Découverte Constante Syracuse

Omhaf · 29-05-2021 16:16:59

Bonjour
Suite à la suppression de ce premier message de mon post, permettez moi de le remettre afin que ceux qui l'ouvrent comprennent de quoi il est question, Merci.

**** contenu initial
----------------------------------------------------------
Par hasard, j'ai découvert une constante dans le développement de la conjecture de Syracuse
La méthode est valable jusqu'à présent uniquement pour les nombres impairs
et consiste en ceci
Calculer la différence algébrique entre les nombres impairs
La somme algébrique sera toujours égale au nombre choisi -1
Je donne un exemple et testez-en avec d'autres
Le nombre 7
7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
les nombres impairs dans ce cas sont

7 11 17 13 5 1

7 - 11 = -4
11 - 17 = -6
17 - 13 = 4
13 - 5 = 8
5 - 1 = 4
Somme algébrique= 6
Valeur absolue[6]= 6
7-6= 1
----------------------------------------------------------
Poste 2
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Voici une autre constatation relative aux nombres pairs
Il s'agit de sélectionner le premier nombre s'il est pair ainsi que tous les nombres pairs qui succèdent à un nombre impair
Le résultat est surprenant car il donne toujours 16 par différence de la somme algébrique au nombre pair principal

Exemple :
Nombre 36

36 18 9 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

36 et Nombres pairs succèdant aux impairs

36 28 22 34 52 40 16

28-36= -8
22-28= -6
34-22= 12
52-34= 18
40-52= -12
16-40= -24
Somme algébrique=
-8-6+12+18-12-24= -20

36-20=16

------------------------------------------------------
***** fin du message supprimé

Dernière modification par Omhaf (13-07-2024 01:10:43)

LEG · 03-06-2021 07:39:02

Bonjour
@Omhaf : cela fait des années que je ne m'occupe plus de la conjecture de Syracuse, car pour moi; même si on arrive pas à la prouver de façon rigoureuse elle est vraie. il n'y a qu'un cycle 4.2.1
C'est une structure arithmétique très simple qui a été démontrée par J.Rennucci sur " les Mathématique .net " il y a plusieurs années.
Si tu fais le bilan des valeurs montantes et descendantes tu trouveras une suite arithmétique de raison - 4 pour l'AS 1 et de raison -4 pour l'AS 2

C'est à dire: transforme l'AS1 Algorithme de Syracuse 1 classique : [ $3X + 1$ si $i$ impairs et $i/2$ si pair.]

En AS 2 utilisant que les nombres pairs tel que pour tout $i$ tu multiplies par 2 .
Ensuite tu appliques la séquence : A tout $N = 2i $ pair et non multiple de 4, nous appliquons la transformation : $(3*N+2)/2$
Si N est multiple de 4 nous passons à $N/2$ ce qui va créer une Tête de séquence:

Exemple pour $N = 27$ et $2i = 54$ on applique la transformation $(54*3 + 2)/2 = 82$, qui n'est pas multiple de 4, donc $(82*3 +2 ) / 2 = 124$ un multiple de 4.on obtient une nouvelle Tête de séquence = 62

Tête de séquences :
N=2i :

54 : 82 ; 124 = 4m ....> chaque séquence se terminera sur un multiple de 4 = 4m pour créer une nouvelle tête de séquences.
62 : 94 ; 142 ; 214 ; 322 ; 484 = 4m

242 : 364 = 4m
182 : 274 ; 412 = 4m
206 : .....etc...et on réitère jusqu'à la dernière tête de séquence 4 et 2.
350 :
..
..
etc
..

4 :
2 :

Tu fais ensuite le bilan des différences positives et négatives des têtes de séquences, tu obtiendra une valeur négative

52 + 8 = 62
62 +180 = 242
242 - 60 = 182

..etc ..

Pour 54=2*27, AS2 donne 30 séquences,

Une séquence est donc une pseudo suite géométrique parfaitement définie. On ne peut imaginer qu’une suite géométrique puisse boucler sur elle-même ;
par conséquent si et seulement si, il existe une autre boucle que la dernière = 4.2.1 elle ne peut se produire que sur les têtes de séquences !!

