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#32 28-12-2016 23:32:20
- tina
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Re : Dérivée dans D'
D'accord. Alors on a:
$\forall x \in [2k\pi, 2(k+1)\pi[: g(x) = x- 2k\pi$.
donc
$$
\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} g(x) \varphi'(x) dx = 2\pi \varphi(2(k+1)\pi) - \displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx.
$$
Donc,
$$
\langle g',\varphi\rangle= \sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx - 2\pi \sum_{k=k_1}^{k_2} 2\delta_{2(k+1)\pi}.
$$
C'est ok? S'il vous plaît.
Si oui, j'ai une question. On a dit que $Supp \varphi \subset \cup_{k=k_1}^{k_2} [2k\pi,2(k+1)\pi].$ Pourquoi utiliser le semi ouvert $ [2k\pi,2(k+1)\pi[ $ au lieu de $[2k\pi,2(k+1)\pi]$? S'il vous plait.
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#33 29-12-2016 11:39:37
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Il faut aller plus loin pour écrire que
$\displaystyle\sum_{k=k_1}^{k_2} \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx = \int \varphi(x) dx = <1,\varphi>$
Pour les question d'intervalle ouvert/fermé, il faut remarquer que le fonction $g$ est discontinue aux points $2k\pi$. Pour l'intégrale, ce qui compte ce sont les limites à gauche et à droite. On peut donc "oublier" ce qui se passe en dehors de $]2k\pi, 2(k+1)\pi[$ quand on calcule l'intégrale $\displaystyle \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} g\varphi'd\mu$
Enfin, en remarquant que $\varphi$ est nulle en dehors de $\cup_{k=k_1}^{k_2} [2k\pi,2(k+1)\pi].$, on peut avoir une écriture plus compacte de la somme due aux discontinuités de $g$ :
$\displaystyle \sum_{k=k_1}^{k_2} \varphi(2(k+1)\pi) = \sum_{k \in \mathbb{Z}}\varphi(2k\pi)$
Tu as également des erreurs dans ta formule :
- il y a un facteur 2 de trop (tu mets $2\pi$ et $2\delta$)
- Tu écris une égalité avec un nombre à gauche ($<g',\varphi>$) et une distribution à droite ($\delta_{2k\pi}$). Il faut écrire à droite $<\delta_{2k\pi},\varphi>$
ça donne $\displaystyle g' = 1 + (-2\pi)\sum_{k \in \mathbb{Z}}\delta_{2k\pi}$
La somme étant finie car appliquée à des fonctions à support compact.
J'ai mis $+ (-2\pi)$ pour montrer que c'est cohérent avec la formule des sauts. $-2\pi$ étant la hauteur du saut de la fonction $g$ aux points de discontinuité.
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#35 29-12-2016 12:38:16
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Tu connais l'expression de $g$ sur $[0,2\pi[$, donc tu peux calculer $\lim_{x \to 2\pi^-} g(x)$. Ensuite, comme $g$ est $2\pi$-périodique, tu sais que $g(2\pi)=g(0)$ ...
Si tu relis la démonstration de la formule des sauts, c'est exactement la même chose que ce qu'on vient de faire ici.
Dernière modification par Yassine (29-12-2016 12:41:03)
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#36 29-12-2016 13:36:59
- tina
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Re : Dérivée dans D'
$\lim_{x \to {2\pi}^-} g(x)= 2\pi$, et on a $g(0)=0$ et $g(2\pi)= 2 \pi$. Pourquoi regarder $g(0)$? Puisque ce qui nous interesse c'est aupoint $2\pi$? Et justement on a
$\lim_{x \to {2\pi}^-} g(x)= 2\pi= g($\pi)$. Qu'est ce qui m'échappe? S'il vous plaît
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#37 29-12-2016 13:54:24
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Le but est de montrer que g esi discontinue en $2\pi$. Donc, une approche est de montrer que $\lim_{x \to {2\pi}^-} g(x) \neq g(2\pi)$.
On sait calculer la limite puisque'on connait l'expression de $g$ sur $[0,2\pi[$.
Pour calculer $g(2\pi)$, on utilise le fait que $g$ est périodique, donc $g(2\pi)=g(0)=0$.
On conclue que $g$ est discontinue.
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#38 29-12-2016 18:09:39
- tina
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Re : Dérivée dans D'
Ok, c'est bien compris.
La dérnière question est de calculer $\langle g'',\varphi \rangle$ où $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ avec Supp \varphi \subset [-\pi,\pi]$ et
$\foral x \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]: \varphi(x)=x$.
Alors voilà ce que j'ai fais. On a:
$$
\langle g'',\varphi\rangle = - \langle g',\varphi'\rangle = - \langle 1,\varphi \rangle + 2 \pi \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2k\pi).
$$
D'un côté, on a $\langle 1,\varphi'\rangle= - \langle 1',\varphi\rangle=0$,
et d'un autre côté, il faut calculer $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2k\pi)$. Le problème est que je n'arrive pas à utiliser les données sur $\varphi$ pour faire ce calcul.
Merci pour votre aide.
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#39 29-12-2016 19:15:24
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Ok, c'est bien compris.
