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#1 07-07-2021 14:57:32

Bernard-maths
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MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous !

Cette 1ère discussion va servir de table des matières, évolutive en fonction des thèmes abordés, et des réactions de ceux qui participeront :

Le n° fait référence à la discussion : 03 -> discussion #3.

01 -> Table des matières

02 -> De quoi s'agit-il ? Et les alternatives ?

03 -> Max et le cube. Et en 2D ...

04 -> Puis le parallélépipède rectangle. Et en 2D ...

05 -> Equations de plans en 3D, ou de droites en 2D.
         Avec ou sans symétrie ...

06 -> Comment écrire des équations de plans ?

07 -> Pratiquement, 1er exemple programmé et dessiné par Wiwaxia.

08 -> Pratiquement, 2 variantes, GeoGebra et Maple.

09 -> Le triangle quelconque ...

10 -> Deux théorèmes pratiques !

11 -> Exemple rapide d'un polyèdre : l'ennéaèdre.

12 -> D'autres exemples à voir ailleurs ...

13 -> De l'octaèdre au cube dual, en trafiquant un peu ...

14 -> Equation d'un polygone convexe plein ! Sans max !

          Et théoriquement, équation pour tout polyèdre ... convexe ou non ...?*

15 -> Le produit vectoriel, applications ...

16 - > Un exemple en 2D ... triangle.

17 -> Un exemple en 3D ... triangle.

18 -> Autre exemple en 3D : quadrilatères et trou ...

19 -> SANS Max, un peu de tétraèdre ...

20 -> SANS Max, dodécaèdre rhombique étoilé : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 092#p98092

21 -> SANS MAX, le carré, le rectangle, ET le parallélogramme : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 093#p98093

22 -> Les polygones convexes réguliers à 2n côtés, et pyramides associées. https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 094#p98094

23 -> *

24 -> *

25 -> * Voilà !

Dernière modification par Bernard-maths (26-10-2023 18:05:29)


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#2 07-07-2021 15:05:46

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 02 :

De quoi s'agit-il ? Ni plus ni moins que de vous présenter une méthode permettant d'écrire une équation cartésienne implicite de n'importe quel polygone du plan (en 2D), ou polyèdre de l'espace (en 3D), pourvu qu'il soit convexe !


Cette méthode utilise une fonction, la fonction max, qui doit être "implémentée d'une bonne façon" pour produire l'effet que je vais vous décrire. Cela sous-entend que la formule écrite risque de ne pas donner la même chose, selon les langages de programmation utilisés !?

Pour le moment je ne maitrise pas ce risque : ainsi j'ai développé des formules traçables avec le logiciel de calcul canadien "Mapple" (qui veut dire érable). Avec GeoGebra, ou d'autres (?), ça ne donne rien, etc ...

Je compte donc sur vous, expérimentateurs, pour me dire si les exemples qui vont suivre, fonctionnent correctement (= comme prévu), ou non, sur les différents logiciels que vous utiliserez, ou avec les langages de programmation ...

ALORS ? Cette méthode permet d'obtenir une équation dans n'importe quel cas (convexe !). MAIS ce n'est pas forcément la seule possibilité ... donc j'aborderai également des variantes possibles ... avec leurs avantages / inconvénients associés.


ENFIN : ce que j'écris résulte de mes recherches personnelles ; si j'emprunte quelque chose, je le dis. Pour le moment je n'ai pas trouvé sur internet de méthode "équivalente", et cela m'étonne beaucoup ! Donc si vous avez connaissance de quelque chose s'y rapportant, soyez aimables de me le dire, qu'on (re)mette les choses à leurs places ... Merci.


Je passe au 2ème point.

Dernière modification par Bernard-maths (01-04-2022 08:46:44)


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#3 07-07-2021 15:37:26

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 03 :

Comment j'ai connu MAX ?

La 1ère fois, en promenade sur internet, en cherchant "équation de cube" ... il y a bien 6 ans ou plus ? C'était resté un gadget !

Mais dernièrement, en échangeant des équations avec Robert Ferréol (Mathcurve), il s'est rendu compte que la fonction max pouvait simplifier des équations ! Alors depuis j'étudie cette fonction, en particulier pour des équations périmétriques de polygones et surfaciques de polyèdres, tous convexes !

Alors pour commencer, voilà : max(|x|,|y|,|z|) = 1. En tapant cette formule, vous aurez des résultats, qui ont tendance à augmenter au fil du temps ... sur internet.

Alors cette formule indique que des 3 nombres |x|,|y| et |z|, l'un des trois, au moins, vaut 1, et les 2 autres ≤ 1.
Ainsi, par exemple, si on suppose que |x| = 1, alors c'est que x = ±1, et que -1 ≤ y ≤ 1, ainsi que -1 ≤ z ≤ 1.

Alors x = 1 et x = -1 sont les équations de 2 plans parallèles, et dans chacun  -1 ≤ y ≤ 1 et -1 ≤ z ≤ 1 définissent un carré plein. En tout on a donc 2 carrés pleins parallèles. En prenant ensuite |y| = 1, puis |z| = 1, on obtient 2 + 2 = 4 autres carrés pleins, et donc en tout les 6 faces carrées (pleines) d'un cube. Les coordonnées des 8 sommets sont : (±1,±1,±1).


Si on prend cette formule, réduite à 2 variables x et y : max(|x|,|y|) = 1 on obtient un carré, en tant que ligne périmétrique ... 4 sommets de coordonnées (±1,±1).

KGioHHjzQfJ_Carr%C3%A9-et-Cube-2021-07-08.png

Sur la figure de droite, tracée avec Maple, on a gardé un cube en traits noirs, celui des coordonnées de l'espace de tracé. Sur la figure de gauche, le carré est tracé avec GeoGebra ; on voit clairement que le segment [AD] rouge correspond à x = 1 ET -1 ≤ y ≤ 1, etc ...


Sur ces figures, nous voilà limités à 1 ... seraient-ce des équations ... "canoniques" ...?

Essayons de changer les dimensions ...

Dernière modification par Bernard-maths (23-02-2022 16:52:25)


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#4 07-07-2021 18:09:54

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 04 :


Transformons le cube en parallélépipède rectangle !

Soient 3 nombres positifs a, b et c, non nuls. Et la formule : max(|x|/a,|y|/b,|z|/c) = 1.


Alors, on peut reprendre le raisonnement précédent ... faisons du "copié-collé-adapté ..."

Donc cette formule indique que des 3 nombres |x|/a,|y|/b et |z|/c, l'un des trois, au moins, vaut 1, et les 2 autres ≤ 1. Ainsi, par exemple, si on suppose que |x|/a = 1, alors c'est que x = ±a, et que -b ≤ y ≤ b, ainsi que -c ≤ z ≤ c.

Alors x = a et x = -a sont les équations de 2 plans parallèles, et dans chacun  -b ≤ y ≤ b et -c ≤ z ≤  définissent un carré rectangle plein. En tout on a donc 2 rectangles pleins parallèles. En prenant ensuite |y|/b = 1, puis |z|/c = 1, on obtient 2 + 2 = 4 autres rectangles pleins, et donc en tout les 6 faces rectangulaires (pleines) d'un cube parallélépipède rectangle. Les coordonnées des sommets sont : (±a,±b,±c).