[" On constatera aussi que la première colonne Tête de Séquence doit avoir résultat négatif entre la somme des différences positives et négatives. Le contraire ne ferait pas redescendre le vol sur le cycle (4,2). Ce qui donne la aussi entre tous les vols une « suite » de termes négatifs en progression arithmétique de raison -4 ; dont le premier terme du vol $i = 3$, est - 4 , -8, -12….etc « la suite générale est de raison -4 »]
la valeur négative est donnée par la première séquence 2 - 2i = - x ; qui correspond au bilan de la somme des différences positives et négatives...etc.

Si on part du principe qu'il est inutile de démontrer une suite arithmétique car elle serra toujours vraie... On en déduit qu'il en serra de même de la structure arithmétique de Syracuse, donc chaque vol ou suite de Syracuse aura un bilan négatif tel que défini ci-dessus; soit pour l'AS1 ou l'AS2.

Bonne continuation .

Dernière modification par LEG (03-06-2021 09:42:53)

yoshi · 04-06-2021 08:02:38

Salut Omhaf,

Je pense l'avoir déjà dit, mais...

Je rédige tous les mois la revue de mon Association et je dois remettre mon boulot pour impression autour du 15 mars, 15 juin, 15 septembre, 15 décembre.
Cette revue comporte 10 pages consacrées à la vie de l'Association, et 10 pages d'articles d'intérêt général (de préférence centrée sur la montagne et l'"aviation" en général...), format A4...
Alors vois-tu, ça ne s'écrit pas comme ça, d'un simple claquement de doigts...
Après la phase écriture, vient la phase "Préparation du routage" :
la revue est tirées en 140 exemplaires :
Pour chaque exemplaire expédié, je dois déterminer
- quel est le Centre de Tri postal,
- quel est le numéro de tournée du Préposé de la Poste en charge de la distribution (le fichier global comporte 1800 pages sur 12 colonnes)
- regrouper les envois par code postal ou département (selon les quantités)
- regrouper les autres.
Alors, tu vois, ça non plus ça ne se fait pas comme ça, d'un simple claquement de doigts...

A part ça, j'ai ma vie de famille et quelques loisirs (lecture, programmation, bricolage)...

Tu vois, il y a des périodes de l'année où il ne faut pas trop m'en demander et être patient.

@+

Omhaf · 04-06-2021 14:46:10

Bonjour LEG
Merci pour ton post
je l'ai lu avec grand interêt

yoshi · 04-06-2021 18:03:05

Bonjour,

J'avais dégagé un peu de temps ce soir et modifié un des programmes Syracuse pour que soient stockées indépendamment les valeurs paires ou impaires dans deux listes nommées Pairs et Impairs.
Le temps que je corrige les fautes de frappe, je remonte à la source (pour voir le traitement que je devais appliquer à mes deux listes) et je constate que le post n°1 de notre ami avait été vidé de sa substance par son auteur...

Vol=[107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

Pairs=[322, 484, 242, 364, 182, 274, 412, 206, 310, 466, 700, 350, 526, 790, 1186, 1780, 890, 1336, 668, 334, 502, 754, 1132, 566, 850, 1276, 638, 958, 1438, 2158, 3238, 4858, 7288, 3644, 1822, 2734, 4102, 6154, 9232, 4616, 2308, 1154, 1732, 866, 1300, 650, 976, 488, 244, 122, 184, 92, 46, 70, 106, 160, 80, 40, 20, 10, 16, 8, 4, 2]

Impairs=[107, 161, 121, 91, 137, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 1367, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, 35, 53, 5]

Là, il y avait de quoi tester.
Et en cas de résultat concluant, il aurait été facile d'automatiser les tests sur le vol d'une série de nombres plus ou moins longue.
Alors, dommage, mais tant pis, je retourne à ma revue...

@+

Omhaf · 04-06-2021 21:53:48

Bonjour yoshi
Pensant que j'ai posté une bêtise et que par pudeur toi et LEG avez répondu sans citer ma constante
je reposte les postes que j'ai supprimé tout en m"excusant de t'avoir déconcentré de ton travail

Poste 1
----------------------------------------------------------
Par hasard, j'ai découvert une constante dans le développement de la conjecture de Syracuse
La méthode est valable jusqu'à présent uniquement pour les nombres impairs
et consiste en ceci
Calculer la différence algébrique entre les nombres impairs
La somme algébrique sera toujours égale au nombre choisi -1
Je donne un exemple et testez-en avec d'autres
Le nombre 7
7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
les nombres impairs dans ce cas sont

