se désiste.
Quelle est la probabilité de devoir changer de salle.

Soit la variable aléatoire X qui compte le nombre de personnes qui se désistent.
X---->B(117;0,01)
Il y a 17 personnes en trop.

J'hésite entre:
P(100<=X<=117)=0. Pratiquement  aucune personne se désiste et on change de salle.
et
P(X=17)=0,0318. Probabilité faible que les 17 personnes se désistent et on ne change pas de salle.

Merci d'avance.

Zarathoustram

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Re : Loi binomiale variable aléatoire.

Bonjour,

On te demande quelle est la probabilité de devoir changer de salle.
Demande-toi quelles valeurs ta variable X doit-elle prendre pour changer de salle.
C'est-à-dire, combien de personnes doivent se désister (les valeurs de X) pour qu'il y ait strictement plus que 100 personnes (donc changer de salle) ?
C'est-à-dire, combien de personnes doivent, au final, venir (117 moins le nombre de désistement, donc 117 - X) pour changer de salle ?

Quelques astuces: Comment traduirais-tu avec des mots l'évènement {100 ≤ X ≤ 117} ? De même avec {X = 17}. Sachant que tu définis "la variable aléatoire X qui compte le nombre de personnes qui se désistent". C'est un bon exercice en probabilité de faire ce genre de traduction, écris-les ici.
Autre chose: Fais attention, 10% ne se traduit pas par 0,01 ! Une probabilité sûr à 100%, c'est une probabilité de 1.
J'ai aussi besoin d'un petit éclaircissement: Pour toi, "X---->B(117;0,01)" signifie bien que X suit une loi binomiale de paramètres n = 117 et p = 0,01 ?

kadaide

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Re : Loi binomiale variable aléatoire.

Merci pour ta réponse et tes explications, reste à savoir si j'ai bien compris..

Pour toi, "X---->B(117;0,01)" signifie bien que X suit une loi binomiale de paramètres n = 117 et p = 0,01 ?

Oui, sauf que p=0,1 et non 0,01. (une faute de frappe)

{100 <= X ≤ 117} ?

au moins 100 personnes se désistent sur les 117 ( à mon avis ça n'a pas de sens.)

{X = 17}

.
exactement 17 personnes se désistent.

C'est-à-dire, combien de personnes doivent, au final, venir (117 moins le nombre de désistement, donc 117 - X) pour changer de salle ?

Je pense c'est ce qu'il faut utiliser. X compte le nombre de personnes qui se pointent et non qui se désistent.
X---->B(117;0,9)
Donc P(100 < X < 117 ) = 0,957. Une grande probabilité pour changer de salle. ça veut pas dire que ma conclusion est juste.

kadaide

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Re : Loi binomiale variable aléatoire.

Bonjour,
Je n'ai pas eu de réponse à mon dernier message, ça veut dire que ma réponse est juste ?

Zarathoustram

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Re : Loi binomiale variable aléatoire.

Bonjour,
Excuse moi pour le retard,
Effectivement, p = 0,1.
Tu dis que X est le nombre de personnes qui viennent, mais dans ton premier message c'est le nombre de personnes qui se désistent. Fais attention.

Je pars du principe que X est le nombre de personnes qui ne viennent pas (se désistent).
Effectivement, {100 ≤ X ≤ 117} correspond à l'évènement "au moins 100 personnes se désistent", plus exactement "il y a entre 100 et 117 personnes qui se désistent", ce qui a du sens, mais on ne s'intéresse pas à cet évènement là. Tu as aussi en répondu pour {X = 17}.

Maintenant, si X est le nombre de personnes qui viennent, on a en effet X---->B(117;0,9), et tu t'intéresses au bon évènement, c'est à dire {100 < X ≤ 117} (attention à l'inférieur ou égal, si 117 personnes viennent, il faut encore changer de salle), mais qui se traduit par "Il y a entre 101 et 117 personnes qui viennent. Et donc ta probabilité de 0,957, c'est la probabilité qu'entre 101 et 117 personnes viennent, et donc qu'il faille changer de salle. Et le calcul est juste ! (arrondie au millième)
Cependant, j'ose espérer que tu n'as pas fait le calcul de ta probabilité à la main (il faudrait sommer $\frac{117!}{k! (117 - k) !} 0, 9^k .0, 1^{117 - k}$ pour k de 0 à 100). On te permet de le faire à l'aide d'un calculateur ?

Bon courage pour la suite !

Dernière modification par Zarathoustram (19-10-2021 13:19:22)

kadaide

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Re : Loi binomiale variable aléatoire.

Tu dis que X est le nombre de personnes qui viennent, mais dans ton premier message c'est le nombre de personnes qui se désistent. Fais attention.

Dans mon deuxième message, après tes explications, j'ai précisé que X est le nombre de personnes qui se pointent.

Cependant, j'ose espérer que tu n'as pas fait le calcul de ta probabilité à la main (il faudrait sommer 117!k!(117−k)!0,9k.0,1117−k pour k de 0 à 100). On te permet de le faire à l'aide d'un calculateur ?

Aucun problème!
J'ai une ti nspire qui le fait d'un seul coup.

J'étais très content de tes explications car j'ai compris pas mal de choses sur la loi binomiale, j'ai encore d'autres questions sur le même sujet.