Si on prend cette formule, réduite à 2 variables x et y : max(|x|/a,|y|/b) = 1 on obtient un rectangle, en tant que ligne périmétrique ... 4 sommets de coordonnées (±a,±b).

KGioIVr480J_Rectangle-et-Parall%C3%A9l%C3%A9-2021-07-08.png
Sur les figures, a = 4, b = 3 et c = 2.


DONC : on peut changer les dimensions en divisant les variables par les dimensions souhaitées correspondantes ...

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#5 07-07-2021 20:01:51

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 05 :

Quelques équations de plans.

En reprenant l'équation du parallélépipède rectangle, on a vu que : max(|x|/a) = 1 correspond aux 2 plans parallèles d'équations x = -a et x = a. Si on se restreint à : max(x/a), on n'a plus qu'un plan d'équation x = a ... Et max(x/a,y/b,z/c) = 1 donnera une surface composée de 3 quarts de plans, d'équations respectives x = a, y = b et z = c, de "sommet" commun S(a,b,c), et de 3 arêtes infinies, des demies droites issues de S.

KGiphqSokgJ_Plans-par-2-et-3-2021-07-08.png

Sur ces images, les tracés s'arrêtent au niveau du cube de l'espace de ... traçage. Les plans sont ainsi coupés droit ... ce qui peut "fausser" la perception de l'image ! Donc, à gauche, on a 2 plans parallèles (et non des carrés). A droite, les 3 quarts de plans se continuent ...

Remarquons que : Si une des formules dans la fonction, max, utilise des valeurs absolues, alors on aura (en général ?) des formes symétriques par rapport au point O ; sinon on n'aura qu'une seule forme (sans symétrie) ...

Et en général : voyons ce que donne une équation de plan, par rapport au centre O du repère.
Si a, b, c et d sont 4 réels, tels que a² + b² + c² = 1, l'équation : ax + by + cz + d = 0 est ce que j'appelle une équation cartésienne "normalisée". En effet la distance du point O à ce plan est donné par :

|ax+by+cz+d|/√(a²+b²+c²) = |d| !

où le vecteur n de coordonnées (a,b,c) est un vecteur unitaire, normal au plan considéré. Si l'on se réfère à un repère polaire (O,ρ,θ,ψ) , on aura alors : a=cos(θ) cos(ψ), b= sin(θ) cos(ψ) et c=sin(ψ).

Que donne alors une équation telle que : max(ax + by + cz + d) = 0 ?

Avec θ = 45°, et ψ = 45°, et d = 4 ? L'équation s'écrit : max(x/2+y/2+√2z/2 + 4) = 0. Première image ...


KGitvvY7ASJ_Plans-par-1-1-et-2-2021-07-08.png

Remarquons qu'elle peut aussi bien s'écrire : max(x/2+y/2+√2z/2) = -4. La suivante : max(x/2+y/2+√2z/2) = +4. Remarquer la symétrie des 2 figures, par rapport à O !
Et enfin la dernière, qui regroupe les 2 premières : max(abs(x/2+y/2+√2z/2)) = 4.


Alors, quelle forme choisir, selon les situations ?

A voir plus tard ... !

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#6 15-07-2021 18:09:56

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Et à Wiwaxia ! Table des matières 06 :

Ecrire des équations de plans :


Pour écrire des équations de plans, je vous propose de passer par un vecteur normal et unitaire ...

1) Pour avoir un tel vecteur, et choisir son orientation ...
si on se réfère à des coordonnées sphériques (O, rho, thêta, ksi), par rapport au repère (O, x, y, z) orthonormé, on peut prendre le vecteur n, de coordonnées : x(n) = cos(thêta)*cos(ksi), y(n) = sin(thêta)*cos(ksi), et z(n) = sin(ksi).

Ainsi, ce vecteur a sa direction déterminée par les 2 angles thêta et ksi (dans le plan (xOy), et son orientation verticale dans un plan contenant l'axe (z'z). Et alors sa norme vaut 1 ! Ce qu'on voulait !


2) Si on considère maintenant le plan d'équation : ax + by + cz + d =0, avec a = x(n), b = y(n), c = z(n), et d>0, alors ce plan est à la distance d de O, et on va de O vers le plan dans le sens de n.


3) Si on considère ensuite le plan d'équation : ax + by + cz - d =0, avec a = x(n), b = y(n), c = z(n), et d>0, alors ce plan est à la distance d de O, et on va de O vers le plan dans le sens contraire de n.

4) Si on considère enfin l'équation : abs(ax + by + cz + d) =0, avec a = x(n), b = y(n), c = z(n), et d>0, alors on a 2 plans parallèles, situés à la distance d de O.



C'est ce qu'il s'est passé avec l'exemple précédent des 3 dernières images de la discussion précédente !


5) SI on veut des équations de droites (en 2D), on reprend les mêmes principes, avec la variable z en moins ...


Nous allons voir, plus loin,2 exemples, en reprenant des cas programmés et dessinés par Wiwaxia !

Aplus donc.

Dernière modification par Bernard-maths (22-02-2022 17:23:05)


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#7 16-07-2021 15:14:49

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Et à Wiwaxia ! Table des matières 07 :

Pratiquement, 1er exemple programmé et dessiné par Wiwaxia.

1) D'abord un hexagone irrégulier, à centre de symétrie. Voici une figure :

KGrnsHPIrJJ_Bib-Hexagone-01-3-59-2021-07-16.png

En premier les références de la figure, et des discussions alentour ...

En deuxième, le dessin de Wiwaxia : un hexagone plein en bleu, tour compris !

En troisième une figure GeoGebra, pour différencier des situations ...

On y voit bien les 6 sommets, et on remarque qu'ils sont bien symétriques, deux à deux, par rapport au centre du repère C.

Ensuite on distingue bien le tour de l'hexagone plein, en bleu foncé, de son intérieur strict, en bleu clair. On a donc 3 hexagones : le plein, le périmètre, et l'intérieur strict ! Ce dernier ne nous "intéresse "pas pour la suite ...

Comment trouver les 2 équations, pleine et périmétrique ?         

Dans les 2 cas nous aurons besoin des équations des droites supports des côtés, ou de la droite parallèle passant par le centre C.

Pour les droites (A1A2) et (A4A5), prenons comme vecteur normal n1 = orthogonal à vecteur(A1A2) / A1A2, donc n1 de coordonnées (4/sqrt(17),1/sqrt(17)). Où sqrt(17) = racine carrée de 17 ... La droite parallèle passant par C a donc pour équation (normalisée) d1 : 4x/sqrt(17) +y/sqrt(17) = 0 !

La distance de A1 à d1 vaut ... 19/sqrt(17). On en tire les équations de (A1A2) : 4x/sqrt(17) +y/sqrt(17) = 19/sqrt(17), et de (A4A5) : 4x/sqrt(17) +y/sqrt(17) = 19/sqrt(17), simplifiables en : 4x + y = 19 et 4x +y = -19.

KGrnZmp12WJ_Bib-Hexagone-02-3-59-2021-07-17.jpg

Vous remarquez alors que l'hexagone se trouve dans la bande de plan limitée par les 2 droites parallèles d12 d45 ...

