Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 25-07-2021 11:41:00
- eric1
- Membre
- Lieu : Benin
- Inscription : 13-02-2021
- Messages : 10
Inégalités trigonométriques
Bonjour.
S'il vous plaît,peut on montrer que pour tout x positif,sin(x)<x!??
De même,tan(x)>x pour 0<x<π/2 et enfin
Sin(x)>2x/π pour 0<x<π/2.
Si oui,aidez moi à trouver une méthode et peut être un plan détaillé de démonstration.
Merci beaucoup d'avance
Hors ligne
#6 25-07-2021 14:56:59
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : Inégalités trigonométriques
Re,
Des fois que ma mémoire me joue des tours, j'ai vérifié devant ton imperturbable assurance :
n! (factorielle n) est définie comme $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1$ avec n entier naturel, et on admet que 0!=1
Mais donc, comment calcules-tu n! avec $n!=\frac {5\pi}{6}$, n qui n'est pas un entier naturel ?
Tu joues avec les arrondis ? Et de quel droit ?
Pour moi, et les définitions que j'ai lues, n doit être un entier naturel...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
Hors ligne
#7 25-07-2021 16:24:41
- eric1
- Membre
- Lieu : Benin
- Inscription : 13-02-2021
- Messages : 10
Re : Inégalités trigonométriques
@yoshi
Je crois que je suis embrouillé là.
Tout ce que je veux,c'est une aide.Pas de complication.
Sans vouloir vous verxer.
J'ai bien préciser au début que x est un réel.Je ne vois pas d'où vous sortez les entiers naturels et les factorielles??
Hors ligne
#8 25-07-2021 17:32:14
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : Inégalités trigonométriques
Bonsoir,
pour tout x positif,sin(x)<x!??
Ce n'est pas moi qui ait écrit x!... factorielle x
Ton ! faisait partie de ta ponctuation ?
Ah, bin ce n'est pas comme ça que je je l'avais pris...
Il faut faire attention à ta rédaction...
Dans ce cas, pour la première question,j'ai une idée, il faut que je la précise..
J'ai bien préciser au début que x est un réel
Absolument pas :
S'il vous plaît,peut on montrer que pour tout x positif,sin(x)<x!??
De même,tan(x)>x pour 0<x<π/2 et enfin
Sin(x)>2x/π pour 0<x<π/2.
positif, oui mais réel, non, ne figure pas dans ton texte. !
$x \in \mathbb R^+$ ou $x \in \mathbb R^{*+}$ ?
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
Hors ligne
#9 25-07-2021 18:20:09
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : Inégalités trigonométriques
Re,
J'opte pour $x$ réel strictement positif.
Soit f tel que $f(x)=\sin(x)-x$
$f'(x)=\cos(x)-1$
Or $\forall x \in \mathbb R$, $\cos(x)\leqslant 1$, donc $\forall x \in \mathbb R^{*+},\;\cos(x)\leqslant 1$ et $cos(x)-1\leqslant 0$
La dérivée est nulle pour x =0 et négative ensuite
Sur $]0\,;\,+\infty[$, la dérivée est strictement négative, en particulier sur $]0\,;\,2\pi[$
Donc, f est strictement décroissante et comme pour x=0, f(0)=0...
@+
[EDIT]
Pour la tangente
Travailler avec f telle que $f(x)=tan(x)-x$
Calculer sa dérivée, chercher son signe. En déduire le sens de variation de f sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$ puis sur $\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$
Sachant que f(0)=0, en déduire ensuite le signe de $tan(x)-x$ sur l'intervalle ouvert. Conclure.
Dernière modification par yoshi (25-07-2021 18:33:44)
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
Hors ligne
#12 27-07-2021 08:55:54
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : Inégalités trigonométriques
Bonjour,
T'aider oui, faire le bulot à ta place, non : je n'en ai déjà que trop fait. Mais j'étais ennuyé de ne pas avoir vu tout de suite qu'il fallait lire n!?? comme étant n !??...
Le plan est le même : via la dérivée de f telle que $f(x)=sin(x)-\frac{2x}{\pi}$, montrer que f est toujours strictement positive sur $\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$.
Il y a une petite variation par rapport aux deux exercices précédents (pas une difficulté, une variation !).
Réfléchis et reviens avec ta solution !
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
Hors ligne
#13 19-08-2021 10:05:05
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 299
Re : Inégalités trigonométriques
Bonjour,
Heureusement encore que ( à ma connaissance ) "?" et pire "??" ne sont pas des opérateurs sinon ça deviendrait compliqué :-) ...
Par-contre !! existe ( ne pas confondre avec la composée de factorielles, qui impose des parenthèses) et est pas mal utilisé en combinatoire.
Si hein=17 , cela ne devient-il pas bordélique hein!!???
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
Hors ligne
Pages : 1