exo sur les complexes[Résolu]

calypso1988 · 06-11-2007 20:08:37

Bonjour J'ai un exo sur les comples la fonction est: Z=f(z)= i*((z-2i)/(z+i))
Déterminer les points M d'affixe z tels que Z reel

Pour resoudre on fait soit on fait Z=Zbarre ou z=x+iy mais je n'arrive pas un résultat logique soit équation de cercle ou de droite. Pouvez-vous vous m'aider
Merci d'avance

yoshi · 06-11-2007 20:32:22

Bonsoir,

Ainsi que je te l'avais dit, la réponse à ta question est contenue dans la discussion initiée par Maya...

Je veux bien recommencer.
J'avais d'abord écrit :

[tex]\frac{z-2i}{z+i}=\frac{x+iy-2i}{x+iy+i}=\frac{x+i(y-2)}{x+i(y+1)}=\frac{[x+i(y-2)][x-i(y+1)]}{x^2+(y+1)^2}=\frac{1}{x^2+(y+1)^2}}\times[x+i(y-2)][x-i(y+1)][/tex]
A partir de là, je développe et réduis le produit des 2 crochets (j'appelle ci-dessous ce résultat : produit) et je fais apparaître : Re(produit) et Im(produit).
Dans les 2 cas on peut négliger la fraction 1/..., puisqu'on va avoir une équation dont le 2nd membre est 0 et que le dénominateur n'est jamais nul...
Pour le a) (z-2i)/(z+)i réel pur c'est que Im(produit) = 0
Pöur le b) inversement, si (z-2i)/(z+)i imaginaire pur pur c'est que Re(produit) = 0

puis dans une réponse suivante :

C'est pourtant un procédé classique... Ton 2e membre sera 0.
[tex]\frac{1}{x^2+(y+1)^2}}\times[x+i(y-2)][x-i(y+1)]=\frac{1}{x^2+(y+1)^2}}\times[x^2-x(y+1)i+x(y-2)i+(y-2)(y+1)][/tex]
[tex]\frac{1}{x^2+(y+1)^2}}\times[x+i(y-2)][x-i(y+1)]=\frac{1}{x^2+(y+1)^2}\times[x^2+(y+1)(y-2)+i.x(y-2-y-1)][/tex]
Donc on s'intéresse à :
[tex]x^2+(y+1)(y-2)+i.(-3x)[/tex]
On a donc, pour ce morceau :
[tex]Re(produit)=x^2+(y+1)(y-2)[/tex]
Et
[tex]Im(produit)= -3x[/tex]
Maintenant pour a) et b) on a l'un ou l'autre = 0...

Et enfin... consulte la dernière réponse de cette discussion : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1364

@+

calypso1988 · 06-11-2007 20:47:43

Je suis bien d'accordd avec vous dans le developement mais le i au debut de la fonction qui multiplie tout la fraction il disparait?Mais pourquoi

yoshi · 06-11-2007 21:34:31

Bonsoir,

je vais appeler la fraction z'...

On a donc Z=i.z'
Et on veut que Z soit réel pur...
si z' est un complexe, alors Z aussi...
Mais si z' est imaginaire pur, donc du type k.i (avec k réel) alors Z = k.i² = -k réel...
IL faut donc chercher z (petit z cette fois, donc x et y) pour que z' soit imaginaire pur...
Par ce petit raisonnement, on se débarrasse du i devant la fraction, puisque si cette fraction est un imaginaire pur, multiplier par i ensuite aboutira à un réel pur, ce qu'on demande...

Suis-je plus clair, cette fois ? Ou n'ai-je encore rien compris à ta question ?

@+

calypso1988 · 07-11-2007 11:15:39

Oui j'ai compris mais commen expliquée cela dans ma copie?JE ne comprend pas juste votre fin ou vous dite multiplier par i ensuite aboutira a un reel pur mais une fois le resulatta trouvé on remultiplie pa par i

yoshi · 07-11-2007 11:42:22

Bon,

Reprenons avec la notation donnée ci-dessus :
Z=i.z'.
A quelle condition Z est-il réel pur ?
Réponse : A condition que z' (la fraction) soit un imaginaire pur...

Pourquoi ?
Parce que si on multiplie un imaginaire pur par i, on obtient un réel pur (ça suffit comme justification).
Si tu veux une preuve de plus : avec k réel, i.(k.i) = = -k réel pur...

Donc, il n'y a plus qu'à chercher à quelle condition (z-2i)/(z+i) est un imaginaire pur..
Et la réponse est : si la partie réelle de (z-2i)/(z+i) est nulle...
Et cette fois ? C'est mieux ?

@+

calypso1988 · 07-11-2007 12:53:10

oui tres bien merci beaucoup puis-je t'embeté avec une autre question si tu as le temp la suite de mon exercice est cherché l'emsemble des points M d'affixe z tels que Z=0 et Z=3
Est ce que faut faire Z=0 donc i*((z-2i)/(z+i))=0 (z+2)/(z+i)=0
De meme pour Z=3 ou faut faire autrement

yoshi · 07-11-2007 13:07:26

Salut,

Z = 0 à une seule condition, c'est que partie réelle de (z-2i)/(z+i) et partie imaginaire soient toutes deux nulles...
Puisque c'est "et", il s'agira de l'intersection des 2 courbes...
Il faut te resservir des calculs...