Regardons alors la figure suivante : on a placé un point M dans la bande de plan, et aussi dans l'hexagone. M se projette en I sur d12 et en J sur d45. La mesure de IJ est égale à la largeur de la bande, et on lit à gauche que ij = 9.22 = 2*19/sqrt(17).

Si vous déplacez, par la pensée, le point M, vous constatez que M est dans la bande si, et seulement si, MI + MJ = IJ = ... 9.22. En effet si M sort de la bande, par exemple à gauche, alors M est à gauche de J, et donc MI > 9.22, MI + MJ aussi !

KGspoNKlREJ_Bib-Hexagone-03-3-59-2021-07-18.jpg

Pour traduire analytiquement cette propriété, il suffit d'écrire que : dist(M,d12) + dist(M,d45) = IJ. Ce qui donne eq1 : abs(4x +y - 19) + abs(4x +y + 19) = 2*19 = 38.

En programmant cette équation dans GeoGebra, on obtient cette figure :

KGsquK6zsZJ_Bib-Hexagone-04-3-59-2021-07-18.jpg

On y voit des petits segments en zigzag qui bordent les 2 droites, à l'intérieur de la bande ! C'est la "façon GeoGebra" pour indiquer une "zone pleine". Et Mapple ne donne rien, lui ! SI ! C'est moi qui ne savais pas !!!


ALORS, la suite ? Il faut faire de même avec les 2 fois 2 autres côtés ...

Ce qui mène à : n2 = vecteur normal à (A2A3) de coordonnées n2 = (1, 2) / sqrt(5), n3 = vecteur normal à (A3A4) de coordonnées n3 = (-3, 7) / sqrt(58).

Puis les équations des droites ...  d2: x / sqrt(5) + 2y / sqrt(5) = 0, d23: x / sqrt(5) + 2y / sqrt(5) = 10 / sqrt(5), et d56: x / sqrt(5) + 2y / sqrt(5) = -10 / sqrt(5), en orange. Simplifiables en d23: x + 2y = 10, et d56: x + 2y = -10.

Puis celles des droites ... d3: -3 x / sqrt(58) + 7y / sqrt(58) = 0, d34: -3 x / sqrt(58) + 7y / sqrt(58) = 22 / sqrt(58), et d61: -3 x / sqrt(58) + 7y / sqrt(58) = -22 / sqrt(58), en vert. Simplifiables en d34: -3 x + 7y = 22, et d61: -3 x + 7y = -22.

Ce qui permet de définir des équations pour les bandes de plan suivantes : entre d23 et d56 (orange), soit : eq2 : abs(x+2y-10) + abs(x+2y+10)=20.
Puis entre d34 et d61 (vert), soit : eq3 : abs(-3x+7y-22) + abs(-3x+7y+22) = 44.

KGstFNlcwCJ_Bib-Hexagone-05-3-59-2021-07-18.jpg

Sur cette figure, on distingue clairement les 3 bandes de plans ... Pour définir une équation de l'hexagone, il suffit d'additionner les 3 équations membre à membre ... car il s'agit d'équations "minimalistes" ... sur des nombres > o.

Une équation de l'hexagone est donc : (abs(4x +y - 19) + abs(4x +y + 19)) + (abs(x+2y-10) + abs(x+2y+10)) + (abs(-3x+7y-22) + abs(-3x+7y+22)) = (38) + (20) + (44)

Ce qui donne :

KGstYlupTTJ_Bib-Hexagone-06-3-59-2021-07-18.jpg

On distingue nettement le tour de l'hexagone, avec des rayures bleues foncé à l'intérieur ... ce qui veut dire hexagone plein !


ET la deuxième équation de l'hexagone périmètre ?

Je vous propose l'équation suivante : max(abs(4*x + y) - 19, abs(x + 2*y) - 10, abs(-3*x + 7*y) - 22) = 0.

Qui est programmé sur "Mapple", et qui donne :

KGucKTxoDyJ_Bib-Hexagone-06bis-3-2021-07-19.jpg

En haut, le programme Mapple, et dessous, l'hexagone, vu en "perspective" dans un repère 3D.



Comment ça marche ?

Reprenons l'équation proposée (en noir, orange et vert). La fonction max impose que l'une des 3 "sous-équations", au moins, soit nulle ! Si c'est la 1ère en noir : abs(4x+y)-19=0, conduit à 2 équations de droites : 4x+y=19 ou 4x+y=-19. On reconnaît les droites d12 // d45 ! D'où les côtés [A1A2] et [A4A5] parallèles.


Si c'est la 2ème en orange : abs(x + 2*y) - 10=0, qui donne 2 droites : x+2y=10 et x+2y=-10, soit d23 // d56, côtés [A2A3] // [A5A6].

Si c'est la 3ème en vert : abs(-3x+7y)-22=0, qui donne 2 droites :-3x+7y=22 et -3x+7y=-22, soit d34 // d61, côtés |A3A4] // [A6A1].


C'est à peu près le même scénario qu'avec le cube max(|x|,|y|,|z|) = 1, en discussion #3 !


Dans la discussion suivante, nous allons aborder 2 variantes sur les équations !

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#8 20-07-2021 10:02:00

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 08 : 3 variantes.

Variante 1, avec GeoGebra  : déformation de l'hexagone, mais les côtés opposés restent parallèles.

KGupnNQaqJJ_Bib-Hexagone-07-3-2021-07-20.jpg

Sur cette figure, on voit qu'on a déplacé le côté [A3A4] vers le haut. Ainsi la droite d34 (en tirets verts) est passée en position d'34, mais d61 n'a pas bougé. Alors la droite "moyenne" est passée de d3 (en tirets verts) à d'3. Les équations sont maintenant pour d'34 : -3x+7y=48, d61 est restée à : -3x+7y=-22, et pour d'3 : -3x+7y=13 ... 13 est la moyenne entre +48 et -22 !

Nous pouvons donc modifier l'équation du nouvel hexagone par eq5: abs(4x + y - 19) + abs(4x + y + 19) + abs(x + 2y - 10) + abs(x + 2y + 10) + abs(-3 x + 7y - 48) + abs(-3 x + 7y + 22) = 38+20+70, ce qui donne :

KGupRrGGOiJ_Bib-Hexagone-08-3-2021-07-20.jpg

D'où l'hexagone plein en rouge !


Variante 2, avec Mapple ? Une équation "max" dérivée de l'équation "pleine" est :

max(abs(4*x + y) - 19, abs(x + 2*y) - 10, abs(-3*x + 7*y - 13) - 35) = 0. Qui donne bien l'hexagone périmètre !

KGuquWlYztJ_Bib-Hexagone-07-3-2021-07-20.jpg

Le triangle pour la suite !

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#9 19-08-2021 19:05:20

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonsoir à tous ! Table des matières 09 :

On va voir le triangle quelconque, plein ou périmètre ...

KHxq5EHzw2b_Triangle-1-ABC-2021-08-23.png

ABC est un triangle quelconque, obtenu en plaçant 3 points A, B et C (dans le sens trigo), puis en traçant les 3 droites f de A vers B, g de B vers C, et h de C vers A.
Puis on trace les droites parallèles i // f, j // g et k // h.