7 11 17 13 5 1

7 - 11 = -4
11 - 17 = -6
17 - 13 = 4
13 - 5 = 8
5 - 1 = 4
Somme algébrique= 6
Valeur absolue[6]= 6
7-6= 1
----------------------------------------------------------
Poste 2
----------------------------------------------------------
Voici une autre constatation relative aux nombres pairs
Il s'agit de sélectionner le premier nombre s'il est pair ainsi que tous les nombres pairs qui succèdent à un nombre impair
Le résultat est surprenant car il donne toujours 16 par différence de la somme algébrique au nombre pair principal

Exemple :
Nombre 36

36 18 9 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

36 et Nombres pairs succèdant aux impairs

36 28 22 34 52 40 16

28-36= -8
22-28= -6
34-22= 12
52-34= 18
40-52= -12
16-40= -24
Somme algébrique=
-8-6+12+18-12-24= -20

36-20=16

------------------------------------------------------
Pour ton exemple 107 je peux t'annoncer que ça s'est confirmé aussi
Remarque: pour les nombres pairs je n'ai parlé que du premier nombre pair et ceux qui suivent directement les impairs :

322 484 364 274 412 310 466 700 526 790 1 186 1 780 1 336 502 754
1 132 850 1 276 958 1 438 2 158 3 238 4 858 7 288 2 734 4 102
6 154 9 232 1 732 1 300 976 184 70 106 160 16

Merci et @+

LEG · 05-06-2021 10:32:36

Bonjour
36 est un multiple de 4 :

1): il ne peut pas être le premier terme ("première itération d'une suite $i$ des nombres impairs")

2): prend 34....Ta somme algébrique serra -32 ce qui correspond bien au 8 ème nombre impair > 1 , qui est 17. d'où : 2 - 34 = -32 = 8 * -4 = -32 suivante la suite arithmétique de l'AS2, de raison -4

3): { 34 . 52. 26. 40 . 20. 10 . 16 .8 .4 .2 } ce qui donne le bilan négatif : +18, -26, +14, -20, -10, +6, -8, -4, -2, = 38 - 70 = -32

4): contrairement à ce que tu supposais 34 -32 = 2 et non 16....

les suites de Syracuse sont encadrées par les nombres impairs de la forme : $2^{n} - 1$ qui produit une transition T à l'itération au rang $n$
une transition est le changement de groupes de suites arithmétiques de raison : 6 ;18 ; 54 ; 162 ...etc par colonne d'itérations au rang $n$

ce qui donne :
au rang 1 , la suite arithmétique de raison 6 qui va indexé tous les vols au rang 1 et en partant du vol $2i$ -2 , -6 ,-10 etc l'ensemble des entiers relatifs...
au rang 2 , les deux suites arithmétiques de raison 18 et 6 dont la somme = $6* 4^{0} = 24$
au rang 3 , les quatre suites arithmétiques de raison 54 , 18 ,18 , 6 de la forme $6*3^{n-1}$ ; la somme = $6 * 4^{2} = 96$
au rang 4 , les huit suites arithmétiques de raison 162 , 18 ,54 ,54 , 54 , 6, 18, 18. la somme $6 * 4^{3} = 384$

Syracuse est structure arithmétique organisée par des suites arithmétiques et géométriques...

Quel est la valeur de l'itéré au rang $n$ de chaque transition T , correspondant à un vol $i = 2^{n} - 1$ ? réponse $6*3^{n -1} - 2$

Par exemple le vol $i = 2^{4}-1 = 15$ donc $2i = 30$ valeur de l'itération au rang n = 4 : $6*3^{4 -1} - 2 = 160$ ; ce qui implique 4 ascensions constante avant de tomber sur un multiple de 4 et de redescendre ...puis remonter ...etc .."oscillation" avant de finir sur le bilan négatif de raison -4 , soit $2 - 2i$.

Ce qui veut dire que tu ne peux pas avoir un record d'altitude ni de durée de vol, puisque par principe tu tends vers l'infini avec les vols $2^{n} - 1$ en durée et en altitude constante avant de redescendre à l'itération T sur un multiple de 4. pour moi : "" il n'y a rien à prouver ""
il y a le cycle 4.2.1 dans les entiers relatif positifs et 3 cycles dans les entiers négatifs ...point barre !