Pour Z = 3, il faut que partie réelle de (z-2i)/(z+i) = 3 et partie imaginaire = 0. Mais là par contre pour la partie réelle, on a besoin du dénominateur...

Va falloir que je regarde ça de plus près...

@+

calypso1988 · 07-11-2007 13:34:02

alors pareil on laisse tombé le i?Je ne comprend pa tres ben ton resonnement dc pour Z=O c lequation du cercle et laxe des imaginaire

yoshi · 07-11-2007 14:05:40

Bonjour,

Disons que Z = Re+i.Im, en appelant Re la partie réelle et Im la partie imaginaire...
Pour avoir Z=0, on doit avoir simultanément Re=0 et Im=0...
Puisque les deux sont nuls, peu importe qui est Re et qui est Im...
Par contre, intersection veut dire : ensemble des points qui appartiennent à l'une et à l'autre courbe simultanément, donc les points d'intersection des 2 courbes...

Mais je viens de trouver plus simple :
[tex]Z=i.\frac{z-2i}{z+i}[/tex]
pour que cette écriture ait un sens, on doit avoir z différent de -i...
Moyennant quoi, le dénominateur n'étant jamais nul, pour que Z =0 comme i n'est pas nul, il faut que le numérateur soit nul. Soit z = 21 et M = B...
Ce qui veut aussi dire que pour la question Z réél pur il fallait prendre comme réponse : le cercle de diamètre [AB] sauf le point A d'affixe (-i)

Par contre pour Z=3, j'ai répondu trop vite.
Les conditions Re=3 et Im=0 sont bonnes, mais il faut effectivement, cette fois, multiplier par i, ce qui inverse (au signe près) Re et Im par rapport à ma réponse initiale...
Pour me faire comprendre, si je prends 2+3i j'ai Re =2 et Im =3, et si je multiplie par i j'obtiens -3+2i et alors Re=-3 et Im = 2. Comprends-tu ?

@+

calypso1988 · 07-11-2007 17:33:48

non la tu ma tout melangé pour Z reel pur c laxe des imaginaire ou bien le cercle

yoshi · 07-11-2007 18:53:58

Bonsoir,

1. Pour Z est un réel pur, je ne change rien, j'apporte une précision...
J'avais dit : cercle de diamètre [AB] avec A(-i) et B(2i)...
or z+i ne doit pas être pas nul puisqu'il est en dénominateur, donc il faut exclure ce cas...
La réponse est donc : Z est un réel pur, si M appartient au cercle de diamètre [AB] privé du point A.

2. Pour Z = 0, on a i.(z-2i)/(z+i)=0 donc (z-2i)/z+i)=0 donc z-2i=0 et en fin z = 2i, soit le point B...

3. Pour Z=3, on a déjà :
[tex]\frac{1}{x^2+(y+1)^2}\times[x+i(y-2)][x-i(y+1)]=\frac{1}{x^2+(y+1)^2}\times[x^2+(y+1)(y-2)+i.(-3x)[/tex]
donc:
[tex]i.[\frac{1}{x^2+(y+1)^2}\times[x^2+(y+1)(y-2)+i.(-3x)]=3=3+i\times 0[/tex]
D'où :
[tex]\frac{1}{x^2+(y+1)^2}\times[3x + i(x^2+y^2-y-2)=3+i \times 0[/tex]

On a donc enfin :
[tex]\left{\frac{3x}{x^2+(y+1)^2}=3\\\;\;et\\x^2+y^2-y-2=0[/tex]
Ce qui nous donne deux points, intersections de deux cercles...

NB : J'ai développé et réduit (y+1)(y-2)

@+

calypso1988 · 07-11-2007 19:12:11

ok mais moi je trouve Z reel pur ssi im(z)=o doc -3x=0 donc axe des iamginaire et toi tu me dit le cercle ya un probleme tu e comprend

yoshi · 07-11-2007 19:49:02

Bonsoir,

Là, je commence à perdre patience... J'ai déjà répété 20 fois la même chose....

Allons-y pour une 21e et dernière fois !
Si je multiplie un imaginaire pur par i, je tombe sur un réel pur. OK ?
Donc
[tex]Z=i.\frac{z-2i}{z+i}[/tex]
est un réel pur si et seulement si
[tex]\frac{z-2i}{z+i}[/tex]
est un imaginaire pur...

Et pour que
[tex]\frac{z-2i}{z+i}[/tex]
soit un imaginaire pur, il faut donc que :
[tex]Re\left(\frac{z-2i}{z+i}\right)=0[/tex]

Donc :
[tex]x^2+y^2-y-2=0[/tex]

Moi, j'arrête là, si quelqu'un veut essayer à son tour au cas où il y ait une réponse, libre à lui !

@+

[EDIT]
Voilà les affixes de 7 points dudit cercle
[tex]sqrt 2,\;{-}sqrt 2,\;{3 \over 2}+{1 \over 2}i,\;{-3 \over 2}+{1 \over 2}i,\; 2i,\;sqrt 2+i,\;{-}sqrt 2+i[/tex]
Ces 7 affixes donnent bien Z réel pur...

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