On peut voir les équations des 6 droites, et les coordonnées de 3 points sur la figure. Et constater que les droites parallèles ont les mêmes coefficients pour x et pour y, et des termes constants différents …
Si on commence par définir le triangle comme l’intersection de 3 bandes de plan, voici les équations et figure associées :

KHxrbfspYub_Triangle-1bis-ABC-2021-08-23.png

On remarque les 3 bandes, rouge entre les 2 droites rouges, avec les tirets rouges montrant que GeoGebra considère que tout l’espace entre les 2 droites est « rempli » …
eq1 correspond à a(x,y) avec 82 = 28 – (-54) = 82 ! Etc …
Et finalement le triangle plein ABC est donné par la somme des 3 équations des 3 bandes : eq4 !

KHxrfwgAm8b_Triangle-1ter-ABC-2021-08-23.png

Avec les tirets noirs à l’intérieur. Ou bien avec Maple aussi.

Si maintenant on définit le triangle par les 3 droites seulement, il faut s’arranger pour avoir des fonctions, associées aux équations des 3 droites, toutes de même signe vers l’intérieur du triangle !

Par exemple O(0,0) est à l’intérieur de ABC, et f(x,y) = 3x – 8y + 28. Calculons f(xO,yO) = f(0,0) = +28 > 0. On trouve de même que g(0,0) = +10 > 0, et que h(0,0) = +34 > 0 !

On va alors utiliser la fonction « min » :     min(3x-8y+28,4x+3y+10,-11x+2y+34) = 0 !    avec « Maple » !


KHxrmUVaJZb_Triangle-1qua-ABC-2021-08-23.png

Remarque : si les signes ne sont pas tous les mêmes, alors il faut choisir, et changer ceux qu’on veut, pour les avoir tous pareils, et choisir la bonne fonction max ou min !

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#10 19-08-2021 19:06:43

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonsoir à tous ! Table des matières 10 :

Entre les exemples présentés avant, et après, je pense pouvoir insérer 2 théorèmes pratiques = les formules, si comprises par le logiciel, vont donner le polygone, ou le polyèdre !

On peut distinguer au moins 2 manières d’obtenir des équations d’objets : équation périmètre (en 2D) ou surfacique (en 3D) (donc « traditionnelle »), et équation « pleine » = du périmètre ET de la surface (en 2D) ou volume intérieur ET surface) (en 3D).
Ici, les objets sont des polygones plans convexes, ou des polyèdres convexes de l’espace 3D.

Vous avez vu comment les 2 types d'équations sont liés. Il faut utiliser les équations des droite/côtés du polygone, ou des plans/faves du polyèdre !

Soit donc un polygone convexe, ou un polyèdre convexe, constitué de n côtés, ou de n faces (polygonales convexes).

Soient f1, f2 … fn des équations cartésiennes implicites des n droites, ou des n plans, supports des n côtés ou faces.

Ainsi : fi(x,y) = ai x + bi y + di = 0, pour les polygones, ou fi(x,y,z) = ai x + bi y + ci z + di = 0, pour les polyèdres …


Soit O un point intérieur à l’objet (pratique à utiliser, et pouvant varier selon les fi considérés). O (xO, yO, ... zO)

Soit enfin f’i = 0 l’équation de la droite, ou du plan, parallèle à la droite, ou au plan, d’équation fi = 0, et passant par le sommet de l’objet qui en est le plus éloigné. Donc f’i(x,…) = ai x + bi y … +d’i = 0.

Alors l’espace, situé entre les 2 parallèles d’équations fi = 0 et f’i = 0, est une « bande de plan », ou une « tranche d’espace », qui contient l’objet concerné.

Enfin, la fonction max doit être disponible, pour le théorème 1, par exemple sur « maple » … et la formule 2 interprêtée, par ex sur maple !


Les 2 théorèmes suivants sont pratiques, à condition que le logiciel utilisé « comprenne » les équations proposées !


Théorème 1 :
Si tous les fi(xO,yO) ou fi(xO,yO,zO) sont négatifs,
alors une équation de l’objet est donnée par : max(f1, f2 … , fn) = 0.


Théorème 2 :
Une équation de l’espace compris entre les 2 parallèles d’équations fi = 0 et f’i = 0 est : |fi|+|f’i|=|di – d’i|.

Une équation de l’objet plein est alors : ∑ (i=1 à n)(|fi|+|f’i|) = ∑ (i=1 à n)(|di – d’i|).


Remarque : si l’objet présente des éléments de symétrie(s), les équations peuvent se « compacter/simplifier » …

MAX permet donc d'obtenir une équation, périmétrique ou surfacique, dans tous les cas de polygone ou de polyèdre convexe.

Bernard-maths

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#11 19-08-2021 19:10:34

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonsoir à tous ! Table des matières 11 :

Je vais ici vous montrer une équation de polyèdre convexe, et j'ai choisi l'ennéaèdre, que vous trouverez sur "Mathcurve".

Il s'agit d'une belle figure à 9 faces "quasi régulières" 6 pentagones et 3 carrés ! Je l'ai reproduite sur GeoGebra :

KHtsr6Vg1Tb_Enn%C3%A9a%C3%A8dre-pour-Bibmath.png

Je ne vais pas entrer dans tous les détails, on verra plus tard, mais je vais résumer la méthode :

Ici nous avons 9 faces. Pour chacune, nous calculons une équation cartésienne du plan. Nous arrangeons ces équations pour que le partage de l'espace en 2 demi-espaces donne le signe négatif du côté du point O, qui est intérieur à l'objet ! On peut alors écrire dans "Maple" :

KHtsJG0Vsnb_Enn%C3%A9a%C3%A8dre-Maple-pour-Bibmath-2021-08-20.jpg

Vous avez l'équation, suivie de l'image.

Voilà pour aujourd'hui. Un peu rapide, mais il faut que je reprenne doucement ...

Bonne soirée, Bernard-maths.

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#12 08-09-2021 08:17:07

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Et à Wiwaxia ... Table des matières 12 :

Des applications des 2 théorèmes ? Vous en trouverez aussi dans "Courbes et surfaces de niveaux ... et troncatures".
Plusieurs cas sont traités et vous font voir différentes façons de trouver et utiliser des formules générales, génératrices de familles de polyèdres, et de les voir évoluer ... en utilisant l'un des 2 théorèmes, et la puissance de "Mapple" pour tracer des polyèdres ...

En particulier, partant d'une équation de cube plein, on peut arriver à son dual octaèdre. MAIS en passant par le rhombicuboctaèdre, ce qui permet d'en obtenir une équation !

On peut alors chercher réciproquement à faire le contraire : partir d'une équation d'octaèdre plein, et chercher son dual cube ... Surprise : dans la manoeuvre, on bloque finalement sur le cuboctaèdre ! Dont on retrouve une équation ... Comment arriver au cube alors ?

Ce sera le sujet suivant, que je vais développer !!!

Je vous conseille vivement de revoir ces thèmes ...

Bernard-maths

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#13 08-09-2021 08:43:32

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonsoir à tous ! Table des matières 13 :

Quand ça passe pas d'un côté, on passe par l'autre ...

