Nombres rationnels et décimaux Nombres réels CRPE

sarah2811 · 24-01-2017 15:30:39

Bonjour !

Ce vocabulaire me parait tellement barbare et lointain... rationnels, décimaux, réels, irrationnels, entiers, naturels ... :-) J'ai l'impression que c'est une devinette, ou même pire, juste en énonçant ces mots, j'ai l'impression de poser un problème :-D :-D
Heureusement que vous êtes là !

Bref, je cesse mes plaintes !

Donc voilà je débute ce chapitre, donc en lisant ma leçon, j'ai des questions (comme d'habitude, Pourquoi ? Comment ) auxquelles je ne parviens pas à répondre, je me tourne alors vers vous.

Nombres rationnels , fraction irréductible :

Je comprends qu'à moitié le Comment.
Ok faut trouver le PGCD mais comment:
exemple = 430
____
336
c'est une fraction, je ne sais pas comment faire une fraction pourtant j'ai essayé avec ça: [\frac{a}{b}] mais ça ne marche pas :-( )
440= 2³ x 5 x 11
Comment on en arrive là ? D'où vient cette suite de chiffre ???

la même chose pour 336 = 2⁴ x 3 x 7

L'exposant est différent et pourtant le pgcd est 2³
Je ne comprends pas.

Nombres rationnels, Fraction inverse

a et b étant deux nombres entiers relatifs non nuls, l'inverse de la fraction a sur b est la fraction b sur a.
à quoi ça sert ça ? Y a t-il des exceptions ?

Nombres rationnels, Comparaison de fractions

Comparer 17 sur 27 et 11 sur 18
Il faut remplacer chaque fraction par une fraction égale. On remarque que 54 est un multiple commun de 27 et de 18.
Comment sait-on cela ? Si nous ne sommes pas doués en calcul (rapide) mental(comme moi), comment je fais pour le trouver ce multiple commun ?
De plus j'apprends que finalement [\frac{17}{27}] = [\frac{34}{54}]
Double peine pour moi, je vois apparaître ce 34 .... ?

Puis, 11 sur 18 qui est égale à 33 sur 54 ?

Ça y est je suis mise en déroute.

Du coup je préfère la méthode avec la valeur décimale. Mais la méthode permettant de calculer la valeur décimale est elle adaptée à toutes les situations ? Je m'explique si on me demande de trouver la plus petite ou la plus grande fraction d'une liste de fraction, puis je avoir recours à cette méthode systématiquement ?

Nombres rationnels, Partie entière d'une fraction

Def: La partie entière d'une fraction est le plus grand nombre entier inférieur à cette fraction. Une fraction peut être décomposée en somme de sa partie entière et d'une fraction inférieure à 1.

Je ne comprends pas la dernière partie de la définition : "d'une fraction inférieure à 1."

Encore beaucoup de questions et je n'en suis qu'aux nombres rationnels, je vous remercie pour aide future :-)

Sarah.

Dernière modification par sarah2811 (24-01-2017 16:42:19)

yoshi · 24-01-2017 18:24:21

Re,

[\frac{a}{b}]

1. Les crochets sont inutiles...
2. Soit tu sélectionnes ta formule et tu cliques sur l'icône T_EX, le premier à gauche de la barre d'outils des messages et hop !
[tex]\frac{a}{b}[/tex]
Soit tu mets un dollar de part et d'autre de la formule : $\frac{a}{b}$
Il y a quand même une différence de taille.
Tout est là : Code LateX

PGCD
A partir de la décomposition en produit de facteurs premiers.
Le PGCD de deux nombres (ou plus) est le produit des nombres premiers communs affectés chacun de leur plus petit exposant.
Le début (ça ne finit jamais) de la liste des nombres premiers est :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...
Dans le cas de 440 on procède ainsi pour décomposer :

On teste la divisibilité à partir de 2 : [tex]440 \div 2 =220[/tex] on écrit à gauche le quotient exact qui devient le nouveau dividende, et le diviseur s'inscrit à droite.
On se repose la question : 220 divisible par 2 ? Oui, alors on continue : le 2 prend place à droite de 220 et le quotient, 110, sous 220...
110 divisible par 2 ? Oui, alors on continue : le 2 prend place à droite de 110 et le quotient, 55, sous 110...
55 divisible par 2 ? Non. On passe au nombre premier suivant : 3.
55 divisible par 3 ? Non. On passe au nombre premier suivant : 5.
55 divisible par 5 ? Oui. [tex] 55 \div 5 = 11[/tex]
11 se divise par 11. Quotient 1 : c'est le test d'arrêt...
J'ai donc :
[tex]440 =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5\times 11 = 2^3\times 5 \times 11[/tex]
On fait ça dans l'orde croissant, on n'abandonne pas un nombre premier tant qu'on peut diviser par lui...
Ce sont des consignes qui permettent de ne rien oublier...
Cette méthode est très pratique pour plus de deux nombre...
Méthode dite de l'algorithme d'Euclide (divisions successives)
Plus rapide pour deux nombres.
On fait la division euclidienne (en s'arrêtant au quotient entier) de 440 par 336.

440 | 336 
104 | 1

Le diviseur devient le nouveau dividende et le reste, le nouveau diviseur...

440 | 336        336 | 104        104 | 24        24 | 8
104 | 1           24 |3             8 |4           0 |3

Le reste 0 est le test d''arrêt : le dernier diviseur est le PGCD cherché...

Nombres rationnels, Fraction inverse
a et b étant deux nombres entiers relatifs non nuls, l'inverse de la fraction a sur b est la fraction b sur a.
à quoi ça sert ça ? Y a t-il des exceptions ?
Si les nombres entiers a et b ne sont pas nuls, non il n'y a pas d'exceptions :
[tex]\dfrac{1}{\frac a b}=\frac b a[/tex]
Le quotient de deux fractions s'obtient en multipliant la fraction dividende par l'inverse de la fraction diviseur :
[tex]\dfrac{\frac a b}{\frac c d}=\frac a b \times \frac d c=\frac{a \times d}{b \times c}[/tex]
Exemple numérique :
[tex]\frac{\frac 3 4}{\frac 6 5} = \frac 3 4 \times\frac 5 6 =\frac{3 \times 5}{4\times 6}[/tex]
Et pour me simplifier la tâche, je simpifie d'abord :
[tex]\frac{3 \times 5}{4\times 6}=\frac{1 \times 5}{4 \times 2} =\frac 5 8[/tex]
Donc :
[tex]\frac{\frac 3 4}{\frac 6 5} =\frac 5 8[/tex]
---------------------------------
Ensemble de nombres
Parenthèse...
Les nombres entiers naturels : ceux qui te servent à dénombrer le nombre d'objets d'une collection... On les désigne par [tex]\mathbb{N}[/tex] (avec une double barre)....

Et maintenant ?
Si on prend le symétrique de cet ensemble [tex]\mathbb{N}[/tex] par rapport au zéro et qu'on y ajoint un signe - :
[tex]\cdots \; -5 \; -4 \; -3 \; -2\; -1 \; 0 \; 1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 5 \, \cdots[/tex]
on obtient un nouvel ensemble de nombres, l'ensemble des nombres entiers relatifs désigné par [tex]\mathbb{Z}[/tex]
Ce nouvel ensemble te permet de lire les températures entières du thermomètre ('utile ces derniers temps...)
Mais entre -5 et -4 or entre 2 et 3 (par exemple), il y a une flopée de nombres à virgule...
Ne serait-ce qu'avec un chiffre après la virgule :
[tex]-5 < -4,9<-4,8<-4,7<-4,6<-4,5<-4,4<-4,3<-4,2<-4,1<-4[/tex]
ou
[tex]2<2,1<2,2<2,3<2,4<2,5<2,6<2,7<2,8<2,9<3[/tex]
Ce sont les nombres décimaux relatifs ; leur ensemble est désigné par [tex]\mathbb{D}[/tex]

On continue...
On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction, dont numérateur et dénominateur sont des nombres entiers...
En voilà deux !
[tex]\frac{13}{5}[/tex]
et
[tex]\frac {11}{7}[/tex]

[tex]\frac{13}{5}[/tex] a une particularité déjà rencontrée [tex]\frac{13}{5}=2,6[/tex]...
Inversement, tout nombre décimal peut s'écrire sous forme d'une fraction décimale : exemple [tex]-4,8 = -\frac{48}{10}[/tex], donc tout nombre décimal est aussi un nombre rationnel...
Bin ??!! Pourquoi inventer un nouveau mot alors ?
La réponse est là :
[tex]\frac {11}{7}=1,571428\;571428\;571428 \cdots[/tex] et il est temps d'apporter une précision : si [tex]1,571428\;571428\;571428 \cdots[/tex] est un nombre à virgule, ce n'est pas pourtant autant un nombre décimal : la partie après la virgule, contrairement à, un nombre décimal n'est pas finie (i.e ne se termine jamais, elle est illimitée).
L'ensemble des nombres rationnels est désigné par [tex]\mathbb{Q}[/tex] Pense à Q comme quotient, puisqu'une fraction c'est aussi l'écriture du quotient exact de deux nombres...
Dans [tex]\mathbb{Q}[/tex], il y a tous les décimaux et d'autres nombres qui ne sont pas décimaux...
De même, dans \mathbb{D}, on trouvait tous les entiers relatifs : il suffit d'écrire -3,0 au lieu de -3, mais aussi d'autre nombres nombres qui n'étaient pas entiers. Ainsi 2,8 (par ex.)
----------------------------------------------------------------------

Ça y est je suis mise en déroute.