Ce qui permet de relier trois vols X , Y et Z par leur colonne d'itération ou par le rang $n$ suivant l'exemple de $i = 15$ au rang 4 tu relies les 3 vols :
Y = -1 ; Z = -17 et X = 15 ; [(2*Y = -2) - (Z = -164) = X = 160 ] qui est bien la valeur pair de l'itération 4 du voli $i=15$. de l'AS2

i=15 ; 2i= 30 : itérés : 46 70 106 160

En prenant ton exemple avec le vol $ i = 107$, avec $2^{6}$ d'écart entre $X = 107$ , $Y = 43$ et $Z = -21$ on obtiendra au rang $n = 6$

i =107 ; 2i = [214] fonction de l'AS2 : 322 , 484 , 242 , 364 , 182 , 274

i =43 ; 2i = [86] fonction de l'AS2 : 130 , 196 , 98 , 148 , 74 , 112

i = -21 ; 2i = [ -42] fonction de l'AS2 : -62 , -92 , -46, -68 , -34 , -50 donc : (2*112) - (-50) = 274

Voila tu sais tout...

Donc supposer, que pour la structure arithmétique de Syracuse avec sa fonction : qu'il pourrait exister un vol i qui ne peut redescendre sur son cycle 4.2.1 est tout simplement une supposition idiote, car elle est fondée sur aucun argument arithmétique...sauf si le père noël existe et qu'il a un argument rigoureux .

Dernière modification par LEG (05-06-2021 13:55:04)

Omhaf · 05-06-2021 16:21:40

Bonjour LEG
concernant le nombre 34
ce que j'ai dis correspond totalement car
34 et la suite des nombres pairs qui succèdent à un impairs sont :

34, 52, 40, 16

34-52=-18
52-40=12
40-16=24
-18+12+24=18
34-18=16
j'espère avoir expliqué ma constante
@ +

yoshi · 05-06-2021 20:03:12

Re,

** Test des constantes de Omhaf **
Test avec n = 36
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1
--------------------------------------
Test avec n = 44
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1
--------------------------------------
Test avec n = 57
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1
--------------------------------------
Test avec n = 58
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1
--------------------------------------
Test avec n = 71
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1
--------------------------------------
Test avec n = 107
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1
--------------------------------------
Test avec n = 238
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1
--------------------------------------
Test avec n = 541
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1
--------------------------------------
Test avec n = 1032
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1
--------------------------------------
Test avec n = 13001
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1
--------------------------------------
Test avec n = 17018
La constante des nombres pairs : 16
Constante des nombres impairs: 1

@+

Omhaf · 05-06-2021 20:12:29

Bonjour,
Merci yoshi d'avoir donné de ton temps
Maintenant, mon souhait est de savoir quelle importance ont ces constantes algébriques pour avancer dans la compréhension et que signifient elles dans le cadre général de la conjecture

On fait modestement ce qu'on peut tout en espérant ouvrir une brèche dans l'inconnu
Merci encore

@+

Omhaf · 11-06-2021 04:48:33

Bonjour
je me suis permis de produire une vidéo sur youtube qui explique ce sujet pour ceux qui préfèrent regarder
https://www.youtube.com/watch?v=eVWIiwiRcP0
@ +

Matou · 11-06-2021 17:08:46

Bonjour,

je ne comprends pas trop.

Partons du nombre 454.
La suite de Syracuse est :
454 227 682 341 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1.

Je prends les nombres pairs comme tu le fais : 464 682 1024
464 - 682 = -218
682 - 1024 = -342

-218 -342 = -560
464-(-560)=1024

Je ne trouve pas 16 !!!

Où ai-je fais une erreur ?

Matou

yoshi · 11-06-2021 18:16:32

Re,

Effectivement 454 est passé à travers les trous de ma raquette...
Pour les pairs, je trouve bien 1024
Pour 1365 itou, je trouve 4096...
Celui-là c'était attendu, parce que j'ai chois 1365 = (4096-1)/3...
Je voulais vérifier s'il y avait une chance que ce soit parce qu'à un moment donné, on tombe sur $2^n$...
Si je pars de $2^n$, comme je ne garde que le premier pair et pas les autres, alors la fameuse constante n'existe pas...

