Forum de mathématiques - Bibm@th.net

vercar

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Probabilité

Bonsoir chers tous.
Besoin d'aide pour cet exerce s'il vous plait.
on choisit au hazard un point dans un triangle OAB ou A et B sont les points de coordonnées (1,1) et (-1,1) dans un repère orthonormé d'origine O. Soit Y la variable aléatoire réelle égale à l'ordonnée de ce point.
1- Déterminer la loi de Y
2-Déterminer E(X) et V(Y)

Rossignol

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Re : Probabilité

Bonjour,

À mon avis, la toute première question à se poser est : qu'est-ce que tirer un point "au hasard" dans le triangle OAB ?
Les réponses dépendent du protocole choisi.

Voir le paradoxe de Bertrand.

@+

Rossignol

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Re : Probabilité

Oubliez ce que j'ai dit. Je complique ! 
Tirer un point "au hasard" doit vouloir dire que les points sont répartis uniformément dans le triangle. 
L'exercice est alors trivial : les probabilités sont proportionnelles aux aires.

Pour la fonction de répartition $F$ de $Y$, $F(y)$ représente l'aire du triangle dont les points ont une ordonnée inférieure à $y$.
L'aire d'un triangle étant le demi-produit de la base par la hauteur, on a, pour $y\in[0,1]$

$$F(y) = \frac{1}{2}2y.y = y^2$$

La densité est $f$ :

$$f(y) = F^\prime(y) = 2y$$

d'où

$$E(Y) = \int_0^1yf(y)dy = \int_0^12y^2dy = \frac{2}{3}$$

$$V(Y) = \int_0^1y^2f(y)dy - E(Y)^2 = \int_0^12y^3dy - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}$$