Meuhh non ! Pourquoi donc ?...
On obtient une fraction égale à une fraction donnée en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur par une même nombre non nul...
Prenons le partage d'une tarte mathématique (qui se coupe sans miettes ^_^). Comme je suis un gourmand, je décide de faire 4 parts et d'en prendre 3 : [tex]\frac 3 4[/tex]
Et si avec mon couteau mathématique, je fais des parts plus petites, je découpe en 24 parts par exemple au lieu de 4...
Chaque part étant 6 fois plus petite, [tex]\frac{1}{24}[/tex] au lieu de [tex]\frac 1 4[/tex], si je veux me goinfrer autant, là où je prenais une part, je dois en prendre 6, soit 18 en tout.
[tex]\frac 3 4 = \frac{3 \times 6}{4\times 6}=\frac{18}{24}[/tex]

Réciproquement, si tu m'annonces que tu vas partager ta tarte en 54 parts et que tu vas m'en as donné 33 parts, je te ferai observer que ta tarte ne venant pas du Pâtissier Mathematimiam, et ton couteau n'étant pas un couteau mathématique, il va y avoir des miettes donc des pertes...
Je te fais donc un zouli dessin et je te montre que je peux réduire les miettes en faisant des parts contenant chacune 3 des tiennes; donc découper seulement 18 parts...
Et là, tu dis ok, mais tu précises : les parts étant bien plus grandes, tu vas en prendre moins, seulement 11 :
[tex]\frac{33}{54}=\frac{33\div 3}{54\div 3}=\frac{11}{18}[/tex]
Logique, non ?

Partie entière de [tex]\frac a b[/tex]
Si a < b alors cette partie entière est 0...
Reprenons, mais à l'envers, 11 et 18 :
[tex]\frac{18}{11}[/tex]
[tex]18 = 11 \times 1 + 7[/tex]
Donc :
[tex]\frac{18}{11}=\frac{11 \times 1 + 7 }{11} =\frac{11\times 1}{11}+\frac{7}{11}= 1 + \frac{7}{11}[/tex]. La partie entière est 1

Autre exemple :
[tex]\frac{29}{8}[/tex]
[tex]29 = 8 \times 3 + 5[/tex]
Donc :
[tex]\frac{29}{8}=\frac{8 \times 3 + 5 }{8} =\frac{8\times 3}{8}+\frac{5}{8}= 3 + \frac{5}{8}[/tex]. La partie entière est 3...

Je vais te faire un autre envoi, il contient beaucoup beaucoup de notions rangées par ordre alphabétique...

@+

sarah2811 · 25-01-2017 01:21:41

Bonsoir,

PGCD
D'accord merci j'ai compris pour la décomposition mais je ne comprends pas très bien la deuxième méthode.
Le résultat 3, renvoie t-il à l'exposant ? Si oui, comment sait on qu'il s'agit du nombre premier 2 ?

Merci pour la parenthèse, explication plus que claire, la meilleure que j'ai pu lire jusqu'à présent.

Toutefois cette histoire de tarte mathématiques à partir du "réciproquement", beh je ne comprends pas.
Sorry, mauvaise élève, j'ai essayé pourtant.

Vous reprennez à l'envers mais vous mettez également la fraction à l'envers, je ne comprends pas. De plus le résultat que l'on m'indique n'est pas le même (enfin il me semble)

Du coup je me permets de réécrire le problème, peut être que je n'ai pas bien exposé la question.

Comparez [tex]\frac{17}{27}[/tex] et [tex]\frac{11}{18}[/tex]
On remarque que 54 est un multiple commun de 27 et de 18 (ah Bon ? comment le remarque t-on?)
Donc [tex]\frac{17}{27}[/tex] = [tex]\frac{34}{54}[/tex] et [tex]\frac{11}{18}[/tex] = [tex]\frac{33}{54}[/tex]

Donc 33 est inférieur à 34 donc 11/18 est inférieur à 17/27

Donc en fait , la chose que je ne saisis pas c'est comment trouver le multiple commun ?

Nombres rationnels, partie entière d'une fraction
J'ai saisit comment trouver la partie entière d'une fraction positive. Mais il y a un petit truc que je ne comprends pas pour la part entière d'une fraction négative.
Pourquoi la partie entière de [tex]{-}\frac{178}{15}[/tex] = -12 et non pas -11 ?

Merci.
Sarah.

yoshi · 25-01-2017 11:24:28

Bonjour,

Le résultat 3, renvoie t-il à l'exposant ? Si oui, comment sait on qu'il s'agit du nombre premier 2 ?

Je ne sais pas à quoi se rapporte ta question, donc je réponds au pif...
PGCD par l'algorithme d'Euclide.
Aure exemple.
Le diviseur devient le nouveau dividende et le reste, le nouveau diviseur...

972 | 576        576 | 396        396 | 180       180 | 36  
396 | 1          180 | 1           36 | 2           0 | 5

N-B : [tex]PGCD = 36 = 2^2\times 3^2[/tex]
Il n'y a pas de 5...
Sinon, de même que [tex]2\,+\,2\,+\,2\,+\,2\,+\,2\ = 2 \times 5[/tex], on note [tex]2\,\times\,2\,\times\,2\,\times\,2\,\times\,2\, = 2^5[/tex]

Reprenons le réciproquement.

Réciproquement, si tu m'annonces que tu vas partager ta tarte en 54 parts et que tu vas m'en as donné 33 parts, je te ferai observer que ta tarte ne venant pas du Pâtissier Mathematimiam, et ton couteau n'étant pas un couteau mathématique, il va y avoir des miettes donc des pertes...
Je te fais donc un zouli dessin et je te montre que je peux réduire les miettes en faisant des parts contenant chacune 3 des tiennes; donc découper seulement 18 parts...
Et là, tu dis ok, mais tu précises : les parts étant bien plus grandes, tu vas en prendre moins, seulement 11 :
[tex]\frac{33}{54}=\frac{33÷3}{54÷3}=\frac{11}{18}[/tex]
Logique, non ?

Je vais prendre un autre exemple avec des pièces
Imaginons que 45 € tu veuilles m'en donner 35 € et que, étalant sur la table 45 pièces de 1 €, tu m'en mettes de côté 35 €...
Je te fais alors remarquer que ça fait lourd dans la poche, toutes ces pièces...
Je regroupe les pièces de 1 € par tas de 5, et je remplace chaque tas par une pièce de 5 €.
Il y a donc 9 pièces de 5 € sur la table (et plus 45 pièces de 1 €).
Là où j'avais 5 pièces, il n'y a maintenant 1 pièce d'une valeur 5 fois supérieure.
Je prendrai donc 7 pièces de 5 €
[tex]\frac{35}{45}=\frac{35÷5}{45÷5}=\frac{7}{9}[/tex]

Vous reprenez à l'envers mais vous mettez également la fraction à l'envers, je ne comprends pas. De plus le résultat que l'on m'indique n'est pas le même (enfin il me semble)

J'ai écrit :

Reprenons, mais à l'envers, 11 et 18 :

Rien à voir avec les calculs précédents...
J'ai repris une fraction déjà utilisée (ce n'était donc pas une bonne idée) [tex]\frac{11}{18}[/tex].
Pourquoi l'ai-je inversée : [tex]\frac{18}{11}[/tex] ?
Parce que j'avais signalé qu'avec a < b la partie entière de la fraction [tex]\frac a b[/tex] était 0.J'avais zappé les fractions négatives et même si ce n'avais pas été le cas, je pense que je n'aurais pas évoqué le cas...
Partie entière de [tex]\frac{11}{18}[/tex] = 0
Partie entière de [tex]-\frac{11}{18}[/tex] = -1
Pourquoi ? J'y viens...