Quand on a une équation de cube plein, on utilise 3 tranches d'espace pour les 3 paires de faces opposées. Chaque tranche découpe l'espace en 3 parties : entre les plans, en-dehors de chaque côté. Pour les 3 tranches, cela fait 3*3*3 = 27 morceaux d'espace ... mais la forme du cube est "simple", et les surfaces de niveaux "faciles" à voir !

Si on part de l'octaèdre plein, de forme "moins simple" (les angles ...), il y a 4 tranches d'espaces, et donc 3*3*3*3 = 81 morceaux d'espace ... ça fait beaucoup plus ! Les surfaces de niveaux sont plus complexes, ça se voit sur les figures données, dans "Courbes et surfaces de niveaux ... et troncatures" !

DONC ici, je vais vous proposer de construire une figure qui fait passer de l'octaèdre au cube.

Je propose de partir d'une image intermédiaire entre le cube et l'octaèdre :

KIih4W0PuxO_Interm%C3%A9diaire-2021-09-08.png

Nous y voyons : les 6 carrés rouges, au niveau des faces : donc le cube ; les 8 triangles verts en face des sommets : donc un octaèdre ; et les 12 rectangles jaunes, faces aux arêtes : donc des tranches d'espace ...

Ainsi que 2 plans tracés : un pour un triangle vert et un pour un rectangle jaune.

La figure est faite avec un cube de côté 2 a = 20 (ici a=10), les équations des 2 plans permettent de trouver rapidement que :
1) l'octaèdre contenant les 8 triangles verts a pour équation : abs(x)+abs(y)+abs(z) = a + 2e. Où e est le paramètre de variation entre 0 et a !
2) les 6 tranches d'espace des rectangles jaunes ont pour équations : abs(x-y) = a+e, abs(x+y) = a+e, abs(y-z) = a+e, abs(y+z) = a+e, abs(z-x) = a+e et abs(z+x) = a+e.
3) enfin les carrés rouges ont pour équations : abs(x) = a, abs(y) = a et abs(z) = a.

Voilà donc 1 + 6 + 3 = 10 équations, à rassembler en une, avec max de "Mapple" !

Chttps://www.cjoint.com/doc/21_09/KIimKt6fKDO_Programme-octa-vers-cube-dual-2021-09-08.pngnne le programme "Mapple" :

KIimKt6fKDO_Programme-octa-vers-cube-dual-2021-09-08.png

Et voici une série d'images, de e = 0 donnant un octaèdre surface (et non plein), jusqu'à e = 10 donnant le cube !
En passant par e = 4 (environ) donnant le rhombicuboctaèdre ...  KIioKJyIv0O_Octa-vers-cube-2021-09-08.png

Evidement, c'est en sens contraire de ce qui est dans "Courbes et surfaces de niveaux ... et troncatures"...

Voilà, vous avez ainsi vu une autre façon de combiner des équations, avec la fonction max !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (07-02-2022 11:53:22)


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#14 01-11-2021 19:01:02

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 14 : Equation d'un polygone convexe plein ... sans max !


Après les polygones et polyèdres convexes, je m'intéresse à moins contraignant ...

Je vais ici vous proposer une méthode "théorique générale" pour trouver une équation de n'importe quel polygone ou polyèdre, convexe ou non. Toutefois les cas complexes peuvent demander quelques adaptations ou découpages ... en polygones convexes par exemple.

Si je dis "théorique générale", c'est parce que je n'ai pas encore trouvé de logiciel de représentation graphique en 3D (ou en 2D) capable de comprendre ces équations, et de dessiner l'objet de l'équation ! Ou bien ils l'acceptent mais ne produisent rien !? MAIS je n'ai pas encore "tout essayé" !


Je vais commencer par quelques rappels et compléments, avant de vous proposer une formule.

Parlons d'abord des polygones plans convexes ; en janvier j'avais rapidement abordé ce problème sous une forme simplifiée : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 874#p90874 discussion #22 ?

Je vais ici revoir le cas général d'un polygone convexe :

KKbupxGyPzA_Polygone-n-c%C3%B4t%C3%A9s-2021-11-01.jpg

Voici un polygone plan convexe A0A1 ... An-1 de n côtés, de longueurs respectives l0, l1, ... ln.

Pour tout point M intérieur au polygone, il est possible de joindre M à chaque sommet, ce qui décompose le polygone en n triangles (pointillés bleus). Si on trace les n hauteurs MK1, MK2, ... MKn (en rouge), on peut alors calculer le double de l'aire du polygone :

2 fois Aire = MK1*l1 + MK2*l2 + ... + MKn*ln.

Etant donné que si on connaît les coordonnées des sommets Ai, on peut calculer les longueurs des côtés, ainsi que les distances MKi, alors cette formule devient une équation du polygone plein !

Evidemment, il faut aussi calculer 2 fois Aire du polygone ! Mais là, on a des formules ... par exemple, appliquer la formule avec M = Ai, un des sommets ... ou utiliser une formule à base de produits vectoriels (dont on prend les normes) ...

Remarquons que si M est extérieur au polygone, alors les n triangles recouvrent le polygone ET une partie extérieure, DONC l'égalité précédente n'est plus vraie ... on a MK1*l1 + MK2*l2 + ... + MKn*ln > 2 fois Aire !

KKcib77XxYA_Polygone-n-c%C3%B4t%C3%A9s-bis-2021-11-02.jpg

Examinons le cas d'un polygone convexe régulier, ses n côtés ont la même longueur l = l1 = l2 = ... = ln, la formule se transforme en : MK1 + MK2 + ... + MKn = 2 fois Aire / l. Ce qui peut s'énoncer :

Dans un polygone convexe régulier, pour tout point M intérieur, la somme des distances aux n côtés est constante, et vaut 2 fois Aire / côté.

KKckGmSJagA_Polygone-5-c%C3%B4t%C3%A9s-2021-11-02.jpg

Si M est en O, centre du polygone régulier, il est aussi le centre des cercles circonscrit et inscrit. Le rayon du cercle inscrit est alors égal à la hauteur des triangles, et s'appelle l'apothème ...

Un cas particulièrement connu est celui du triangle équilatéral, donnant le théorème de Viviani : dans un triangle équilatéral, la somme des 3 distances d'un point intérieur aux 3 côtés, est constante et égale à la hauteur du triangle.

Et dans l'espace ?

KKcihLxPjSA_Polygone-n-c%C3%B4t%C3%A9s-ter-2021-11-02.jpg

Si P est un point extérieur au plan (bleu) du polygone, qui se projette en M sur le plan du polygone, alors on a une pyramide de base le polygone, de sommet P ... Il est facile de prouver que la somme des aires des n triangles mauves est supérieure à la somme des aires des triangles bleus ... si M est un point extérieur au plan du polygone, on a aussi MK1*l1 + MK2*l2 + ... + MKn*ln > 2 fois Aire !

L'équation : 2 fois Aire = MK1*l1 + MK2*l2 + ... + MKn*ln est aussi une équation du polygone dans l'espace !


Alors que faire théoriquement ?

Si je note Fi = MK1*l1 + MK2*l2 + ... + MKn*ln - (2 fois Aire), l'expression associée à la face i, une équation du polyèdre peut s'écrire  : F1 * F2 * ... * Fp = 0, si le polyèdre possède p faces.