Et encore 341 = (1024-1)/3 --> 1024
De même 151 =(454-1)/3 --> 1024

Voilà qui encore une fois prouve que toute "preuve" basée sur des exemples, aussi nombreux soient-ils, ne prouve rien...
Donc, je n'ai pas trop le temps encore de chercher d'autres cas où la colnsyante n'existe plus, même si on ne tombe jamais sur $2^n$

D'autre part, je me pencherai plus tard sur les impairs où la méthode de sélection est limpide et où, pour l'instant, tous mes nombres testés sont passés à côté des trous de ma raquette.

@+

Omhaf · 11-06-2021 20:36:44

Bonjour,
Merci Matou et yoshi
la question se complique effectivement voire s'enrichit, le regard à présent change :
qu'est ce qui différencie ces cas particuliers de la majorité des cas qui donnent les constantes ?
la question est en cours d'examen de ma part

@+

Omhaf · 19-06-2021 17:30:10

Bonjour à tous
après reflexion pendant plusieurs jours, j'en suis arrivé à une conclusion que je ne confirme pas totalement et qui consiste en ceci:
dans nos exemples confirmant notre première thèse le nombre 16 était le dernier nombre pair succédant un impair 5
si je ne me trompe pas le résultat ne seras pas 16 comme indiqué mais le dernier PAIR succédant au dernier impair (1 non compris)
le nombre 454 nous donne comme dernier pair succédant à un impair 1024 au lieu de 16
et donc la somme algébrique donnera 1024 au lieu de 16

@+

yoshi · 19-06-2021 17:40:32

Bonjour,

J'avais fait des essais : ça se produit dès que tu tombes suite à un impair sur une puissance de 2....
C'est toujours vrai parce que les suivants étant tous pairs, sauf le dernier (1) tu n'en tiens pas compte : ne reste alors que cette puissance de 2 !
Et pas seulement 1024, mais 2ⁿ où n est un entier non nul...

@+

Omhaf · 19-06-2021 20:54:46

Bonjour yoshi
merci pour ta réponse et ton interprétation mathématique
Oui c'est un $2{^n}$ au lieu de $2{^4}$ (cad 16)
@ bientôt
(je viens de modifier ce poste en réécrivant le symbole de puissance correctement Merci à LEG qui m'a guidé dans le poste suivant)

Dernière modification par Omhaf (20-06-2021 21:56:42)

LEG · 20-06-2021 08:09:10

Bonjour

(je n'arrive toujours pas à écrire 2 puissance n)

tu mets le signe du dollar puis tu tapes 2^{n} et tu fermes avec le signe du dollar
par exemple $2^{124}$ mais n'oublie pas d'appuyer sut la barre espace juste après le ^.

Omhaf · 20-06-2021 15:22:00

Bonjour,

Merci LEG j'ai oublié qu'il fallait payer aux américains un droit d'accès à la puissance hhhhhhhh

$USA^{50}$

Merci encore

Omhaf · 27-06-2021 16:37:40

Bonjour à tous, Bonjour yoshi
j'ai une théorie mais qui n'est pas encore vérifiable et qui consiste en ce qui suit
dans la conjecture de syracuse, et jusqu'à preuve du contraire, toutes aboutissent à la redondance
4 ,2 , 1
Ceci selon moi (et je peux me tromper) à cause de la formule appliquée aux nombres impairs
nous les multiplions par 3 et nous ajoutons 1
MAIS
si au lieu de les multiplier par 3 on les multiplie par 5 cela nous ramènera à une autre redondance qui est 16 8 4 2 1 au lieu de 4 2 1

reste à vérifier avec une routine sur une plage de nombres et voir ce que cela donne
si cela s'avère vrai, nous pourrons peut être généraliser sur d'autres coefficients de multiplication : 5 7 9 etc..
@ +

Dernière modification par Omhaf (27-06-2021 16:39:50)

Omhaf · 22-10-2021 15:46:48

Bonjour à tous,
J'espére que le forum reprenne plus d'activité comme avant.
Pour la dite constante que je me suis permis d'appeler constante syracuse je rectifie le raisonnement en déclarant que ce n'est pas le nombre 16 qu'on retrouve après le développement MAIS le dernier nombre pair qui succéde directement au dernier nombre impair.
La question qui demeure en suspens est : est ce que cela nous avance dans cette conjecture ?
Clin d'oeil spécial d'amitié à mes amis yoshi et LEG
@+

lby2lby2 · 10-06-2024 14:43:15

Messieurs,

Syracuse ou 3N+1 tout N>0 attérit sur le cycles 1,4,2,1
on notera que
3N+3 attérit sur le cycles 3,12,6,3
3N+9 attérit sur le cycles 9,36,18,9
plus généralement
3N+3^m attérit sur le cycles 3^m,4*3^m,2*3^m,3^m pour tout m>=0

Ceci est évident pour tout N multiple de 3^m, mais pas du tout pour les autres.
Testé pour m appartenant à [0,100] et N < 1 000 000 000

Pand quensez vous?