La partie entière d'un nombre relatif est l'entier relatif immédiatement inférieur à ce nombre.
[tex]0 < \frac{11}{18} < 1[/tex]
Mais
[tex]-1 < -\frac{11}{18} < 0[/tex]
[tex]-12<-\frac{178}{15}<-11[/tex] Partie entière -12
Partie entière de [tex]-\frac{178}{15}=-\frac{15\times 11+13}{15}-\left(11+\frac{13}{15}\right)=-11-\frac{13}{15}[/tex]
Et on voit bien que ;
[tex]-12<-\frac{178}{15}<-11[/tex]
Attention à l'ordre des nombres négatifs : puisque 12 > 11 alors -12 < -11...

On remarque que 54 est un multiple commun de 27 et de 18 (ah Bon ? comment le remarque t-on?)

D'abord, multiple et diviseur sont des notions réciproques :
3 est un diviseur de 6 et 6 est un multiple 3, si a est un diviseur de b alors b est un multiple de a...
Il y a aussi à connaître les caractères de divisibilité courants (2, 3, 4, 5, 9 11, 25) : ça aide (va voir dans mon dernier envoi à Divisibilité).
[tex]54 = 2\times 3^3[/tex]
L'ensemble de ses diviseurs est [tex]\{1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54\}[/tex] :

1 ---  3 ---  9 --- 27
|      |      |      |
2 ---  6 --- 18 --- 54

18 et 27 sont dans la liste des diviseurs de 54, donc 54 est un multiple de 18 et un multiple de 27 : c'est même leur Plus Petit Commun Multiple (PPCM).

Je te renvoie mon dico.
1. La présentation avait foiré au niveau des Quadrilatères.
2. J'ai apporté une précision en première page sur les Aires (elle avait sauté)
Ce dico a plus de 20 ans, je le distribuais à mes zèbres (certains m'avaient dit qu'en Terminale, il leur servait encore) et pourtant, il était assez moche : pas de chapeaux sur les angles, pas de flèches sur les vecteurs, beaucoup de dessins horribles et les formules pas terribles...
J'ai pris mon courage à deux mains, j'ai corrigé tout cela récemment pls refait 75 % des dessins...
Les notions suivies de (*) ne sont plus des programmes du Collège...
Il reste du boulot...

@+

sarah2811 · 26-01-2017 23:46:16

Ok je viens de lire votre réponse qui résout mes incompréhensions. Oui je vais aller voir dans le dico le terme "divisibilité", il faut que je me trouve un mémo technique pour retenir ça afin de gagner du temps le jour de l'examen. Merci
Du coup je poursuis cette leçon...
à très vite.
Sarah.

sarah2811 · 27-01-2017 23:56:54

Bonsoir,

J'en suis toujours avec mes nombres réels... Il y a l'opération ci-dessous que je ne comprends pas. Pourquoi retrouve t-on 5² dans la première fraction à côté du 4 ?

[tex]\frac{4}{11}[/tex]+[tex]\frac{2^7\times3}{5^2\times11}[/tex]

= [tex]\frac{4\times5^2}{5^2\times11}[/tex] +[tex] \frac{2^7\times3}{5^2\times11}[/tex]

Aussi, lors d'un QCM j'ai dû répondre à des affirmations par vrai ou faux.

Voici celle qui me pose problème lors de la correction : Tout nombre réel est aussi un nombre décimal. J'ai répondu Faux, puisque les réels regroupent les rationnels et les irrationnels et d'après ce que j'ai compris ces derniers ne sont pas des nombres décimaux, ai je tort ?
Visiblement j'ai tort puisque la correction m'informe que tout nombre réel est aussi un nombre décimal, mais l'inverse n'est pas vrai.

Pouvez-vous m'éclairez...?
Je vous remercie...

yoshi · 28-01-2017 08:29:34

Salut,

Non, tu as raison...
S'il est vraiment écrit ça dans le corrigé alors le corrigé est faux.
Déjà, [tex]\frac 5 7[/tex] qui est un rationnel, n'est pas un décimal.
En effet, [tex]\frac 5 7 = 0,714285 714285 714285 714285... [/tex] et sa partie décimale(dans le sens de : après la virgule) est périodique et illimitée : le bloc 714285 revient sans cesse.
Or, un nombre décimal est un nombre dont la partie décimale est finie. Comprendre : dont on peut connaître avec exactitude le nombre de chiffres après la virgule.
Tu vois bien que ce n'est pas le cas avec [tex]\frac 5 7[/tex].
Autre contre-exemple très classique : [tex]\sqrt 2[/tex] n'est pas un rationnel, donc pas un décimal non plus.
Il est impossible d'écrire [tex]\sqrt 2[/tex] sous la forme [tex]\frac p q[/tex] où p et q sont des entiers relatifs...
La démonstration - succincte - figure, colonne de droite, dans le document que je t'avais fait parvenir, à RÉEL...

Pourquoi retrouve t-on 5² dans la première fraction à côté du 4 ?
[tex]\frac{4}{11}[/tex]+[tex]\frac{2^7\times 3}{5^2\times11}[/tex]
= [tex]\frac{4\times5^2}{5^2\times11}[/tex] +[tex] \frac{2^7\times3}{5^2\times11}[/tex]

Je présume qu'il était demandé de faire la somme : [tex]\frac{4}{11}+\frac{384}{275}[/tex]
Dans mon document, j'ai énoncé une "règle" en 5 points :
1. Simplifier les fractions s'il y a lieu.
[tex] \frac{4}{11}[/tex]. Pas possible.
Pour [tex]\frac{384}{275}[/tex], après décomposition du numérateur ert du dénominateur en produits de facteurs premiers [tex]\frac{384}{275}=\frac{2^7\times 3}{5^2\times11}[/tex].
On constate que PGCD(384,275)=1. La fraction est irréductible : la fraction n'est pas simplifiable, non plus : on passe au point suivant.

2. Après décomposition de chaque dénominateur :
[tex]\begin{cases}11&=11\\275&=5^2\times 11\end{cases}[/tex], on recherche le dénominateur commun aux deux fractions : leur PPCM.
[tex]\text{PPCM} (11,5^2\times 11)= 5^2\times 11[/tex]

3. On remplace alors chaque fraction opar une fraction égale ayant pour dénominateur le dénominateur commun trouvé au point 2.
[tex]\frac{2^7\times 3}{5^2\times11}[/tex] n'est pas remplacée...
Mais [tex]\frac{4}{11}[/tex], si !
Et c'est là que ressort la règle que je t'avais citée :
On obtient une fraction égale à une fraction donnée en multipliant (ou divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul...
Donc on se pose la question :
[tex]11 \times ? = 5^2\times 11[/tex]. Réponse : [tex]5^2[/tex].
Donc [tex]\frac{4}{11}=\frac{4 \times 5^2}{11\times 5^2}[/tex]
D'où :
[tex]\frac{4}{11}+\frac{2^7\times3}{5^2\times11}=\frac{4\times 5^2}{11\times 5^2}+\frac{2^7\times 3}{5^2\times11}[/tex]

4. On effectue alors les opérations indiquées sur les numérateurs :
[tex]\frac{4}{11}+\frac{2^7\times3}{5^2\times11}=\frac{4\times 5^2}{11\times 5^2}+\frac{2^7\times 3}{5^2\times11}=\frac{100+384}{275}=\frac{484}{275}[/tex]

5. S'il y a lieu, on simplifie le résultat.
[tex]484 =2^2\times 11^2[/tex]. Donc [tex]\text{PGCD}(484,275) = 11[/tex]. On simplifie par 11 :
[tex]\frac{4}{11}+\frac{2^7\times3}{5^2\times11}=\frac{4\times 5^2}{11\times 5^2}+\frac{2^7\times 3}{5^2\times11}=\frac{100+384}{275}=\frac{484}{275}=\frac{484\div 11}{275\div 11}=\frac{44}{25}[/tex]

@+

sarah2811 · 30-01-2017 00:45:16

Bonsoir,

Votre réponse suscite de nouvelles questions...

Je découvre le calcul du PPCM, je suis dans aller voir dans le dico, et fait des recherches sur le net pour voir comment on pouvait l'appliquer. J'ai vu alors qu'il servait à additionner des fractions pour ne pas se retrouver avec un dénominateur énorme.

On calcule le PPCM grâce aux facteurs premiers, ok.

Ensuite par le plus grand des hasards j'ai "découvert" qu'en faisant un tableau; admettons pour trouver le PPCM de 16 et 20.

Facteurs premiers 16 20
2 8 10
2 4 5

Donc j'ai découvert qu'en faisant [tex]16\times5 = 80[/tex]
et [tex]20\times4 = 80[/tex]

C'est un calcul croisé, non ? qui me permet de calculer le PPCM sans faire cet arbre qui me fait perdre le fil, je préfère cette méthode, est ce qu'elle est bonne ??

Car, dans le corrigé pour trouver 80, ils font [tex]16=2^4[/tex] et 20=[tex]2^2\times5[/tex]
Et bien ça non plus je ne le comprends pas...