Voilà donc une méthode pour déterminer une équation de polyèdre quelconque, au moyen d'une équation produit, à condition de pouvoir décomposer chaque face non convexe en polygones convexes ...


Pour la suite, nous verrons à mettre en oeuvre diverses formules traçables ou on ...

Remarque : dans les références maths géométriques de bibmath, on trouve une jolie formule utilisable ...

A plus pour la suite, Bernard-maths

Ce que nous venons de voir ne concerne que les faces de polyèdres, mais pas les côtés de polygones !!!

Dernière modification par Bernard-maths (01-04-2022 08:46:22)


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#15 22-02-2022 16:08:17

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 15 : Le produit vectoriel, applications ...

(Petite remarque anecdotique concernant la date : en mode jjmmaaaa, le 22022022 est un palindrome. Le prochain se produira le 03022030.)


Voir références Bibmath : Références > Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Géométrie dans l'espace > Produit vectoriel --> https://www.bibmath.net/dico/index.php

Propriété basique : vec(u) ^ vec(v) = vec(w), avec ll w ll = ll u ll * ll v ll * sin(u,v) = aire du parallélogramme "construit" sur u et v. De plus vec(w) est orthogonal à vec(u) et à vec(v).

LByn0A6SFJH_Prod-vect-2022-02-24.jpg

Sur ce dessin en 3D, on a u = vec(OA), v = vec(OB), w = vec(OD).

On va donc utiliser le produit vectoriel pour calculer des aires ... ici aire(OAB) = (aire q1) /2 !

Rappelons le produit vectoriel : si l'espace est muni d'un repère orthonormé direct, et si vec(u) et vec(v) ont pour coordonnées respectives (x1, y1 ,z1) et (x2, y2, z2), alors les coordonnées de leur produit vectoriel sont : (y1z2-y2z1, z1x2-z2x1, x1y2-x2y1).

Dernière modification par Bernard-maths (11-04-2022 16:32:07)


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#16 22-02-2022 16:10:13

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 16 : un exemple en 2D ...


On va maintenant faire un essai pour voir comment fonctionnent les formules avec Maple …

Soit un triangle ABC du plan (xOy), donc en 2D ! Soient A(10,0), B(0,5) et C(0,-5) 3 points du plan. Si M(x,y), alors vect(AM) = (x-10,y), vect(BM) = (x,y-5), vect(CM) = (x,y+5).

On en déduit que : vect(AM)^vect(BM) = (0,0,(x-10)(y-5)-xy) = (0,0,50-5x-10y). vect(BM)^vect(CM) = (0,0,10x). Et … vect(CM)^vect(AM) = (0,0,50-5x+10y).

L'équation du triangle, à écrire, est :

ll vect(AM)^vect(BM) ll + ll vect(BM)^vect(CM) ll + ll vect(CM)^vect(AM) ll = 2*Aire(ABC).

Ce qui donne :  l 50-5x-10y l + l 10x l + l 50-5x+10y l = 100 ... calculs faits ...

Voyons voir ce que nous dit Maple : programme et figure !

LDBpdfsdVIH_Triangle-plan-2022-04-27.jpg

On a bien un triangle plein ABC, avec A à droite, B et C à gauche en haut et en bas.

Conclusion : la formule préconisée fonctionne !

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#17 22-02-2022 16:11:47

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 17 : un exemple en 3D ...


Pour cet exemple, nous allons reprendre le triangle ABC, mais en laissant B(0,5,0) et C(0,-5,0 en place, et en relevant le point A(8,0,6), de telle sorte que la hauteur AO reste égale à 10 ! Aire(ABC) = 100 encore.

Il faut reprendre les calculs en changeant les coordonnées ... Si M(x,y,z), alors vect(AM) = (x-8,y,z-6), vect(BM) = (x,y-5,z), vect(CM) = (x,y+5,z). On en déduit que : vect(AM)^vect(BM) = (6y+5z-30,-6x+8z,40-5x-8y). vect(BM)^vect(CM) = (-10z,0,10x). Et … vect(CM)^vect(AM) = (-6y+5z-30,6x-8z,40-5x+8z).

L'équation du triangle, à écrire, est encore :

ll vect(AM)^vect(BM) ll + ll vect(BM)^vect(CM) ll + ll vect(CM)^vect(AM) ll = 2*Aire(ABC).

Soit LDBpZnQzhGH_Triangle-plan-2-2022-04-27.jpg

Passons à Maple :

LDBqhgE7KxH_Triangle-plan-3-2022-04-27.jpg

Que voilà un joli triangle ! MAIS !... dans l'équation de Maple, le membre de droite vaut 100.1, et non 100.0 !???

Avec 100.0 Maple n'affiche RIEN ! Et pourtant l'équation est juste. ALORS en ajoutant 0.1 à 100.0, on passe du triangle à une surface de niveau autour du triangle, ce qui devient un objet traçable pour Maple ! L'epsilon que l''on rajoute ainsi doit rester faible, mais assez grand pour que le triangle ne soit pas trop transparent ... https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=13953

Mais aussi un triangle à peine gonflé qui apparaît plat en trompe-l'oeil ... faut savoir tricher dans la vie ... de matheux aussi !

Conclusion : ou bien Maple ne sait pas tracer une telle équation, ou bien il y a une astuce, par exemple régler la taille des pixels (?), mais là je ne sais pas faire. Quelqu'un a-t-il une idée ? MERCI !!!

Dernière modification par Bernard-maths (21-06-2022 16:29:32)


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#18 22-02-2022 16:13:13

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 18 : solide à faces quadrilatères avec un trou !


Voici un dessin GeoGebra de cet objet :

LDBsNBn1DSH_Solide-%C3%A0-trou-2022-04-27.jpg

Les nombres (variables) a, b et c fixent les coordonnées des points intérieurs A, B, C et D ; b pour les 8 points extérieurs, et c les cots de ces points extérieurs. La figure est constituée de 4 tronçons colorés, chaque tronçon et formé par 3 quadrilatères.

Commençons par le tronçon rouge formé des 3 quadrilatères ABJI, ABFE et EFJI. On procède comme pour les triangles : pour chaque quadrilatère il y a 4 vecteurs ... coordonnées, produits vectoriels, équation du quadrilatère ... je vous laisse faire les calculs ... je vous donne le résultat du tronçon rouge sur Maple :

LDBs3AG5mRH_Solide-%C3%A0-trou-1-2022-04-27.jpg

Evidement ici il n'est pas rouge ... mais on reconnait sa position. Vous remarquerez l'utilisation de eps = 0.03.

Alors, comment terminer la figure ? Tout simplement en jouant sur les 2 symétries des 2 plans (xOz) et (yOz) ! On remplace x et y par leurs valeurs absolues dans l'équation précédent !!! Voyons Maple !

LDBtl3nPPRH_Solide-%C3%A0-trou-2-2022-04-27.jpg

Et voilà le travail !

Conclusion : cette méthode permet donc de créer une équation de tout objet qui se dessine avec des polygones convexes, quitte à découper les non convexes en convexes !

