Forum de mathématiques - Bibm@th.net

vercar

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continuité

Bonsoir
Need help pour cet exercice
Démontrer par la définition epsilon-delta que la fonction \[f(x)=x^{3}\] est continue en 1

Roro

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Re : continuité

Bonsoir vercar,

Qu'as-tu essayé de faire. C'est un exercice où il faut commencer par écrire ce que tu veux démontrer avec les quantificateurs. Sais-tu écrire que la fonction [tex]f:x\mapsto x^3[/tex] est continue en 1 à l'aide des quantificateurs ?

Ensuite, il faut effectivement travailler un peu pour montrer que c'est vrai. En le faisant, j'ai choisi [tex]\delta = \min\{1, \varepsilon/7\}[/tex]... (avec les notations "usuelles" epsilon-delta), mais il y a évidemment plein de choix possibles.

Roro.

Dernière modification par Roro (04-01-2017 23:04:59)

vercar

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Re : continuité

Bonsoir Roro
Bon oui par définition la fonction \[f(x)=x^3\]  est continue en 1 si
\[∀\epsilon>0\, ∃\delta>0\ tel que ∣x-1∣<\delta ⟹ ∣x^3 -1∣< \epsilon\]
Donc on est supposé trouver un \[\delta\] dépendant de \[\epsilon\]... C'est bien la démarche que je veux adopter mais je n'y arrive pas. Comme aboutissez vous a ce minimum?

Fred

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Re : continuité

Bonjour,

Voici une piste pour commencer :
On peut toujours supposer que $\varepsilon\leq 1$ car si on a trouvé un $\delta$ pour $\varepsilon=1$, le même $\delta$ va fonctionner pour tout $\varepsilon\geq 1$.
Procédons par analyse-synthèse.
Soit $\delta>0$ tel que $|x-1|<\delta$. Alors $1-\delta\leq x\leq 1+\delta$. En passant au cube, tu vas trouver un encadrement de $x^3-1$ dépendant de $\delta$. Tu vas devoir choisir $\delta$ assez petit pour que cet encadrement implique que $-\varepsilon\leq x^3-1\leq\varepsilon$. Moi, je choisirai $\delta=c\varepsilon$ avec $c>0$ une constante à déterminer, et j'utiliserai aussi que $\varepsilon^2\leq\varepsilon$ puisque $\varepsilon\in ]0,1]$.

F.