Ensuite ma deuxième question, j'ai trouvé cette formule :
[tex]\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=[/tex] [tex]\frac{a\times\frac{ppcm(b,d)}{b}+c\times\frac{ppcm(b,d)}{d}}{ppmc(b,d)}[/tex]

Est ce cette formule que vous utilisez pour me montrer votre exemple ?

De plus je ne comprends toujours pas la décomposition, vous dîtes au point numéro 2:
PPCM[tex](11,5^2\times11)=5^2\times11[/tex] , pourquoi 11, 5 ?

Je vous remercie...

Dernière modification par sarah2811 (30-01-2017 00:46:30)

yoshi · 30-01-2017 10:20:32

Salut,

Votre réponse suscite de nouvelles questions...

C'est normal et c'est très sain... C'est comme ça qu'ion progresse !

C'est un calcul croisé, non ? qui me permet de calculer le PPCM sans faire cet arbre qui me fait perdre le fil, je préfère cette méthode, est ce qu'elle est bonne ??

Si tu as lu mon dico, tu auras vu pourtant que la méthode de calcul n'était pas compliquée...
PPCM(40,60,75) = ?
1. Point de départ (commun avec le PGCD) Décomposer les différents nombres en produits de facteurs premiers
Donc ici :
[tex]40 =2^3\times 5[/tex]
[tex]60 = 2^2\times 3 \times 5[/tex]
[tex]75= 3\times 5^2[/tex]
2. Calcul
Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers différents, affectés chacun du plus grand exposant.
Ici, il y a 2, 3 et 5.
Pour 2, on trouve [tex] 2^2[/tex] et [tex]2^3[/tex], on garde donc [tex]2^3[/tex]
Pour 3, on trouve [tex]3[/tex] et [tex]3[/tex], on garde donc [tex]3[/tex] ^_^
Pour 5, on trouve [tex] 5^1[/tex] et [tex]5^2[/tex], on garde donc [tex]5^2[/tex]
[tex]\text{PPCM}(40,60,75)=2^2\times 3\times 5^2 =300[/tex]

Pourquoi la règle dit-elle de ne garder pour chaque facteur premier différent, que le plus grand exposant ?
Prenons l'exemple de [tex]2^2[/tex] et [tex]2^3[/tex], autrement 4 et 8.
Le PPCM est un multiple de 60, donc de 4.
Le PPCM est un multiple de 40, donc de 8.
Finalement, je ne vais pas utiliser le [tex]2^2[/tex], zsi le PPCM est multiple de 8, il est automatiquement déjà multiple de 4 !
A quoi sert le PPCM ?
Pour les fractions ? Oui, mais pas que ! C'est trop réducteur...
Imaginons que dans une petite ville, il y ait 3 lignes de bus et seulement 3 bus et une gare et que tous les jours les bus démarrent de la gare à 6 h du matin, font leur circuit qui part de la gare et revient à la gare
Le bus de la ligne A fait son circuit en 40 min,
Le bus de la ligne B fait son circuit en 60 min,
Le bus de la ligne C fait son circuit en 75 min.
A quelle heures les 3 bus se retrouveront-ils ensemble à la gare pour la première fois ?
La réponse est donnée ci-dessus ; il faudra attendre 300 min donc 5 h !! Donc à 11 du matin.
-----------------------------------------------
Je reviens sur le PGCD qui est le produit des facteurs premiers communs affectés chacun de leur plus petit exposant.
.
Facteurs premiers communs : il n'y a que 5...
Pourquoi, ne garde-t-on que ? voilà la même question pour le PPCM..
Il fallait les poser !
Bah ! Il n'y a qu'à savoir les règles de calcul...
Hmmmm... Là je ne suis pas (complètement) d'accord : les règles s'expliquent, se justifient et quand on a compris, elles sont plus faciles à retenir. Rabelais disait (j'adore cette phrase) : Science sans conscience n'est que ruine de l'âme...
Ne dit-on pas qu'à la fin de sa vie Einstein aurait déclaré : Si j'avais su (ce qu'on allait faire de mes mes travaux), je me serais fait plombier... C'est lev thème de l'Apprenti Sorcier...
Revenons à nos moutons
Pourquoi on ne garde pas 2 ?
le PGCD est un diviseur commun, il doit diviser 40, 60 mais aussi 75.
Si dans la décomposition du PGCD j'incluais le 2, 2 ne divisant pas 75, ce PGCD ne diviserait pas non plus 75 et ne serait donc pas un diviseur commun.
Si je cherche le PGCD de 40 et 75, pourquoi ne garder que 5 et ne pas prendre [tex]5^2[/tex] ?
La réponse est "évidente" : 25 ne divisant pas 40, il n'est pas un diviseur commun de 40 et 75.
Mais 5 divisant 25, divisera tout multiple de 5... et donc de 25...
Questions ?
------------------------------------------------------

j'ai découvert qu'en faisant 16×5=80 et 20×4=80

Oui, parce que si je dresse une liste des multiples de 20 et 16
[tex]\mathcal M(16)=\{0,16,32,64,80,96,112,128,144,160,\cdots\}[/tex]
[tex]\mathcal M(20)=\{0,20,40,60,80,100,120,140,160,\cdots\}[/tex]
Et le premier multiple commun rencontré (autre que 0) est 80...
Le suivants seraient les multiples de 80 : 160, 240, 320, etc..

Juste pour rire, utilise donc ta découverte pour trouver le PPCM de 144 et 180...
Moi, je peux le faire. Mais j'ai une autre habitude des chiffres !
Et je connais par cœur dans les tables de X et dans les deux sens, tous les résultats jusqu'à 100 (et souvent au delà...) : ça aide...
Tu me dis 84 ? Dans la seconde je te réponds 7 x 12...
144 ? 9 x 16...
180 ? Je repère 18 x 10, donc donc 9 x 20
Je garde 9...
Après 16 et 20. 16 = 16 et 20 = 4 x 5, je garde 16 et 5.
PPCM :
9 x 16 x 5 = 720
Maintenant si tu y regarde de plus près, tu dois voir que j'applique la règle sans le dire...

[tex]\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=[/tex] [tex]\frac{a\times\frac{ppcm(b,d)}{b}+c\times\frac{ppcm(b,d)}{d}}{ppmc(b,d)}[/tex]
Est ce cette formule que vous utilisez pour me montrer votre exemple ?

Bien sûr, il n'y a pas 50 façons de faire.
C'est typiquement le type de formule que je considère comme inutile à apprendre, parce qu'on peut très vite le faire sans la connaître.
J'ai juste besoin de savoir :
On obtient une fraction égale à une fraction donnée en multipliant (ou divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul...
Exemple
[tex]\frac{25}{48}+\frac{55}{72} = ?[/tex]
[tex]48 = 2^4\times 3[/tex]
[tex]72 = 2^3\times 3^2[/tex]
[tex]PPCM = 2^4 \times 3^2 = 144[/tex]
Là je me pose la question : [tex]72 x ? = 144[/tex] Je pourrais faire la division...
Mais je vois que : [tex]2^4 \times 3^2 = (2^3\times 2 )\times 3^2 = (2^3\times 3^2) \times 2[/tex], 144 = 72 x 2
Donc
[tex]\frac{55}{72} =\frac{55\times 2}{72\times 2}[/tex]

Là je me pose la question : [tex]48 x ? = 144[/tex] Je pourrais faire la division...
[tex]144 = 2^4 \times 3^2 = (2^4\times 3) \times 3 = 48 x 3[/tex]
Donc
[tex]\frac{25}{48} =\frac{25\times 3}{48\times 3}[/tex]

Je peux te trouver des exemples un peu moins évidents que celui-là...

Pour finir une anecdote : j'étais un grand paresseux, et j'avais horreur d'apprendre mes leçons. Donc, je cherchais à les savoir sans les apprendre...
Lorsqu'il y avait une formule, j'apprenais... à la comprendre er à la reconstruire !
Cette attitude m'a servi le jour du BAC : j'avais un problème notamment où j'étais coincé dès le départ (et la suite dans ce cas) était infaisable... Trou de mémoire : j'avais besoin d'une formule qui m'échappait !
Je ne me suis pas affolé, je me suis efforcé de garder la tête froide pas, j'ai fait le reste, puis j'ai passé une heure à retrouver cette formule et je pataugeais inexplicablement (je commençais à avoir chaud aux oreilles), quand enfin, ça s'est débloqué.
Croire que les Maths sont juste des formules alignées les unes au bout des autres serait un non-sens et on arriverait à ce sommet de la bêtise vu dans une copie de Brevet des Collèges :
On avait un triangle équilatéral de côté 5 cm, et on avait besoin de son périmètre.
L'élève avait écrit sur sa copie :
Je ne sais pas calculer le périmètre du triangle équilatéral. Nous n'avons pas revu la formule cette année avec notre professeur...

