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kadaide

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probabilités

Bonjour

Dans un jeu de 52 cartes on tire  successivement et sans remise n cartes sans les regarder pendant le tirage.
Calculer la probabilité qu'il y ait l'As de carreau dans l'échantillon tiré.

Mon raisonnement:
A:"l'As de carreau"
Soit l'As est tiré en premier ou en deuxième,..., ou en dernier.
J'ai raisonné sur un échantillon de 5 cartes.
J'en déduit:

D'après l'arbre P(A)=n/52.

Est ce juste ?
Si oui, y'a-t-il un raisonnement plus simple.

Merci d'avance.

Ci-joint l'arbre.

Black Jack

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Re : probabilités

Bonjour

Dans un jeu de 52 cartes on tire  successivement et sans remise n cartes sans les regarder pendant le tirage.
Calculer la probabilité qu'il y ait l'As de carreau dans l'échantillon tiré.

Mon raisonnement:
A:"l'As de carreau"
Soit l'As est tiré en premier ou en deuxième,..., ou en dernier.
J'ai raisonné sur un échantillon de 5 cartes.
J'en déduit:

D'après l'arbre P(A)=n/52.

Est ce juste ?
Si oui, y'a-t-il un raisonnement plus simple.

Merci d'avance.

Ci-joint l'arbre.
https://zupimages.net/up/20/51/9hsc.jpg

Réponse correcte.

Il y a plusieurs possibilités pour arriver à la solution.

Une des plus rapides est de calculer la proba P1 qu'on n'ait pas l'as de carreau dans les n tirages (sans remise)
On l'a directement en regardant l'arbre (mais on la trouve aussi sans avoir besoin de dessiner l'arbre, raisonnement simple)
C'est le produit des probas de ne pas, à chaque tirage, tirer l'as dans les cartes restantes, soit P1 = 51/52 * 50/51 * ... * (52-n)/(53-n)
Produit où presque tout se simplifie entre le numérateur et le dénominateur (sauf 1 terme au numérateur et un au dénominateur)
Donc P1 = ...

On a ensuite la proba de la présence de l'as de carreau par 1 - P1
********
On peut aussi calculer (avec l'arbre) directement la proba d'avoir l'as, mais les calculs, bien que faciles, sont plus longs.
********
On peut le faire par numération.

En déterminant le nombre de mains possibles de n cartes parmi 52 cartes
Puis en déterminant le nombre de mains qui contient l'as de carreau
... puis faire le rapport de ces 2 nombres
********

Chacun sa technique.

kadaide

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Re : probabilités

C'est le produit des probas de ne pas, à chaque tirage, tirer l'as dans les cartes restantes, soit P1 = 51/52 * 50/51 * ... * (52-n)/(53-n)

P1=(52-n)/52
P(As)=1-(52-n)/52=n/52

On peut le faire par numération.

En déterminant le nombre de mains possibles de n cartes parmi 52 cartes
Puis en déterminant le nombre de mains qui contient l'as de carreau
... puis faire le rapport de ces 2 nombres

Justement j'y ai pensé avant de poster mon mail mais je bloque:
Puisque c'est un tirage successif sans remise on utilise les arrangements je pense.
n cartes parmi 52: A(52,n)=52!/(52-n)! = 52*51*50*...*(53-n)
Nombre de mains qui contient As: 1 parmi n = A(n,1)=n!(n-1)!=n mais je ne suis pas sûr.
P(As)=n/( 52*51*50*...*(53-n)! puis rien !

Black Jack

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Re : probabilités

Bonjour,

nombre de mains de n cartes avec 52 cartes :  N1 = C(52,n)  (l'ordre de tirage des cartes est sans influence sur la main)

nombre de mains sans l'as de carreau = nombre de main de n cartes avec 51 cartes (les 52 cartes - l'as de carreau) :  N2 = C(51,n)
nombre de mains avec l'as de carreau = N1 - N2

Proba d'avoir l'as de carreau = (N1 - N2)/N2 = ...

kadaide

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Re : probabilités

N1 = C(52,n)  (l'ordre de tirage des cartes est sans influence sur la main)

Si je me rappelle bien quand j'étais lycien, un tirage successif sans remise = arrangement sans répétition
Un tirage simultané (tirer une poignée de ...) = combinaison.

Bon, P( sans As )=(51!*n!*(52-n)!/(n!*(51-n)!*52!)=(52-n)/52
P(As)=1-(52-n)/52 = n/52

On retrouve bien le résultat.

kadaide

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Re : probabilités

l'ordre de tirage des cartes est sans influence sur la main

Oui j'ai compris, le tirage se fait sans regarder la carte tirée donc c'est l'équivalent d'un tirage simultané.