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#1 24-09-2021 09:56:05

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

polynôme complexe borné

Bonjour,

Peut-on montrer sans utiliser le théorème de Liouville que tout polynôme de [tex]\mathbb{C}[/tex](identifié à sa fonction associé) borné
sur [tex]\mathbb{C}[/tex]  est constant, à l'instar des polynômes réels ?

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#2 24-09-2021 10:28:21

Paco del Rey
Invité

Re : polynôme complexe borné

Bonjour bridgslam

Inégalité triangulaire ?

Paco.

#3 24-09-2021 10:29:41

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : polynôme complexe borné

Bonjour,

  En se restreignant à la variable réelle (même si les coefficients sont complexes) et en regardant le comportement quand x tend vers l'infini????

F.

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#4 24-09-2021 10:46:23

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : polynôme complexe borné

Bonjour,

J'ai essayé comme cela, cela ne m'a pas permis de conclure proprement.

Alain


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#5 24-09-2021 11:30:29

Paco del Rey
Invité

Re : polynôme complexe borné

Supposons $P = \sum\limits_{k=0}^n a_kX^k$ avec $a_n\neq0$ et $n>0$.
On suppose $\forall z \in \mathbb C, \; \vert P(z) \vert \leqslant M$.
On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \,\vert z \vert \leq M + \sum\limits_{k=0}^n \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n}  \leq M + \sum\limits_{k=0}^n \vert a_k \vert $
ce qui n'est pas possible.

On peut remplacer $\mathbb C$ par n'importe quelle partie de $\mathbb C$ non bornée.

Paco.

#6 24-09-2021 11:34:22

Paco del Rey
Invité

Re : polynôme complexe borné

Même si ce que j'ai écrit précédemment n'est pas faux, il vaut mieux lire :

On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \,\vert z \vert \leq \frac{M}{\vert z \vert^{n}} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n}  \leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert $
ce qui n'est pas possible.

Paco.

#7 24-09-2021 12:32:21

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : polynôme complexe borné

Bonjour Paco,

Sauf erreur tu utilises la majoration par M de la somme des modules des monômes.
Or on sait seulement que c'est le module de la somme des monômes qui est majoré... pas pareil.

Alain


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#8 24-09-2021 12:48:12

Paco del Rey
Invité

Re : polynôme complexe borné

On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$,
$a_nz^n = P(z) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}  a_k \,  z ^{k}$
Donc
[tex]
\begin{align*}
\vert a_n  z^n \vert &\leq \vert P(z) \vert + \left\vert \sum\limits_{k=0}^{n-1}  a_k \,  z ^{k} \right\vert\\
&\leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k}
\end{align*}
[/tex]
etc.

Paco.

#9 24-09-2021 13:00:17

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : polynôme complexe borné

Paco del Rey a écrit :

On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$,
$a_nz^n = P(z) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}  a_k \,  z ^{k}$
Donc
[tex]
\begin{align*}
... + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k}
\end{align*}
[/tex]
etc.

Paco.

Cela revient à ce que j'ai dit, comment majores-tu ensuite ton expression ( avec le module de z au moins égal à 1)...?
Voie sans issue sans autre hypothèse supplémentaire...

Alain


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#10 24-09-2021 13:12:02

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
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Messages : 1 299

Re : polynôme complexe borné

Ce qui est vrai ( pas de [tex]|z|[/tex] en facteur du terme de gauche )

On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \ \leq \frac{M}{\vert z \vert^{n}} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n}  \leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert $


inégalité qui n'apporte rien puisque l'expression de gauche est une constante, rien de contradictoire.
Un module de z malencontreux ( qui aurait bien arrangé les choses ) a du se glisser dans ton écriture.

Alain


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#11 24-09-2021 13:37:07

Paco del Rey
Invité

Re : polynôme complexe borné

Au temps pour moi, je n'ai pas divisé par la bonne puissance de $\vert z \vert$

On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \,\vert z \vert \leq \frac{M}{\vert z \vert^{n-1}} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n+1}  \leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert $
car toutes les puissances de $\vert z \vert$ sont négatives ou nulles.

Enfin on fait tendre $\vert z \vert$ vers $+\infty$ pour obtenir une contradiction.

Paco.

#12 24-09-2021 13:47:09

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : polynôme complexe borné

OK - merci. Pas besoin de Liouville donc.

Alain


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