La dérnière question est de calculer $\langle g'',\varphi \rangle$ où $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ avec $Supp \varphi \subset [-\pi,\pi]$ et
$\forall x \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]: \varphi(x)=x$.Alors voilà ce que j'ai fais. On a:
$$
\langle g'',\varphi\rangle = - \langle g',\varphi'\rangle = - \langle 1,\varphi \rangle + 2 \pi \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2k\pi).
$$
D'un côté, on a $\langle 1,\varphi'\rangle= - \langle 1',\varphi\rangle=0$,
et d'un autre côté, il faut calculer $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2k\pi)$. Le problème est que je n'arrive pas à utiliser les données sur $\varphi$ pour faire ce calcul.
Merci pour votre aide.
Indication : $\exists !k\ | \ \varphi$ non nulle au voisinage de $2k\pi$
($\exists !$ veut dire : il existe un unique...")
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#40 29-12-2016 19:32:16
- tina
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Re : Dérivée dans D'
puisque $Supp \varphi \subset [-\pi,\pi]$, alors il existe un seul $k \in \mathbb{Z}$ qui est $k=0$ tel que $\varphi(0) \neq 0$.
Donc on peut dire que $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)= \varphi'(0)$
et puisque $0 \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$, alors $\varphi(x)=x$, donc $\varphi'(0)=1$.
Ainsi, $\sum_{k\in \mathbb{Z}} \varphi'(2k\pi)= 1$
Donc,
$$
\langle g'',\varphi\rangle = 2 \pi.
$$
C'est correct? S'il vous plaît.
Merci pour votre aide.
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#41 29-12-2016 19:47:55
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Presque !
L'argument est que $\varphi$ est nulle au voisinage des points $2k\pi$ avec $k \neq 0$, c'est ça qui permet d'avoir $k \neq 0 \implies \varphi'(2k\pi)=0$.
On peut avoir une fonction avec $f(2\pi)=0$ et $f'(2\pi)\neq 0$.
Il faut donc remplacer $\exists ! k$ tel que $\varphi(2k\pi) \neq 0$ par $\exists ! k$ tel que $\varphi$ non nulle au voisinage de $2k\pi$.
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#43 29-12-2016 20:26:16
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Désolé, je n'ai pas compris ce que tu as dis.
On n'a pas d'informations concernant ce qui se passe en $0$.
Par contre, on a de l'information concernant ce qui se passe en dehors de $[-\pi, \pi]$ : $\varphi$ est nulle. Donc, on sait que $k \neq 0 \implies 2k\pi \notin [-\pi,\pi] \implies \varphi$ nulle au voisinage de $2k\pi \implies \varphi'(2k\pi) = 0$.
Donc, au plus, il reste le terme $\varphi'(0)$, sur lequel on n'a pas d'information spécifique.
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#47 30-12-2016 09:52:53
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
C'est absolument faux !
Est-ce que c'est une phrase que j'ai dite qui t'a amené à cette conclusion ?
Prends l'identité, elle est nulle en $0$ non nulle pour tout $x \neq 0$.
Si tu veux tirer une conclusion sur la dérivé d'une fonction en un point, tu ne peux pas utiliser juste la valeur de la fonction en ce point. Si je te donne une photo d'un ballon en l'air, tu ne peux pas savoir s'il monte ou s'il tombe (vitesse) même si tu vois où il se trouve.
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#48 31-12-2016 20:51:37
- tina
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Re : Dérivée dans D'
Bonsoir, et joyeuse fête à tous.
J'ai deux questions s'il vous plaît.
1. Comment on sait qu'un intervalle symétrique autour de $\dfrac{\pi}{2}$ veut dire que $\exists a>0: Supp \varphi \subset [a,\pi-a]$?
2. On a $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2k\pi)= \varphi'(0)$, et comme $\varphi'(x)=1$ alors $\varphi'(0)= 1$. Ainsi,
$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)= 1.$
Je n'arrive pas à comprendre la necessité de l'histoire du voisinage.
Je vous remercie pour votre aide.
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#49 01-01-2017 12:41:58
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Bonjour et Bonne Année à tous !
1- Fais un schéma et tu verras. Après, tu pourras formaliser en disant qu'un intervalle symétrique est de la forme $[\dfrac{\pi}{2}-d, \dfrac{\pi}{2}+d]$ et montrer que tu peux également l'écrire sous la forme $[a,\pi-a]$
2- Pour comprendre, essaie de regarder les différences entre les deux énoncés suivants :
On note $E=\{ x \in \mathbb{R}\ | \ \varphi(x)=0\}$ (ensemble des points où $\varphi$ est nulle).
a- $\forall x \in \left(Supp(\varphi)\right)^c,\ \varphi'(x)=0$
b- $\forall x \in E,\ \varphi'(x)=0$
Le premier est juste et le second faux.
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#50 01-01-2017 20:16:35
- tina
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Re : Dérivée dans D'
Tout d'abord, puisque $(Supp \varphi)^c$ est le plus grand ouvert sur lequel $\varphi$ s'annulle alors $E \subset (Supp \varphi)^c$.
Ensuit, le a dit que si $x \in (Supp)^c$, alors $\varphi'(x)=0$ ce qui est normal puisque $\varphi(x)=0$
et le b dit que si $x \in E$, alors $\varphi'(x)=0$, ce qui est normal aussi puisque $\varphi(x)=0$ dans ce cas aussi.
Excusez moi mais je ne comprend pas la difference et je ne vois pas pourquoi le b est faux.
Merci pour votre aide.
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