Tous les triangles de la figure sont isocèles rectangles.
On prendra comme unité la longueur des cotés adjacents à l'angle droit d'un petit triangle.
De plus, on distingue deux types de triangles :
- ceux dont l'angle droit est vers le bas :
- ceux dont l'angle droit est vers le haut.
Enfin on numérote les colonnes de droite à gauche.
Et on comptera le nombre de triangles que l'on ajoute en dessinant une colonne de triangles supplémentaire.
0 colonne : 0 triangle
La colonne 1 ajoute :
- triangle vers le bas : 1 de taille 1
- triangle vers le haut : 0
soit 1
La colonne 2 ajoute :
- triangle vers le bas : 2 de taille 1, 1 de taille 2
- triangle vers le haut : 1 de taille 1
soit 4
La colonne 3 ajoute :
- triangle vers le bas : 3 de taille 1, 2 de taille 2, 1 de taille 3
- triangle vers le haut : 2 de taille 1
soit 8
La colonne 4 ajoute :
- triangle vers le bas : 4 de taille 1, 3 de taille 2, 2 de taille 3, 1 de taille 4
- triangle vers le haut : 3 de taille 1, 1 de taille 2
soit 14
La colonne 5 ajoute :
- triangle vers le bas : 5 de taille 1, 4 de taille 2, 3 de taille 3, 2 de taille 4, 1 de taille 5
- triangle vers le haut : 4 de taille 1, 2 de taille 2
soit 21
1+4+8+14+21=48
Il y a donc 48 triangles au total.
On peut même généraliser :
La colonne $n$ ajoute :
- triangle vers le bas : $\displaystyle \sum_{k=0}^n k\ =\ \dfrac{n(n+1)}{2}$
- triangle vers le haut : $\left\{\begin{array}{lll}
\displaystyle \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} 2k & =\ \dfrac{n^2-1}{4} & \text{si } n \text{ impair} \\
\displaystyle \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (2k+1) & =\ \dfrac{n^2}{4} & \text{si } n \text{ pair}
\end{array}\right.$
soit...