@+

sarah2811 · 30-01-2017 14:20:00

Bonjour,

Alors pour le PPCM et le PGCD, c'est compris. Pardonnez moi mais grâce aux exemples j'ai bien mieux compris le PCM dans ce post que dans le dico. Maintenant je comprends mieux le dico :-)

Ensuite, vous m'avez fait bien rire avec Einstein, mais qu'a t-on fait de ces travaux (je sais que nous sommes pas au café mathématiques mais juste pour savoir).... On en a tiré que des formules sans l'âme des recherches ?

Après vous me dîtes "Juste pour rire, utilise donc ta découverte pour trouver le PPCM de 144 et 180...
Moi, je peux le faire. Mais j'ai une autre habitude des chiffres !
Et je connais par cœur dans les tables de X et dans les deux sens, tous les résultats jusqu'à 100 (et souvent au delà...) : ça aide...
Tu me dis 84 ? Dans la seconde je te réponds 7 x 12...
144 ? 9 x 16...
180 ? Je repère 18 x 10, donc donc 9 x 20
Je garde 9...
Après 16 et 20. 16 = 16 et 20 = 4 x 5, je garde 16 et 5.
PPCM :
9 x 16 x 5 = 720
Maintenant si tu y regarde de plus près, tu dois voir que j'applique la règle sans le dire..."

J'ai essayé d'appliquer ma "découverte" mais trop de déception ça ne marche pas avec 140 et 180 !
Nous ne sommes pas surpris, n'est ce pas ? :-D
Bref, sinon j'ai fait le PPCM de 144 et 180, j'ai trouvé [tex]2^4\times5[/tex] = 80
C'est ça ?

Sinon, il y a encore quelque chose qui relève du mystère.
Concernant la somme de [tex]\frac{25}{48}+\frac{55}{72}[/tex]
Grâce à la décomposition, vous trouvez comme PPCM = [tex]2^4\times3^2=144[/tex]
Pourquoi vous ne vous contentez pas tout simplement de remplacer, 48 et 72 par 144 ??
Je ne comprends pas pourquoi vous décomposer à nouveau [tex]2^4\times3^2[/tex] en [tex](2^3\times2)\times3[/tex] ect....

Merci.

yoshi · 30-01-2017 15:55:12

Re,

Pourquoi vous ne vous contentez pas tout simplement de remplacer, 48 et 72 par 144 ??

Mais parce que [tex]\frac{25}{48}\neq\frac{25}{144}[/tex]...
Rappel : On obtient une fraction égale à une fraction donnée en multipliant (ou divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul...

Je ne comprends pas pourquoi vous décomposer à nouveau [tex]2^4\times 3^2[/tex] en [tex](2^4 \times 3) \times 3[/tex]
Je cherche 48 x ? = 144, soit [tex]2^4\times 3\, \times\, ? = 2^4\times 3^2[/tex]
Donc je fais apparaître [tex]2^4\times 3[/tex] dans [tex]2^4\times 3^2[/tex], ce qui me donne la valeur du [tex]?[/tex]...
Je ne fais qu'appliquer ta "découverte" aux décompositions en produit de facteurs premiers, seule façon de ne pas te perdre en route !

Bref, sinon j'ai fait le PPCM de 144 et 180, j'ai trouvé[tex] 2^4×5 = 80[/tex]

Nan.
[tex]144 = 2^4\times 3^2[/tex]
[tex]180 = 2^2\times 3^2\times 5[/tex]
PGCD
Facteurs premiers communs 2 et 3.
Plus petit exposant pour 2, c'est 2 ; pour 3, c'est 2 aussi.
[tex]\text{PGCD}(144,180)=2^2\times 3^2= 4 \times 9 = 36[/tex]...
Au passage : [tex]144\div 36 =9[/tex] et [tex]180 \div 36 = 5[/tex]
9 et 5 sont bien premiers entre eux...

PPCM
Facteurs premiers différents : 2, 3 et 5...
Plus grand exposant pour chacun.
Pour 2, c'est 4 ; pour 3, c'est 2, pour 5, c'est 1...
[tex]\text{PPCM}(144,180)=2^4\times 3^2 \times 5 = 16 \times 9 \times 5 = 144 x 5 = 720[/tex]...

Quant à tonton Albert, en dehors de la relativité, il a travaillé sur la structure de l'atome.
Très rapidement et très simplifié...
Il a découvert la formule [tex]E = mc^2[/tex], en gros l'énergie c'est de la masse.
A l'époque on savait :
- que la matière est composée d'atomes
- que l'atome était un noyau autour duquel gravitent des particules électrisées, les électrons..
- que le noyau était composé de particules électrisées, des protons et neutre, les neutrons : on connaissait la masse du proton et du neutron
- que si on additionne la masse des protons et neutrons d'un noyau et qu'on compare le résultat à la masse du noyau, il n'y avait pas égalité. Pour simplifier, c'est comme si 2 + 3 ne faisait pas 5 mais 4... C'est le défaut (au sens de manque) de masse...

Tonton Albert a travaillé là-dessus et a réussi à montrer que la masse manquante était l'énergie nécessaire pour maintenir tout ce petit monde ensemble et que si on cassait ce noyau on libérerait cette énergie...
D'autres ont continué sur le sujet et ce fut l'apparition de l'énergie nucléaire (du latin nucleus = noyau)...

@+

sarah2811 · 30-01-2017 17:33:10

Re,

Punaise, je vous dis que j'ai compris et je me trompe dans mon calcul. Oui après l'avoir re fait et en étant moins pressée et bien je trouve 720.

Je ne vais pas vous mentir, je ne comprends pas pourquoi vous faîtes [tex]2^4\times3^2=(2^3\times2)\times3^2[/tex] alors que 144 divisé par 2 font 72 donc moi sur une feuille d'examen, j'aurai multiplié par 2 le nominateur et le dénominateur sans passer par une nouvelle décomposition.
Pour mieux comprendre, est ce que vous pouvez me donner un exemple moins évident comme vous me l'avez proposé s'il vous plait?

Sinon, j'ai terminé la lecture de toute cette leçon et je me suis attaquée à des exercices types pour le concours. Et là ça se gâte, je pensais comprendre un petit peu ce chapitre mais au moment de l'énonciation de l'exercice, j'ai l'impression qu'ils font toujours en sorte de nous perdre.
Pire que ça, juste l'énoncé du problème devient un problème.
Regardez:
On appelle "fraction égyptienne" toute fraction de la forme [tex]\frac{1}{n}[/tex], [tex]n[/tex] désignant un nombre entier naturel non nul. Dans l'Egypte ancienne, on écrivait les nombres rationnels positifs inférieurs à 1 que sous la forme de fractions égyptiennes toutes différentes.
Par exemple, [tex]\frac{25}{28}[/tex] peut s'écrire [tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}[/tex]
Le but du problème est de présenter quelques méthodes de décomposition de nombres rationnels en somme de "fractions égyptiennes" toutes différentes.

Je ne peux pas aller plus loin (bien que j'ai eu la curiosité de le faire pour voir) puisque je ne comprends pas le principe de cette transformation en plusieurs fractions.

Merci pour les informations sur Einstein, je comprends un peu mieux maintenant...

Dernière modification par sarah2811 (30-01-2017 17:36:15)

yoshi · 31-01-2017 09:08:48

Bonjour,

On appelle "fraction égyptienne" toute fraction de la forme [tex]\frac{1}{n}[/tex], [tex]n[/tex] désignant un nombre entier naturel non nul. Dans l'Egypte ancienne, on écrivait les nombres rationnels positifs inférieurs à 1 que sous la forme de fractions égyptiennes toutes différentes.
Par exemple, [tex]\frac{25}{28}[/tex] peut s'écrire [tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}[/tex]
Le but du problème est de présenter quelques méthodes de décomposition de nombres rationnels en somme de "fractions égyptiennes" toutes différentes.
Je ne peux pas aller plus loin (bien que j'ai eu la curiosité de le faire pour voir) puisque je ne comprends pas le principe de cette transformation en plusieurs fractions.

Pas d'affolement, ça a juste un intérêt anecdotique et historique...

Je ne vais pas vous mentir, je ne comprends pas pourquoi vous faîtes [tex]2^4\times 3^2=(2^3\timers 2)\times 3^2[/tex] alors que 144 divisé par 2 font 72 donc moi sur une feuille d'examen, j'aurai multiplié par 2 le nominateur et le dénominateur sans passer par une nouvelle décomposition.
Pour mieux comprendre, est ce que vous pouvez me donner un exemple moins évident comme vous me l'avez proposé s'il vous plait?

