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Cocomaths

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Rayon de convergence

Bonjour !

Je n'arrive pas à trouver le rayon de convergence pour la série : [tex]\sum_{n>=1}({1-\frac{1}{2n^2}})^{n^\alpha}z^n[/tex]
Il faut savoir que d'habitude je le trouve avec d'Alembert.

J'ai trouvé une moitié de réponse. En effet, j'ai posé [tex]a_n=({1-\frac{1}{2n^2}})^{n\alpha}= exp(n^\alpha ln(1-\frac{1}{2n^2})[/tex]
J'ai fait une composition de DL en 0 sauf que je peux le faire si [tex]\alpha<2[/tex] et après j'ai fait [tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex] j'ai fait trouvé la limite et donc R=1

Mais si \alpha >2 je ne sais pas comment m'y prendre..

Si quelqu'un a une idée je suis preneur !
Bonne journée à tous
Bien cordialement

Dernière modification par Cocomaths (14-05-2020 14:18:10)

Fred

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Re : Rayon de convergence

Bonjour!

  Ici, je ne pense pas qu'utiliser la règle de d'Alembert, même si c'est possible, soit la meilleure idée ici.
J'étudierai plutôt la suite $(a_n r^n)$ et je détermine les valeurs de $r$ pour lesquelles elle est bornée
(le rayon de convergence est la borne supérieure de ces $R$).

Ici, on a en faisant un développement limité du logarithme, sauf erreur de ma part,
$$a_n r^n =\exp\left(-\frac{n^{\alpha-2}}2+n\ln r+o(n^{\alpha-2})\right).$$

Et là, tu dois distinguer trois cas :
1. Soit $\alpha>3$, et dans ce cas, c'est le terme $n^{\alpha-2}$ qui domine. Pour toute valeur de $r$, on a $a_n r^n$ qui tend vers $0$, et donc le rayon de convergence vaut $+\infty$.
2. Soit $\alpha<3$, et dans ce cas, c'est le terme $n\ln r$ qui domine. Je te laisse calculer le rayon de convergence.
3. Soit $\alpha=3$. Dans ce cas, ce qu'il y a dans l'exponentielle se simplifie et je te laisse continuer.

F.

Cocomaths

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Re : Rayon de convergence

Bonjour !

C'est vrai que revenir à la définition si je puisse dire me parait une bonne idée. Avant tout je tiens à m'excusez j'ai fait une faute dans l'énoncé la puissance c'est [tex]n^\alpha[/tex]. La voici écrite correctement : [tex]\sum_{n>=1}({1-\frac{1}{2n^2}})^{n^\alpha}z^n[/tex]

Je ne comprends pas comment vous avez procédé pour trouver [tex]a_nr^n[/tex]
En effet si je fais un DL en 0 d'odre 1 de [tex]ln(1-\frac{1}{2n^2})[/tex] alors je trouve [tex]\frac{-1}{2n^2}[/tex]

De plus, je vois bien qu'il y a 3 cas. Mais personnellement j'aurais fait avec [tex]\alpha<2+\infty [tex]\alpha=2[/tex] et [tex]\alpha>2[/tex]

Cependant quand j'aurais vérifié votre DL et que j'aurai compris qui faut faire [tex]\alpha[/tex] selon 3

Pour le cas1, je suis tout à fait d'accord avec vous !
Pour le cas 2, je vois bien que [tex]nln(r)[/tex] domine or [tex]\lim_{n->\infty} nln(r) = +\infty[/tex] pour tout r (on peut peut-être parler de croissance comparée) Donc [tex]R=0^+[/tex]
Pour le cas 3, cela revient à [tex]exp(-\frac{n^2}{2} +nln(r)) = exp(n(-\frac{1}{2}+ln(r))[/tex] donc [tex]\lim_{n->\infty} exp(n(-\frac{1}{2}+ln(r))[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex] pour tout r

Dernière modification par Cocomaths (14-05-2020 14:46:58)

Fred

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Re : Rayon de convergence

Donc quand tu multiplies par $n^\alpha$, tu obtiens bien $-n^{\alpha-2}/2$, non??
et comme tu compares avec $n\ln r$, c'est bien la position de $\alpha$ par rapport à 3 qui compte.

Cocomaths

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Re : Rayon de convergence

Re,
oui excusez-moi j'avais oublié ceci !
Oui oui d'accord j'ai compris !
Conclusion Si [tex]\alpha= 3[/tex] [tex]R=+\infty [/tex], si [tex]\alpha<3[/tex] [tex]R=0^+[/tex] et enfin si [tex]\alpha >3[/tex] [tex]R=+\infty [/tex]

JE vous remercie pour votre aide et je vous souhaite une bonne journée !
Bien cordialement

Dernière modification par Cocomaths (14-05-2020 15:03:39)

Cocomaths

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Re : Rayon de convergence

Excusez-moi j'ai une dernière question.
C'est vrai j'ai fait sans réfléchir parce que j'utilisais d'Alembert mais quand on trouve la limite pour les différents [tex]\alpha[/tex] pour trouver R on fait toujours [tex]1\R[/tex] ?

Cocomaths

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Re : Rayon de convergence

En effet, au début vous avez dit que le rayon de convergence est l bborne supérieure des R ..
De plus je me rend compte que quand [tex]\alpha =3[/tex] si r=0 alors la limite est 1 donc R=1

Dernière modification par Cocomaths (15-05-2020 18:16:11)