Forum de mathématiques - Bibm@th.net

paulinehbrt

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intégrale multiple sur ellipses

Bonjour,

Je suis en L2 et j'ai rencontré un problème lors de la re-lecture d'un énoncé d'exercice de maths.

L'énoncé est le suivant :

" En utilisant un changement de variables, calculer [tex]\int \int\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}}dxdy[/tex]

sur le domaine D, D étant la partie du plan comprise entre les ellipses d'équation [tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=4 [/tex]  et    [tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=16[/tex] "

Le problème, c'est que j'ai cherché partout sur internet et l'expression caractéristique d'une ellipse est [tex] \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex]
Je ne comprends donc pas ce que signifient les =4 et =16 dans les ellipses de l'énoncé...
On a corrigé cet exercice en cours, mais n'ayant pas vu d'ellipses depuis un bout de temps, lors de la correction j'ai pensé que le 4 et le 16 pouvaient représenter peut être un rayon ou quelque chose comme ça ...

Je vous remercie par avance de votre aide,

Pauline

Fred

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Re : intégrale multiple sur ellipses

Bonjour Pauline, et bienvenue sur Bibm@th,

  Tu n'es pas très loin de la vérité. Quand tu écris une ellipse sous la forme
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$
$a$ et $b$ sont les demi-axes focaux. Ils correspondent respectivement à la longueur entre le centre de l'ellipse (ici, le point $(0,0)$) et son point le plus à droite (ici $(a,0)$) et à la longueur entre le centre de l'ellipse et le point le plus "en haut", ici $(0,b)$.
(voir le dessin de cette page).

Quand tu écris une ellipse sous la forme
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=4$$
tu peux aussi la réécrire en
$$\frac{x^2}{(2a)^2}+\frac{y^2}{(2b)^2}=1$$
c'est-à-dire que tu as multiplié la longueur des deux demi-axes focaux par 2. L'ellipse que tu considères est donc juste une homothétie de ton ellipse initial de centre l'origine et de rapport 2.
Pour la deuxième ellipse, c'est juste l'image de l'ellipse initiale par une homothétie de centre $O$ et de rapport 4.

Donc tu calcules bien une intégrale multiple sur une surface comprise entre deux ellipses.

Fred.

paulinehbrt

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Re : intégrale multiple sur ellipses

Ah oui d'accord !!
J'aurais du poster le message plus tôt, ça fait 1 heure que je suis dessus, et la réponse est pourtant si simple ...

Merci beaucoup de votre réponse,

Bon weekend

Pauline

Fred

Administrateur

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Re : intégrale multiple sur ellipses

Re-

  C'est un joli exercice, avec un joli changement de variables qui donne normalement des calculs pas très compliqués!

F.

paulinehbrt

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Re : intégrale multiple sur ellipses

Des calculs effectivement pas très compliqués mais quand même 2 changements de variables !
Il ne s'agit pas de s'emmeler les pinceaux !

Pauline