Oh, mais dans tous les cas, on peut passer par une division.
C'était juste une méthode générique sur un exemple simple (trop)... le suivant sera difficile (trop aussi)
[tex]\frac{121}{1080}+\frac{124}{1575}-\frac{141}{660}[/tex]

[tex]1080 =2^3\times 3^3\times 5[/tex]
[tex]1575=3^2\times 5^2\times 7[/tex]
[tex]660 = 2^2\times 3\times 5 \times 11[/tex]
[tex]PPCM = 2^3\times 3^3 \times 5^2\times 7 \times 11=415800[/tex]

J'expliciterai davantage dans quelques heures : je vais partir pour 400 km et j'ai encore plein de choses à faire avant.

@+

yoshi · 31-01-2017 18:27:15

Re,

Fractions égyptiennes.
Je ne m'étais jamais encore penché sur la question.
Prenons la fraction [tex]\frac{17}{18}[/tex]
Il faut utiliser des divisions successives pour la décomposer en somme de fractions égyptiennes
Les nombres entiers utilisables pour les dénominateurs sont :
[tex]2<3<4<5<6<7<3<9<10<\cdots[/tex]
Les fractions égyptiennes disponibles (ordre croissant) sont donc :
[tex]\frac 1 2 > \frac 1 3 >\frac 1 4>\frac 1 5>\frac 1 6>\frac 1 7>\frac 1 8>\frac 1 9>\frac{1}{10}>\cdots[/tex]

Pour commencer on divise 18 par 17 : 18 = 17 \times 1 + 1
Le quotient entier est 1 donc la plus grande fraction inférieure à est [tex]\frac 1 2[/tex].
Pourquoi ?
Si je prend la fraction inverse [tex]\frac{18}{17}[/tex], je peux écrire [tex]\frac{18}{17}=\frac{17\times 1 +1}{17}=\frac{17\times 1}{17}+\frac{1}{17}=1+\frac{1}{17} [/tex]
Je vois donc que [tex]\frac{18}{17}<2[/tex]
Et donc si je reviens à la fraction de départ en prenant l'inverse de cette fraction inverse :
[tex]\frac{17}{18}=\dfrac{1}{\frac{18}{17}}<\frac 1 2[/tex]
(/!\Le passage à l'inverse change l'ordre : j'ai bien, par exemple 3 < 4 mais [tex]\frac 1 3 > \frac 1 4[/tex])
Donc on a déjà :
[tex]\frac{17}{18}=\frac 1 2+\cdots[/tex]
Et pour trouver les [tex]\cdots[/tex] je fais donc [tex]\frac{17}{18}-\frac 1 2=\frac{17}{18}-\frac{9}{18}=\frac{8}{18}=\frac 4 9[/tex]

En recommence ...
[tex]\frac 4 9 = ?[/tex] (1)
[tex]9 = 4 \times 2 +1[/tex]
Donc \frac 9 4 = 2 + \frac 1 4 < 3
Donc [tex]\frac 4 9 > \frac 1 3[/tex]
Et là, j'ai donc :
[tex]\frac {17}{18}=\frac 1 2 + \frac 1 3+\cdots...[/tex]
Pour trouver [tex]\cdots[/tex], je soustrais [tex]\frac 1 3[/tex] à mon reste (1) :
[tex]\frac 4 9-\frac 1 3 = \frac 4 9 - \frac 3 9 =\frac 1 9[/tex]

Et je je ne vais pas plus loin, mon dernier numérateur est 1 :
[tex]\frac{17}{18}=\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 9[/tex]
-------------------------------------------------------------------------------
Cet exemple est le support d'une énigme amusante :
un vieil égyptien meurt en laissant en héritage 17 chameaux à ses 3 fils et répartis comme suit :
- l'aîné hérite de la moitié du troupeau
- le cadet hérite du tiers du troupeau
- et le benjamin le 1/9...
Bien ennuyés (ils ne tenaient pas plus que ça à découper des chameaux), ils on l'idée d'aller voir le sage du village qui leur dit : Pas de pb !
J'ai justement une chamelle, je l'ajoute au troupeau..
Donc 18 bêtes...
La moitié : 9, le tiers : 6 et le neuvième : 2... 9 + 6 +2 = 17 et je reprends ma chamelle !
Comment est-ce possible ?
Réponse dans la décomposition ci-dessus...
-----------------------------------------------------------
Ton exemple [tex]\frac{25}{28}[/tex]
Une autre décomposition possible via cette méthode.
[tex]28 = 25 \times 1 + 3[/tex]
Donc [tex]\frac{25}{28}=\frac 1 2+\cdots[/tex]

[tex]\frac{25}{28}-\frac 1 2=\frac{25}{28}-\frac 1 2=\frac{25}{28}-\frac{14}{28}=\frac{11}{28}[/tex]
[tex]\frac{11}{28}=?[/tex]
[tex]28 = 11 \times 2+6[/tex]
Donc on a encore [tex]\frac 1 3[/tex]
[tex]\frac{11}{28}-\frac 1 3 =\frac{33}{84}-\frac{28}{84}= \frac{5}{84}[/tex]

[tex]84 = 5 \times 16+4[/tex]
On prend encore [tex]\frac{1}{17}[/tex]
[tex]\frac{1}{17}=\frac{5\times 17}{84\times 17}-\frac{1\times 84}{17\times 84}=\frac{1}{1428}[/tex]

[tex]\frac{25}{28}=\frac 1 2+\frac 1 3+\frac{1}{17}+\frac{1}{1428}[/tex]

Il me reste à comprendre comment arriver au résultat plus simple qu'on t'a fourni...

@+

[EDIT]
Apparemment effectivement, il y a au moins deux méthodes qui divergent parfois dans leurs résultats (la preuve), quant à la méthode égyptienne de l'époque, selon ce que j'ai lu, elle n'est pas connue.
Je m'amuserai à programmer la méthode ci-dessus et celle que je viens de découvrir.
Puis je soumettrai une fraction et le programme affichera en sortie les deux résultats s'ils sont différents...

Dernière modification par yoshi (31-01-2017 21:16:46)

sarah2811 · 31-01-2017 22:04:00

Bonsoir,

Tout d'abord j'ai essayé de résoudre votre exemple.
Vous n'auriez pas dû me donner la solution du PPCM, c'est la seule réponse juste que j'aurai pû vous donner :-(
En effet sans regarder, je l'ai calculé et j'ai réussi à trouver la bonne réponse. Par la suite, j'ai envie d'écouter ma logique mais vu que vous me proposez cet exemple pour me démontrer l'intérêt de la décomposition que je ne comprends pas, je sais que j'ai faux.
Du coup, je suis largement tentée de diviser 415800 par 1080, puis par 1575... Pour multiplier le quotient par le nominateur....

Je me retrouve avec des fractions énormes [tex]\frac{46585}{415800}+\frac{32736}{415800}-\frac{88830}{415800}[/tex]
Et là, j'imagine qu'il faut décomposer mais comment.

Et l'erreur magistrale que j'ai faite était de me dire, beh je vais les réduire à leur maximum, ça sera plus facile, et je me retrouve bêtement à calculer le PGCD en faisant l'algorithme d'Euclide. J'ai mis du temps à me rendre compte que je revenais au calcul de base !!

Donc pour la première fraction, j'ai imaginé quelque chose comme ça (ne vous tirez pas les cheveux, je vous ai déjà dit que j'étais une cata)
[tex]\frac{121+(1085\times5\times7\times11)}{1085\times5\times7\times11}[/tex]
Et je me suis dis que je n'en voyais pas l'intérêt.

Bref du coup, je me suis dit beh je vais additionner 46585 et 32736 puis je vais soustraire 88830, et ça me donnera une fraction négative et basta.
Ne prenez pas mon basta pour du je m'en foutisme, c'est juste que là je ne voyais que ça comme solution.
Et je vois toujours ça comme seule solution :-(

Bon cette histoire de fraction égyptienne commence à me faire perdre confiance car si j'étais tombée là dessus au concours, j'aurai fait chou blanc, c'est sûre.
Il me semble en plus qu'en Égypte antique, ce qui était de rigueur était la numération additionnelle et là on nous parle de fractions égyptiennes, bon pourquoi pas...

Première question,
Pourquoi décomposer 18 dans [tex]\frac{18}{17}[/tex] en [tex]17\times1+1[/tex]
Est ce que c'est pour la simplifier ?

Deuxième incompréhension, c'est le sens de cette phrase "Le quotient entier est 1 donc la plus grande fraction inférieure est [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Troisièmement, je ne comprends pas qu'en voyant [tex]1+\frac{1}{17}[/tex], vous vous dîtes que [tex]\frac{18}{17}[/tex] plus petit que 2.

