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Manu918

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les sous espaces supplémentaires...

svp c'est urgent, j'ai pas pal de sopucis a demontrer la chose suivante:
soit E=IR^IR, on considere les ensembles :
      F:={f appartient a E, f(1)=0}  et G:={f appartient a E, il existe a appartenant à IR, qqsoi x  appartenant à IR, f(x)=ax}
    et il faut montrer que G et F sont 2 sous espaces vectoriels supplémentaires!
si deja vous pouviez me montrer que F et G sont des sev de E, ce serait deja trés bien
PS: si vous pouviez detailler qque peu, je vous en serai grés

Dernière modification par Manu918 (29-01-2006 16:08:35)

J2L2

Invité

Re : les sous espaces supplémentaires...

F:={f appartient a E, f(1)=0} est un sev car bf+g (b réel, f et g dans F) est encore dans F puisque  (bf+g)(1) = b*f(1)+g(1)=0+0=0

G est aussi un sev car (bf+g)(x)=b*f(x)+g(x)=bax+a'x=(ba+a')*x

Soit f € E : si f(x) = g(x) + h(x) avec g(1)=0, on a f(1)=h(1) = a  (g€F et h€G)

d'où  f(x) = g(x)+x*f(1)

g est donc déterminée par g(x)=f(x)-xf(1) et h par h(x)=f(1)*x

Donc E=F+G et la somme est bien directe car si f€F et G aussi, on a f(x)=ax et f(1)=a=0 donc f=0