Cdt

Omhaf · 11-07-2024 01:33:15

Bonjour à tous
Matou a trouvé 1024 comme résultat de ma formule et non 16 pour sa suite commençant par un nombre pair.
Oui! effectivement, ce n'est pas 16 mais c'est un de ses multiples, ce qui nous pousse à réfléchir et à chercher plus loin encore et poser cette question : quelle est la raison qui nous fait aboutir à 16 ou à un de ses multiples et non un nombre quelconque.
@ bientôt

Dernière modification par Omhaf (11-07-2024 01:35:59)

syrac · 13-07-2024 13:14:34

Omhaf a écrit :
quelle est la raison qui nous fait aboutir à 16 ou à un de ses multiples et non un nombre quelconque ?

$16=2^4$, et tout nombre de la forme $2^x$ atteint 1 après $x$ divisions par 2. Par conséquent, si toute suite de Collatz atteint 1 alors l'un des prédécesseurs pairs de 1 est nécessairement de la forme $2^x$, sinon elle continuerait à l'infini.

$2^x$ est amené par son prédécesseur impair $n$, de sorte que $3\,n+1=2^x$, et donc $n=(2^x-1)/3$. On voit que $n$ n'est entier que lorsque $x$ est pair :

$\large n \in \left\{ \frac{2^{2k} - 1}{3} \mid k \in \mathbb{N}^+ \right\}$

Ceci permet de calculer la liste des prédécesseurs impairs immédiats de 1, c'est-à-dire 1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, ... Pour une raison inconnue c'est par 5 (suivi de 16) qu'une suite passe dans la majorité des cas.

syrac · 14-07-2024 01:32:51

Début de la liste des prédécesseurs impairs de 1 (c'est-à-dire le dernier terme impair avant 1) non divisibles par 3 :

1, 5, 85, 341, 5461, 21845, 349525, 1398101, 22369621, 89478485, 1431655765, 5726623061, 91625968981, 366503875925, ...

Exemples de suites compressées. Le dernier terme impair est en rouge ; après lui on descend directement vers 1 par une succession de divisions par 2 :

91221, 136832, 68416, 34208, 17104, 8552, 4276, 2138, 1069, 1604, 802, 401, 602, 301, 452, 226, 113, 170, 85, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

30563, 45845, 68768, 34384, 17192, 8596, 4298, 2149, 3224, 1612, 806, 403, 605, 908, 454, 227, 341, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

207109, 310664, 155332, 77666, 38833, 58250, 29125, 43688, 21844, 10922, 5461, 8192, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

30683, 46025, 69038, 34519, 51779, 77669, 116504, 58252, 29126, 14563, 21845, 32768, 16384, 8192, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

276167, 414251, 621377, 932066, 466033, 699050, 349525, 524288, 262144, 131072, 65536, 32768, 16384, 8192, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

251374325, 377061488, 188530744, 94265372, 47132686, 23566343, 35349515, 53024273, 79536410, 39768205, 59652308, 29826154, 14913077, 22369616, 11184808, 5592404, 2796202, 1398101, 2097152, 1048576, 524288, 262144, 131072, 65536, 32768, 16384, 8192, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

251374381, 377061572, 188530786, 94265393, 141398090, 70699045, 106048568, 53024284, 26512142, 13256071, 19884107, 29826161, 44739242, 22369621, 33554432, 16777216, 8388608, 4194304, 2097152, 1048576, 524288, 262144, 131072, 65536, 32768, 16384, 8192, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Les prédécesseurs impairs de 1 divisibles par 3, tels que 21, 1365, 87381, 5592405, 357913941, 22906492245, ..., n'ont eux-mêmes aucun prédécesseur. Ils ne peuvent donc se trouver qu'en première position dans leur suite respective.

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