Merci à vous...

yoshi · 01-02-2017 10:27:46

Bonjour sarah,

[tex]1080 =2^3\times 3^3\times 5[/tex]
[tex]1575=3^2\times 5^2\times 7[/tex]
[tex]660 = 2^2\times 3\times 5 \times 11[/tex]
[tex]PPCM = 2^3\times 3^3 \times 5^2\times 7 \times 11=[/tex]

Je répète, oui la division est une option tout à fait valable : avec une calculette, ça va très vite..
Mais je m'acharne à te montrer qu'on peu s'en passer...
La preuve :
[tex]1080 \times ?= 415800[/tex] ou encore [tex]2^3\times 3^3\times 5\;\;\times \;\; ?=2^3\times 3^3 \times 5^2\times 7 \times 11[/tex]
Je vois déjà qe ne figurent pas dans 1080 déjà 7 et 11...
Ensuite, 1080 comprend 2³, ett le PPCM aussi, danc on passe,
Dans 1080, il y a 3³ et dans le PPCM aussi. On passe...
Dans 1080 il y a 5 et dans le PPCM, 5², il manque donc un 5.
Donc [tex]1080 \times (5\times 7\times 11)= 415800= PPCM[/tex]
Soit [tex]1080 \times 385[/tex]
Donc[tex] \frac{121}{1080}=\frac{121\times 385}{1080\times 385}=\frac{46585}{415800}[/tex] C'est juste...

[tex]660 \times ? = 415800[/tex] ou encore [tex]2^2\times 3\times 5 \times 11\;\times\; ? = 2^3\times 3^3 \times 5^2\times 7 \times 11[/tex]
Dans la décomposition de 660, il y a [tex]2^2[/tex], mais [tex]2^3[/tex] dans le PPCM, donc je dois compléter avec un 2,
Dans la décomposition de 660 il y a 3 c'est à dire [tex]3^1[/tex], dans le PPCM, [tex]3^3[/tex] : je dois donc compléter avec [tex]3^2[/tex]
Dans 660 il y a 5, soit [tex]5^1[/tex], mais [tex]5^2[/tex] dans le PPCM, je dois donc compléter avec un 5,
Dans la décomposition de 660 ne figure pas 7 : je dois donc le prendre aussi...
Finalement [tex]660 \times (2\times 3^2\times5\times 7)=415800[/tex]
Et [tex]2\times 3^2\times 5\times 7 = 630[/tex]
Donc [tex]\frac{141}{660}=\frac{141\times 630}{415800}=\frac{88830}{415800}[/tex] C'est juste aussi..
Bravo.
Oui, les fractions ont très grosses.
On ne va pas chercher à les réduire, on va faire [tex]46585+32736-88830= -9509[/tex]
et chercher à simplifier [tex]-\frac{9509}{415800}[/tex]...
Là, un peu de bon sens te dit que si ce résultat est simplifiable, ce ne peut être que par 2, 3, 5, 7 ou 11.
Sans calculs
9509 ne se divise pas par 2,
9509 ne se divise pas par 3b (9+9+5 = 23 et 23 n'est pas multiple de 3)
9509 ne se divise pas par 5 (terminaison 9, et non 0 ou 5)
9509 se divise-t-il par 7 ? La division me montre que non
8509 se divise-t-il par 11 ? 9509 : (9+5)-(0+9)=5 et 5 n'est pas multiple de 11.
Le résultat est une fraction irréductible...

Je continuerai avec des réponses sur la fractions égyptiennes...

@+

yoshi · 01-02-2017 20:44:30

Salut,

Fractions égyptiennes.

Première question,
Pourquoi décomposer 18 dans [tex]\frac{18}{17} en 17×1+1[/tex] ?
Est ce que c'est pour la simplifier ?

Je ne sais pas ce que tu entends par "simplifier".
Je veux savoir par quelle fraction commencer, donc je cherche quelle est la plus grande fraction de numérateur 1 et de dénominateur entier, immédiatement inférieure [tex]\frac{17}{18}[/tex].
C'est pourquoi je pars de son inverse et j'extrais le plus grand nombre entier de la fraction ainsi que tu as appris à le faire (tu m'avais questionné là-dessus, et j'avais omis de répondre pour les fractions négatives. T'en souviens-tu ?
Donc [tex]\frac{18}{17}=\frac{17\times 1 + 1}{17}= \frac{17\times 1}{17}+\frac{1}{17}=1+\frac{1}{17}[/tex]
[tex]\frac{1}{17}\approx 0.058823529411764705...[/tex]
Et maintenant, je réponds à tes deux questions suivantes qui n'en font qu'une avec la première.

Deuxième incompréhension, c'est le sens de cette phrase "Le quotient entier est 1 donc la plus grande fraction inférieure est 12
Troisièmement, je ne comprends pas qu'en voyant 1+\frac{1}{17}, vous dîtes que [tex]\frac{18}{17}< 2[/tex].

Note d'abord que si au lieu de [tex]\frac{17}{18}[/tex], j'étais parti de [tex]\frac{5}{18}[/tex] j'aurais écrit que
[tex]\frac{18}{5}=3+\frac{3}{5}[/tex] et j'en aurais conclu que [tex]\frac{18}{5}<4[/tex].
Que ce soit [tex]\frac{1}{17}[/tex] ou [tex]\frac{3}{5}[/tex] (ou n'importe quelle autre fraction obtenue après la même procédure), cette fraction est comprise entre 0 et 1...
Si j'ajoute à 1 un nombre supérieur à 0 mais inférieur à 1, le résultat sera supérieur à 1 mais inférieur à 2 :
[tex]1+ 0.058823529411764705...<2[/tex]
Si j'ajoute à 3 un nombre supérieur à 0 mais inférieur à 1, le résultat sera supérieur à 3 mais inférieur à 4 :
[tex]3+0.5 <4[/tex]
Plus "simple" mais pas en lien avec ton programme :
[tex]\frac{18}{17}[/tex] --> je fais la division : 18/17 = 1.058823529411764705... qui est bien inférieur à 2
[tex]\frac{18}{5}[/tex] --> je fais la division : 18/5= 3,6 qui est bien inférieur à 4...

Fallait pas te dire, : Mon dieu, comme ça doit être compliqué !, n'était pas de mise...
Tu avais largement les moyens de trouver la réponse par toi seule (prends ça commun compliment et un encouragement !)...
Et je termine en disant qu'avec
[tex]\frac{18}{17}[/tex], la décomposition commence avec [tex]\frac 1 2[/tex]
[tex]\frac{5}{18}[/tex], la décomposition commence par [tex]\frac 1 4[/tex].

@+

sarah2811 · 03-02-2017 10:31:58

Bonjour,

Je vous remercie d'avoir pris le temps de me répondre alors que vous êtes en déplacement.

Ca y est ENFIN j'ai compris (merci !) cette histoire de décomposition. Je ne comprenais pas l'intérêt, je vois bien mieux maintenant. En effet sans calculatrice, la décomposition permet de mener jusqu'à son terme le calcul.
Pour vois si je sais l'appliquer, vous pouvez, s'il vous plait me donner une autre opération, juste pour voir si je sais le reproduire ?

Je me penche aujourd'hui sur la réponse que vous m'avez apporté concernantles fractions égyptiennes. Merci beaucoup.

yoshi · 03-02-2017 13:20:51

Saluyt,

Ca y est j'ai écrit le programme : la solution n°2 est celle donnée par la méthode que je t'ai expliquée.
patr contre méthode que j'ai traduite, il lui arrive de ne pas donner de résultat satisfaisant.
Par contre en dehors de quelques cas, la solution donnée est meilleure que l'autre :

      *********************************************************
      * Décomposition d'une fracti1on en fraction égyptiennes *
      *********************************************************


Entrez le numérateur : 157
Entrez le dénominateur : 225

Votre fraction : 157/225

Solution n° 1
157/225 = 1/2 + 1/6 + 1/45 + 1/175 + 1/315

Solution n° 2
157/225 = 1/2 + 1/6 + 1/33 + 1/1238 + 1/3064050



      *********************************************************
      * Décomposition d'une fracti1on en fraction égyptiennes *
      *********************************************************


Entrez le numérateur : 57
Entrez le dénominateur : 125

Votre fraction : 57/125

Solution n° 1
57/125 = 1/3 + 1/15 + 1/25 + 1/125 + 1/125

Solution n° 2
57/125 = 1/3 + 1/9 + 1/87 + 1/16313 + 1/532211625

Et parfois, la solution donnée est la même...
PPPCM

[tex]\frac{25}{72}+{33}{40}-\frac{35}{48} =?[/tex]

@+

sarah2811 · 07-02-2017 23:40:09

Bonsoir,

J'ai mis du temps à revenir sur le forum, je vous remercie pour ces explications bien que tout ne sois pas clair, mais alors vraiment pas.
Du coup, j'ai énormément de mal à suivre le raisonnement.
J'ai une seule question du coup.
Comment [tex]\frac{18}{5}[/tex] peut être égal à [tex]3+\frac{3}{5}[/tex] ?