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#19 22-02-2022 16:14:22

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 19 : Sans max, une équation de tétraèdre ...


Je vais continuer des exemples d'équations, sans utiliser la fonction max, pourtant à l'origine de ce chapitre ...

Je vais vous rappeler ce qu'est la fonction valeur absolue, et quelques trucs qu'on peut faire avec :

tahf.jpg

On voit en rouge la fonction concernée, et en vert un décalage vers le bas, en bleu un retournement et décalage vers le haut ...

Et si on fait ça en 3D ?

ofnr.jpg

Un coup en x, un coup en y, 2V croisés ! Et l'intersection dessine un tétraèdre ...

sp3n.jpg

Vu par dessus, le tétraèdre est contenu dans un tube carré d'équation abs(x)+abs(y)=8 ... ainsi que le carré du plan (xOy). Pour limiter le tracé des V à ce tube, je définis une fonction Ind(x,y)= Si(ab(x)+abs(y)<=8,1). C'est une équation de zone, constante et égale à 1 sur la zone crrée, et non définie ailleurs ! Image à droite.

En fabriquant de nouvelles équations b' = b*Ind et c' = c*Ind, on obtient les surfaces en V restreintes au tube carré ... les 2 forment alors le tétraèdre ci dessous.

8pjx.jpg

Ce tétraèdre n'est pas régulier, ses angles dièdres sont de 90° sur les 2 arêtes rouge et verte (de longueur 16), et d'environ 63° sur les 4 autres (de longueur 13.86 env).

Si on prend un tétraèdre régulier, construit sur un cube, on obtient par exemple :

dbun.jpg

ENSUITE ?

Nous avons là un tétraèdre défini par DEUX équations ! Comment en faire UNE équation ? Avec GeoGebra, je ne sais pas ... une équation produit nul ne marche pas : GeoGebra fait d'abord le produit ... !

Alors je suis allé voir du côté de Maple. Mais là je rencontre des problèmes de syntaxe avec la fonction Ind : je ne sais pas faire, pour la définir ! Je vais donc me tourner vers le coin des programmeurs, et leur demander d'arranger ça !

En attendant, voici un aperçu de ce que j'ai obtenu avec Maple ...

pyag.jpg

Ne sachant pas intégrer la fonction Ind, j'ai utilisé une autre fonction Ind2. Celle-ci, bien assimilée par GeoGebra, ne l'est pas avec Maple, d'où la présence de nombreux filaments parasites ...

Bernard-math.


Me revoilà le 17/12/22 !

Eh bien en poussant la précision d'affichage, ainsi qu'en limitant la zone d'affichage, on obtient un beau tétraèdre avec la fonction Ind, mais toujours pas avec une fonction conditionnelle ... l'équation est donc bonne !

5f5z.jpg

bd87.jpg

Bernard-maths


Addendum : quelques équations "plus courtes" pour le tétraèdre en GeoGebra :

tife.jpg

B-m

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#20 22-02-2022 16:15:31

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 20 : Le dodécaèdre rhombique étoilé !

Voici celui qu'on va mettre en équation :

uzm5.jpg

Remarquez toutes les faces qui sont des triangles isocèles. Si vous en prenez deux adjacentes par une arête verticale ou horizontale, elles forment un demi tétraèdre ... Nous allons profiter de cette remarque !

Commençons par la partie verte supérieure ...

fm00.jpg

On voit que les deux parties supérieures vertes, en bi-triangles, sont incluses dans le bi-plan vert clair (voir le tétraèdre), et se projettent sur le plan (xOy) selon deux carrés. Ces deux carrés engendrent deux tubes carrés verticaux, qui coupent le bi-plan vert clair selon les deux bi-triangles du haut !

On peut en déduire l'équation : z= c1(c,y) = Si(abs(x) + abs(abs(y) - a / 2) ≤ a / 2, a - abs(x)) ...

La partie Si(abs(x) + abs(abs(y) - a / 2) ≤ a / 2 contrôle que M(x,y) est un point intérieur aux 2 carrés, alors on trace la partie correspondante du bi-plan d'équation z = a - abs(x).


Pour terminer le dodécaèdre étoilé, il suffit de dupliquer cette équation en 11 versions complémentaires, et d'en faire une équation produit, non ?!!!

GeoGebra n'accepte pas ces équations "trop compliquées" ... et je ne sais pas encore l'écrire en Maple ...

Voici donc les étapes suivantes, avec GeoGebra :

zfy6.jpg

Duplication du haut vert en bas ; rotation autour de (x'x) ; rotation autour de (y'y).

eb20.jpg

Duplication des bleus à partir des verts, par rotations ...

Il reste à recolorier la "tranche horizontale" en rouge, et on a l'objet du début !



Voilà pour ce qu'on peut faire avec GeoGebra ...


Fin d'édition, Bernard-maths


Deux variantes :

9rro.jpg

Si(abs(x) + abs(abs(y) - a / 2) ≤ a / 2 ∧ abs(x) + abs((y) - a / 2) ≥ a / 4, abs(x) - a), découpe en carré.

Si(abs(x) + abs(abs(y) - a / 2) ≤ a / 2 ∧ x² + (abs(y) - a / 2)² ≥ a / 4, abs(x) - a), découpe en disque.

rbgv.jpg

Dernière modification par Bernard-maths (15-01-2023 18:01:11)


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#21 22-02-2022 16:16:44

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 21 : le carré et le rectangle, ET parallélogramme.



Je vais revenir sur un thème connu, les équations de carrés ; ensuite de rectangles, enfin de parallélogrammes !

Pour le carré, on connaît bien : $\left|x\right|+\left|y\right| = r$ pour les axes en diagonales, r = 1/2 diagonale.

Aussi $\left|x + y\right|+\left|x - y\right| = r \sqrt{2}$ pour les bissectrices en diagonales.


ojjd.jpg


Eh bien, pour 2 droites ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0, perpendiculaires et en diagonales, on aura :

$\frac{\left|ax + by + c\right|}{\sqrt{a²+b²}} + \frac{\left|a'x + b'y + c'\right|}{\sqrt{a'²+b'²}} = r$, la demie diagonale.



Pour le rectangle, considérons le rectangle ABCD de centre O sur la figure suivante :

5rfs.jpg

Un point courant M du rectangle se projette en I et en J sur les diagonales (AC) et (BD). Comme pour le carré, voyons ce que vaut la somme des distances MI + MJ. Pour cela, nous avons tracé la droite (MP) // (BD) et la droite (MQ) // (AC) ... d'où les points P et Q. MPOQ est donc un parallélogramme.

De plus, AOB étant un triangle isocèle de sommet O, les triangles APM et BQM sont isocèles de sommets P et Q, et les 3 angles en O, P et Q ont la même mesure notée $\alpha$.

Alors ... dans les triangles rectangles MIP et MJQ on a : MI = MP sin($\alpha$) et MJ = MQ sin($\alpha$).
Donc MI + MJ = MP sin($\alpha$) + MQ sin($\alpha$). Mais MP = AP et MQ = PO ...
donc MI + MJ = MP sin($\alpha$) + MQ sin($\alpha$) = AP sin($\alpha$) + PO sin($\alpha$) = (AP + PO) sin($\alpha$) = AO sin($\alpha$) !

