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mourad.t

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Question dans la théorie des ensembles

Bonjour tout le monde,

j'ai quelques lacunes dans la théorie des ensembles

par exemple :

si je considère l'ensemble

[tex]A_n {=}\{k \in \mathbb{N} \, ; 1\le k \le n \} \,\, n \in \mathbb{N}[/tex]

soit [tex]B=\{A_n \, ; n \in \mathbb{N} \}[/tex]

ma question : est ce que [tex] \mathbb{N}^* \in B[/tex]  ?

Merci d'avance.

EL ABBAS 01

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Re : Question dans la théorie des ensembles

Bonjour  vous pouvez vérifier  que:

1) (A_n ∪ A_m) ε B   ∀ m,n ε N
et
2) N*=∪A_n pour n>0

mourad.t

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Re : Question dans la théorie des ensembles

Bonjour "EL ABBAS 01",

merci pour votre réponse, Donc d'apres (1) et (2)  [tex]\mathbb{N^*} \in B[/tex]

pour (1) "union finie" c'est facile de vérifier que [tex]A_n \cup A_m {=}  A_{max(n,m)} \in B[/tex]
et cela est vrai pour tout suite d'union finie.

pour (2) "union infinie " je sais pas comment faire.

Merci.

EL ABBAS 01

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Re : Question dans la théorie des ensembles

pour 1) est vrai pour tout union finie ou dénombrable 
pour 2)
N*={1}∪ {1,2}∪{1,2,3}∪{1,2,3,4}∪{1,2,3,4,5}∪..........∪{1,2,3,4,5,6.............}=A_1∪A_2∪A_3∪A_4∪A_5∪......= union(n⩾1) de A_n

mourad.t

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Re : Question dans la théorie des ensembles

D'accord merci beaucoup.

Leclerc

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Re : Question dans la théorie des ensembles

Bonjour!
A priori les éléments de B sont des parties finies de N, donc N* n'est pas dans B...
Bon courage!

aroufgangsta

Invité

Re : Question dans la théorie des ensembles

Bonjour!
A priori les éléments de B sont des parties finies de N, donc N* n'est pas dans B...
Bon courage!

Cette personne a raison : il faut comprendre que $B$ est l'ensemble des ensembles de la forme $[| 1,n |]$, avec $n$ un entier.
Est-ce que $\mathbb N^*$ peut s'écrire de cette forme ? Non. Ainsi, $\mathbb N^*\notin B$.

Une manière de le formaliser serait de montrer la chose suivante : $\forall A\in B, \exists m\in\mathbb N^*~|~m\notin A$ (se fait en revenant à la définition de $B$ et des $A_n$).

mourad.t

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Re : Question dans la théorie des ensembles

Bonjour a tous,

merci pour vos réponses.

Donc je vais essayer de montrer que l'assertion de "aroufgangsta" est vraie :

Soit [tex]A[/tex] un élément quelconque de [tex]B[/tex]
par definition de [tex]B \,\,\,\, \exists n \in \mathbb{N} \,\,|A_n{=}A[/tex]
si on prend [tex]m{>}n[/tex]  par définition de [tex]A_n \,\,\,m \notin A_n[/tex] donc [tex]m \notin A[/tex]
et [tex]m \in \mathbb{N^*}[/tex] car [tex]m{>}n\ge0[/tex]
Cela vérifie que l'assertion est vraie.

j'espère que je n'ai pas fait de faute.

encore Merci.

Dernière modification par mourad.t (02-11-2020 22:04:36)