Ensuite, merci pour le PPCM, voici ma réponse:

[tex]\frac{25}{72}+3340-\frac{35}{48}=[/tex]

72 = 2³[tex]\times3[/tex]²
48 = 2⁴[tex]\times3[/tex]
PPCM =2⁴[tex]\times3[/tex]²
PPCM = 144

=[tex]\frac{25\times2}{72\times2}[/tex][tex]+ 3340\times2[/tex]⁴[tex]\times3[/tex]²[tex]-\frac{35\times3}{48\times3}[/tex]

(j'ai malgré tout une petite hésitation sur le sort que j'ai attribué au 3340, j'avais bien envie de le transformer en fraction)

Sinon je poursuis,

[tex]=\frac{50}{144}+480960-\frac{105}{144}[/tex]

[tex]=\frac{480905}{144}[/tex]

yoshi · 08-02-2017 07:48:29

Salut,

Désolé pour les fractions : ça ne tenait pas debout.
Je ne me suis pas relu : j'avais oublié \frac. devant {33}{40}.. Mais tu t'es bien débrouillée !
Voilà l'exercice rectifié :
[tex]\frac{25}{72}+\frac{33}{40}-\frac{35}{48} =?[/tex]

------------------------------------------------

J'ai une seule question du coup.
Comment [tex]\frac{18}{5}[/tex] peut être égal à [tex]3+\frac 3 5[/tex] ?

Tu as déjà fait ça...
Deux voies pour répondre :
[tex]3+\frac 3 5=\frac 3 1+\frac 3 5=\frac{3\times 5}{1\times 5}+\frac 3 5 =\frac{15}{5}+\frac 3 5=\frac{15+3}{5}=\frac{18}{5} [/tex]
ou
[tex]\frac{18}{5}=\frac{5\times 3 + 3}{5}=\frac{5\times 3}{5}+\frac 3 5 = 3\times \frac 5 5 +\frac 3 5= 3\times 1+\frac 3 5 = 3+\frac 3 5[/tex]

@+

sarah2811 · 08-02-2017 16:00:57

Bonjour,

D'accord pour la première voie mais la deuxième, pourquoi je ne pourrai pas faire:

[tex]\frac{18}{5}=\frac{3^2\times2}{5}[/tex] ??

Alors,

[tex]\frac{25}{72}+\frac{33}{40}-\frac{35}{48}[/tex]

[tex]72=2^3\times3^2[/tex]
[tex]40=2^3\times5[/tex]
[tex]48=2^4\times3[/tex]
[tex]PPCM=2^4\times3^2\times5[/tex]
[tex]=720[/tex]

Donc,

[tex]=\frac{25\times2\times5}{72\times2\times5}+\frac{33\times2\times3^2}{40\times2\times3^2}-\frac{35\times3\times5}{48\times3\times5}[/tex]

[tex]=\frac{250}{720}+\frac{594}{720}-\frac{525}{720}[/tex]

[tex]=\frac{319}{720}[/tex] On ne peut pas réduire cette fraction.

yoshi · 08-02-2017 22:05:56

Re,

D'accord pour la première voie mais la deuxième, pourquoi je ne pourrai pas faire:

[tex]\frac{18}{5}=\frac{3^2\times2}{5}[/tex] ??
Mais la réponse coule de source : si je veux pouvoir passer de [tex]\frac a b[/tex] à [tex]c+\frac d e[/tex], il faut bien que je fasse apparaître dans a un multiple de b...
Le c (le 3 de l'exemple) est obtenu après simplification par b (le 5 de l'exemple) : simplifier une fraction, c'est diviser le numérateur et le le dénominateur par le même nombre (on nul).
Dans :
[tex]\frac{3^2\times 2}{5}[/tex] elle est où ta simplification ?
D'autre part le but étant d'arriver à écrire quelque chose du type [tex]c+\frac d e[/tex], il faut bien que j'aie une addition sous la main...
Dividende = diviseur x quotient + reste
[tex]18 = 5 \times 3 + 3[/tex]
[tex]\frac{18}{5}=\frac{5 \times 3 + 3}{5}[/tex]

Est-ce plus clair avec cette fraction de départ (sans lien avec l'exercice d'où sort cette précédente décomposition) :
[tex]\frac{45}{7}=\frac{7 \times 6+3}{7} =\frac{7 \times 6}{7} +\frac{3}{7} = 6+\frac 3 7[/tex] ?

@+

sarah2811 · 08-02-2017 23:09:24

Bonsoir,

Je suis soulagée, je commence à comprendre mais je peine encore.
J'ai saisis la décomposition de [tex]\frac{18}{17}[/tex]

Mais, je ne comprends pas pourquoi vous dîtes que finalement la décomposition commence par[tex] \frac{1}{2}[/tex] alors qu'on en est à [tex]1+\frac{1}{17}[/tex] ?

Tout comme mon exercice qui me dit [tex]\frac{25}{28}[/tex] qui se décompose en [tex]\frac{1}{2}[/tex]+[tex]\frac{1}{4}+\frac{1}{7}[/tex], alors que moi je le décompose comme suit: [tex]1+\frac{3}{25}[/tex]. Pourquoi il y a autant de fractions, comment est ce que l'on en arrive là ?

J'ai bien essayé de comprendre avec le programme que vous avez définit, mais il ne me semble pas y trouver une explication.

Prof Yoshi, vous ne m'avez pas répondu concernant mon PPCM :-( ?

yoshi · 09-02-2017 08:33:03

Re,

Je n'ai pas répondu, car j'ai préféré remettre...
Le soir, je dis trop de bêtises, mais je n'ai pas oublié : patience !

Mais, je ne comprends pas pourquoi vous dîtes que finalement la décomposition commence par[tex] \frac{1}{2}[/tex] alors qu'on en est à [tex]1+\frac{1}{17}[/tex] ?
Tout comme mon exercice qui me dit [tex]\frac{25}{28}[/tex] qui se décompose en [tex]\frac{1}{2}[/tex]+[tex]\frac{1}{4}+\frac{1}{7}[/tex], alors que moi je le décompose comme suit: [tex]1+\frac{3}{25}[/tex].

Pour ta décomposition :
il faut des fractions égyptiennes, soit de numérateur 1.
Que je sache, ce n'est pas le cas de [tex]\frac{3}{25}[/tex], n'est-ce pas ?

La décomposition commence par [tex]\frac 1 2[/tex] parce que c'est la plus grande fraction - de numérateur 1 - inférieure à [tex]\frac{17}{18}[/tex]...
Pour le trouver
Je pars de [tex]\frac{18}{17}[/tex]
Ensuite,
* soit je mets en évidence que [tex]\frac{18}{17}=1+\frac{1}{17}[/tex]
Si j'ajoute à 1 un nombre [tex]\epsilon[/tex] supérieur à 0 (d'accord ?) mais inférieur à 1 (d'accord ?), la somme [tex]1+\epsilon[/tex] est supérieure à 1 mais inférieure à 2 (d'accord ?).
Ce nombre 2 est l'entier immédiatement supérieur à [tex]1+\epsilon[/tex] oui/non ?
Donc je peux écrire que [tex]\frac{18}{17} < 2[/tex] et en repassant à [tex]\frac{17}{18}[/tex] : [tex]\frac 1 2<\frac{17}{18}[/tex]
* soit je divise 18 par 17 : [tex]18/17 \approx 1.0588235294117647[/tex] donc [tex]\frac{18}{17}<2[/tex]
Alors pourquoi, on faut pas directement comme ça ?
Réponse : il serait dommage d'utiliser des nombres à virgule, alors qu'on peut ne travailler qu'avec des entiers...

Autre exemple :

      *********************************************************
      * Décomposition d'une fracti1on en fraction égyptiennes *
      *********************************************************

Entrez le numérateur : 13
Entrez le dénominateur : 27

Votre fraction : 13/27

Solution n° 1
13/27 = 1/3 + 1/9 + 1/27

Solution n° 2
13/27 = 1/3 + 1/7 + 1/189

Je pars sans surprise de [tex]\frac{27}{13}[/tex]
[tex]\frac {27}{13}= 2+\frac{1}{13}[/tex] donc [tex]\frac {27}{13}<3[/tex] donc [tex]\frac 1 3<\frac {13}{27}[/tex]
Donc on démarre la décomposition avec [tex]\frac 1 3[/tex].
Ensuite les deux méthodes divergent :
la 2 est fiable, c'est celle que je t'ai donnée, la 1 parfois n'arrive pas au bout de façon correcte, je cherche encore une amélioration pour contourner le problème que j'ai identifié.
J'ai une vague idée, mais j'attends qu'elle mûrisse toute seule...

@+

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