Si on note r = AO = 1/2 diagonale, alors MI + MJ = r sin($\alpha$) = cte.

Mais on sait que : dét(OA,OB) = OA . OB sin($\alpha$) = 2 . aire(OAB) = ... aire(ABCD)/2 !

Donc sin($\alpha$) = AB . BC / (2 OA²), et MI + MJ = AB . BC / (2.OA). Donc MI + MJ = aire(ABCD) / diagonale.

Comme pour le carré, eh bien, pour 2 droites ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0, en diagonales, on aura :

$\frac{\left|ax + by + c\right|}{\sqrt{a²+b²}} + \frac{\left|a'x + b'y + c'\right|}{\sqrt{a'²+b'²}} = rsin(\alpha$)  = AB . BC / (2.OA)

Prenons l'exemple du rectangle EFGH de cntre O' : E(22,3), F(17,8), G(10,1), H(15,-4) et O'(16,2).
Les équations des diagonales (EG) x - 6y - 4 =0 et (FH) 6x - y - 94 = 0. Les longueurs des segments $EF = \sqrt{(22-17)²+(8-3)²} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}, GF = \sqrt{(17-10)²+(8-1)²} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$, et enfin
$EG = \sqrt{(22-10)²+(3-1)²} = \sqrt{148}  = 2\sqrt{37}$.

L'équation de EFGH devrait être : $\frac{\left|x - 6y - 4\right|}{\sqrt{1²+6²}} + \frac{\left|6x - y - 94\right|}{\sqrt{6²+1²}} = \frac{ \sqrt{50}.7\sqrt{2} }{ 2\sqrt{37}}$


Qui, traduite en GeoGebra, donne sur la figure suivante :
eq4: abs(x - 6y - 4) / sqrt(1² + 6²) + abs(6x - y - 94) / sqrt(6² + 1²) = sqrt(50) * 7sqrt(2) / (2sqrt(37))

r2a4.jpg



Pour le parallélogramme.

Les choses peuvent se présenter sous une forme assez simple ... soit M un point courant du parallélogramme ABCD. Il est facile de voir que les diagonales le partagent en 4 triangles ayant la même aire. DE plus si M est sur le côté [AB], par tracé de [MO], le triangle AOB est partagé en 2 triangles AOM et BOM. Il est "facile" de constater que
M $\in [AB] \Longleftrightarrow$ aire(AOM) + aire(BOM) = aire(AOB).

gnt4.jpg

On voit que M se projette en I sue (AC) et en J sur (BD), ce qui permet de traduire la relation des aires par : (MI*OA)/2 + (MJ*OB)/2 = (d(O,(AB))*AB)/2, soit d(M,(AC))*OA + d(M,(BD))*OB = d(O,(AB))*AB.

Après simplification ... on obtient l'équation GeoGebra eq7 :
abs((x - x(A)) (y(A) - y(C)) - (y - y(A)) (x(A) - x(C)))/2+abs((x - x(D)) (y(D) - y(B)) - (y - y(D)) (x(D) - x(B)))/2=abs((x(O) - x(A)) (y(A) - y(B)) - (y(O) - y(A)) (x(A) - x(B)))

5kan.jpg

Si on veut l'équation simplifiée, on termine les calculs à la main, et ça donne par exemple :

abs(-3x -7y + 44) + abs(-6x +9y - 27) = 69, soit :  $\left|-3x -7y + 44\right| + \left|-6x +9y -27\right|$ = 69

J'AI OUBLIE l'utilisation pratique , sur GeoGebra par exemple !

Le parallélogramme est en fait défini par les 3 points : 2 sommets consécutifs A et B, et le centre O. Pratiquement, si on déplace l'un des 3 points, le parallélogramme suit ! Pour un parallélogramme qu'on veut, il faut placer 2 sommets consécutifs A et B, et le centre.

La bonne méthode : CREER 3points A, B et C, et recopier et coller dans GeoGebra la formule :

abs((x - x(A)) (y(A) - y(O)) - (y - y(A)) (x(A) - x(O)))+abs((x - x(O)) (y(O) - y(B)) - (y - y(O)) (x(O) - x(B)))=abs((x(O) - x(A)) (y(A) - y(B)) - (y(O) - y(A)) (x(A) - x(B)))

où les points C et D ont disparu, au profit de O.


Voilà, si vous avez encore des questions ... posez les !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-02-2023 07:35:50)


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#22 22-02-2022 16:17:57

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 22 :


Les polygones convexes réguliers à 2n côtés, et pyramides associées.


Vous connaissez (?) une équation de carré, vue en #21 : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 093#p98093

qu'on peut récrire : $abs(x sin(0\alpha)+y sin(0\alpha) + abs(x sin(1\alpha)+y sin(1\alpha)$ = a = 5, où alpha est l'angle 360° / n, où n = 4, pour 4 côtés. (Ici a = r du #21 = demie diagonale).

Si on réduit les écritures : $abs(x sin(0\alpha)+y sin(0\alpha) + abs(x sin(1\alpha)+y sin(1\alpha)$ = abs(y) + abs(x), donc pareil !
Cette équation dessine les points du plan dont la somme des 2 distances aux 2 droites est constante = a.

Eh bien, on peut continuer avec une 3ème droite, une 4ème, etc... Ce qui conduit à des équations de droites du genre $(x sin(p\alpha)+y sin(p\alpha)$ = 0, avec p variant de 0 à (n/2)-1.

Voici par exemple ce que ça donne pour n = 10. Alors n/2 - 1 = 5 - 1 = 4. On définit la fonction f10(x,y), puis l'équation du décagone régulier par f10(x,y) = f10(a,0) où (a,0) sont les coordonnées du point A, qui est pris comme point de base pour les polygones.


f10(x,y) = abs(y cos(0α) - x sin(0α)) + abs(y cos(α) - x sin(α)) + abs(y cos(2α) - x sin(2α)) + abs(y cos(3α) - x sin(3α)) + abs(y cos(4α) - x sin(4α))

abs(y cos(0α) - x sin(0α)) + abs(y cos(α) - x sin(α)) + abs(y cos(2α) - x sin(2α)) + abs(y cos(3α) - x sin(3α)) + abs(y cos(4α) - x sin(4α)) = f10(a, 0)

Cette équation dessine les points du plan dont la somme des 5 distances aux 5 droites est constante = a = 6 ici.

ph58.jpg

Voir une animation : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 28#p107428


Ensuite on peut trouver une équation de pyramide régulière s'appuyant sur le décagone ...

3lww.jpg

Cela demande des ajustements des paramètres ...


Voilà, Bernard-maths

Voir : https://mathcurve.com/polyedres/bipyram … mide.shtml

PS : je viens de trouver : https://www.facebook.com/mathtris

Dernière modification par Bernard-maths (31-10-2023 11:04:55)


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#23 22-02-2022 16:19:20

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 23 :


bla bli bli bli bla !


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#24 22-02-2022 16:20:35

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 24 :


suite !


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#25 22-02-2022 16:21:52

Bernard-maths
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Re : MAX, et les équations de polygones et polyèdres convexes ! Et sans max

Bonjour à tous ! Table des matières 25 :


c'est fini !


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