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paulinehbrt

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Paramétrisation de surface

Bonjour,

Je suis dans une graande incompréhension sur ce sujet, j'ai donc vraiment besoin d'aide. Tout d'abord, en ayant relu attentivement les exercices effectués en cours, je me suis rendue compte (un peu tard) qu'il y avait un élément de correction que je ne comprenais pas du tout. C'est un exercice sur le théorème de Stokes.

La question de l'exercice posant problème est la suivante :
Calculer, de 2 méthodes différentes, l'intégrale suivante : [tex] \int_C\,x^2ydx+xydy[/tex] C étant le bord du carré de sommets (0,0), (2,0), (2,2), (0,2).

Dans un premier temps, lorsque j'essayais de faire l'exercice seule en cours, l'enseignant est venu m'aider et m'a donné un paramétrisation de C qui était la suivante :

Jusqu'ici j'avais compris de quoi il s'agissait, du moins pour un carré. Cependant, lors de la correction au tableau de l'exercice, l'enseignant a utilisé une autre paramétrisation, que je n'ai pas comprise, et il a donné une explication que j'ai du mal à comprendre :

Je ne comprends pas comment grâce à son explication il a réussi à trouver cette résolution, et je ne comprends pas son histoire de vitesse ...
J'aurais du lui poser ces questions en cours mais tout va si vite à la fin du semestre !

J'espère que quelqu'un pourra m'aider, en tout cas je vous remercie par avance.

Pauline

PTRK

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Re : Paramétrisation de surface

Bonjour, tes images ne s'affichent pas, on ne peut pas t'aider dans ces conditions. Peux-tu les écrire ?

Dernière modification par PTRK (03-01-2017 12:08:28)

paulinehbrt

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Re : Paramétrisation de surface

Bonjour,

Ah mince ! Je n'avais pas réussi à les écrire avec LaTex, c'est pour cela que j'avais mis des photos, mais je vais essayer sans, ce doit être faisable.
Merci de m'avoir prévenue. Je réecris donc l'intégralité de mon message sans les photos.

Je suis dans une graande incompréhension sur ce sujet, j'ai donc vraiment besoin d'aide. Tout d'abord, en ayant relu attentivement les exercices effectués en cours, je me suis rendue compte (un peu tard) qu'il y avait un élément de correction que je ne comprenais pas du tout. C'est un exercice sur le théorème de Stokes.
La question de l'exercice posant problème est la suivante :
Calculer, de 2 méthodes différentes, l'intégrale suivante : [tex]\int_C x^2ydx + xydy[/tex] C étant le bord du carré de sommets (0,0), (2,0), (2,2), (0,2).
Dans un premier temps, lorsque j'essayais de faire l'exercice seule en cours, l'enseignant est venu m'aider et m'a donné un paramétrisation de C qui était la suivante :

C : [0,8] -> R^2
       t  --> (t,0) si 0 ≤ t ≤ 2
                (2, t-2) si 2 ≤ t ≤ 4
                (6-t , 2) si 4 ≤ t ≤ 6
                (0, 8-t) si 6 ≤ t ≤ 8

Jusqu'ici j'avais compris de quoi il s'agissait, du moins pour un carré. Cependant, lors de la correction au tableau de l'exercice, l'enseignant a utilisé une autre paramétrisation, que je n'ai pas comprise, et il a donné une explication que j'ai du mal à comprendre :

Explication de l'enseignant : "Une paramétrisation du segment AB où A=(xA, yA) et B=(xB, yB) est :
[tex]g(t) = A+t\overrightarrow{AB} = (xA, yA) + t(xB-xA, yB-yA) = (xA(1-t) + txB, yA(1-t) + tyB)[/tex]
Les deux possibilités sont : 1. vitesse [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et 0≤t≤1
2. Vitesse [tex]\frac{\overrightarrow{AB}}{AB}[/tex] et 0≤t≤AB où  AB est la norme du vecteur AB"

Il a ensuite résolu l'exercice de la façon suivante :
(On note C1 le segment entre (0,0) et (2,0), C2 le segment entre (2,0) et (2,2), C3 le segment entre (2,2) et (0,2) et C4 le segment entre (0,2) et (0,0))
On choisit apparemment la possibilité 2.

C1 : [0,2] -> R^2
         t  -> (t, 0)

C2 : [0,2] -> R^2
         t  -> (2, t)

C3 : [0,2] -> R^2
         t  -> (2-t, 2)

C4 : [0,2] -> R^2
         t  -> (0, 2-t)

Je ne comprends pas comment grâce à son explication il a réussi à trouver cette résolution, et je ne comprends pas son histoire de vitesse ...
J'aurais du lui poser ces questions en cours mais tout va si vite à la fin du semestre !

J'espère que quelqu'un pourra m'aider, en tout cas je vous remercie par avance.

Pauline

PTRK

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Re : Paramétrisation de surface

Ce qu'il a fait c'est qu'il a exhibé une formule de translation pour un point : tu prend un point initial $A=(x_A,y_A)$, tu te donnes un vecteur directeur de propagation $V$ alors pour tout $t$, $A+tV$ est un translaté de $A$.

Si tu veux passer par $B=(x_B,y_B)$ alors obligatoirement $V=\vec{AB} = c(x_B-x_A,y_B-y_A)$ où $c$ est une constante réelle non nulle. Les deux choix qu'il te proposent est que tu peux choisir de prendre $\vec{AB}$ tel que $c = 1$, et alors tu sera en A quand $t=0$, et en B quand $t=1$.
Ou alors tu peux choisir $c=\dfrac{1}{\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}$, et alors tu sera encore en A pour $t=0$, mais il faudra $t=\dfrac{1}{C}$ pour être en B;

La "vitesse" dont il parle semble être la norme $c\vec{AB}$.

Et après, il défini les bords de ton carrée en appliquant cette formule en prenant successivement le point A parmi tes 4 points, et le B par celui qui le suit trigonométriquement.

Le but étant de calculer une intégrale, il l'a découpé en 4 blocs, et sur chacun d'eux tu ne fais varier qu'un paramètre, $t$. Il a choisis de prendre pour chaque bloc $0 \le t \le2$.

Je ne sais pas si ca va t'aider.