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#1 03-12-2016 23:01:28
- vercar
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Probabilité
Bsr... Besoin d'aide svp
soit n un entier non nul. On effectue n lancers indépendants d'une pièce pour laquelle la probabilité d'obtenir "face" est p avec p appartient a
]0;1[. On pose q=1-p. Quelle est la probabilité qu'au cours de ces n lancers "face" ne soit jamais suivi de "pile".
J'ai ma petite idee pas sure que ce soit la bonne
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#6 04-12-2016 15:15:51
- vercar
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Re : Probabilité
Désolé j'essayais d'écrire la somme de k allant de 0 a n de p^k * q^n-k
-------------------------------------------------------------------------------------
[EDIT] by Yoshi
Donc \sum_{k=0}^n p^k*q^{n-k}
Soit en mettant les balises :
[tex]\sum_{k=0}^n p^k\times q^{n-k}[/tex]
Dernière modification par yoshi (04-12-2016 15:27:58)
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#11 04-12-2016 15:37:24
- Yassine
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Re : Probabilité
La probabilité de n'avoir que des "face" après $n$ lancers est de $p^n$, et si $p=1$, alors $p^n=1$.
C'est juste du bon sens, si une pièce tombe toujours du même côté (comme les tartines beurrées), alors, après $n$ lancers, tu n'auras que des "face", et donc jamais un "pile" qui suit une "face".
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#14 04-12-2016 15:45:23
- Yassine
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Re : Probabilité
Je te suggère d'attaquer ton problème comme suit :
Tu nommes $E_n$ l'événement : après $n$ lancers, aucun "face" n'est suivi d'un "pile" et tu essaies de trouver une relation qui lie l'événement $E_{n+1}$ avec l'événement $E_n$ et d'autres événements plus simples (l'idée est que tu cherches la probabilité d'un événement "cumulatif" : pour que ce soit vrai à l'étape $n+1$, il faut que ce soit vrai à l'étape $n$ plus d'autres conditions, idéalement indépendantes de ce qui s'est passé jusque là).
--EDIT--
Après réflexion, je ne pense pas que ce soit une bonne suggestion.
Dernière modification par Yassine (04-12-2016 15:54:57)
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#16 04-12-2016 16:38:58
- Yassine
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Re : Probabilité
Je propose l'approche suivante (à vérifier) :
D'abord, la probabilité que, après $n$ lancers, le $n$-ième soit Face est égale à $p$ (le dernier lancer est indépendant des précédents).
De même, la probabilité qu'après $n$ lancers, le $n$-ième soit Pile est égale à $1-p$
Donc l'événement recherché est l'union des deux événements disjoints suivants :
- Après $n$ lancers, Obtenir Pile au $(n-1)$-ième lancer
- Après $n$ lancers, Obtenir Face au $(n-1)$-ième lancer, puis Face au $n$-ième lancer
Ce qui donne $(1-p) +p^2$, soit $1-p(1-p)$.
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#17 04-12-2016 17:08:26
- vercar
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Re : Probabilité
Je ne comprend pas très bien ton approche... Qu'en est t-il si par exemple j'ai eu Face au (n-2)ieme lancer et Pile juste apres... Bref ce qui me chiffonne c'est pourquoi tu te restreins aux 2 derniers lancers... Je pourrais bien avoir eu Face au premier lancer et pile juste après
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#21 04-12-2016 17:51:46
- Yassine
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Re : Probabilité
Finalement, je pense que j'ai dit une bêtise au tout début.
Dans le cas où $p=1$, dans la somme $\sum_{k=0}^{n} p^k(1-p)^{n-k}$, le dernier terme vaut $1$, j'avais fait un calcul trop hâtif.
Je pense donc que ta formule est correcte.
Pour $k=0$ à $n$, si on note $A_{n,k} = \{X_1='P',\cdots,X_k='P',X_{k+1}='F', \cdots, X_n='F'\}$,
Pour $k=0$, c'est l'événement 'que des "Face"' et pour k=$n$, l'événement 'que des "Pile"'.
alors les événements $A_{n,k}$ sont deux à deux disjoints et forment donc une partition de l'événement recherché
donc $\displaystyle P(A)=P\left(\cup_{k=0}^n A_{n,k}\right) = \sum_{k=0}^{n} p^k(1-p)^{n-k} = p^n\dfrac{1-\left(p(1-p)\right)^{n+1}}{1-p(1-p)}$
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