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tina

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ordre d'une distribution

Bonjour,
soit la forme linéaire
[tex]
\begin{align*}
T: \mathcal{D}(\Omega) & \to \mathbb{C}\\
\varphi & \mapsto \varphi'(0)
\end{align*}
[/tex]
Les questions sont:
1. Montrer que T est une distribution.
2. montrer que T est d'ordre 1.

Pour la question 1, voici ce que j'ai fait.
a. [tex]T[/tex] est bien définie car [tex]\varphi'(0)[/tex] existe
b. Il est clair que [tex]T[/tex] est linéaire.
c. Soit un compact [tex]K[/tex] et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega).[/tex] On a:
[tex]
|\langle T,\varphi\rangle| = |\varphi'(0)| \leq \sup_{x \in K} |\varphi(x)| \leq P_{K,1}(\varphi),
[/tex]
donc T est continue.
De a., b., et c., on déduit que T est une distribution sur [tex]\Omega[/tex] d'ordre [tex]p \leq 1.[/tex]
Est-ce que tout est connrecte? S'il vous plaît.

2. Montrer que T est d'ordre 1. Pour ça, il suffit de montrer que T n'est pas d'ordre 0.

T est d'ordre 0 veut dire qu'il existe une constante C qui dépend du compact quelconque K, telle que:
[tex][\langle T, \varphi \rangle| \leq C P_{K,0}(\varphi)[/tex]
Pour montrer que T n'est pas d'ordre 0, il suffit de trouver une suite [tex](\varphi_n)[/tex] telle que
il existe un compact K et il existe une suite, et quelque soit la constante C, on a
[tex]
|\langle T,\varphi_n \rangle| \geq C P_{K,0}(\varphi_n)
[/tex]

J'ai deux questions s'il vous plaît:

1. Pourquoi il faut une suite? Pourquoi pas juste une fonction teste?
2. Comment choisir une suite de fonctions plateaux? Je ne sais pas comment faire le bon choix en général.

Je vous remercie pour votre aide.

Dernière modification par tina (10-11-2016 11:58:28)

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Bonjour,
Il y a une coquille dans le c. Il faut écrire
$\displaystyle  |\langle T,\varphi\rangle| = |\varphi'(0)| \leq \sup_{x \in K} |\varphi'(x)| \leq P_{K,1}(\varphi)$
et non
$\displaystyle  |\langle T,\varphi\rangle| = |\varphi'(0)| \leq \sup_{x \in K} |\varphi(x)| \leq P_{K,1}(\varphi)$

($ |\varphi'(x)|$ et non $ |\varphi(x)|$).

Je tente une réponse pour le 2.
J'écris d'abord la définition de $T$ d'ordre $0$ :
$\exists C, \forall K, \forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega), |\langle T,\varphi\rangle| < CP_{K,0}(\varphi)$
Je ne l'écris pas mais $\varphi$ doit être à support dans $K$ (dans la suite également).

La négation de cette propriété est la suivante :
$\forall C, \exists K, \exists \varphi \in \mathcal{D}(\Omega), |\langle T,\varphi\rangle| \ge CP_{K,0}(\varphi)$

La subtilité qui n'apparait pas forcément dans cette écriture, c'est qu'à la fois $K$ et $\varphi$ peuvent dépendre de la constante $C$.
Donc, une autre écriture serait (même si d'un point de vue de la stricte rigueur, elle soit incorrecte, mais elle reste très pédagogique)

$\forall C, \exists K_C, \exists \varphi_C \in \mathcal{D}(\Omega), |\langle T,\varphi_C\rangle| \ge CP_{K_C,0}(\varphi_C)$

On peut également montrer très facilement que $C \in \mathbb{R}$ peut être remplacé par $N \in \mathbb{N}$, si bien que la proposition devient

$\forall N \in \mathbb{N}, \exists K_N, \exists \varphi_N \in \mathcal{D}(\Omega) |\langle T,\varphi_N\rangle| \ge NP_{K_N,0}(\varphi_N)$

C'est ici qu'apparait la suite $\varphi_N$.
Il faut donc que tu montres que pour tout $N$, tu peux trouver un compact $K_N$ et une fonction $\varphi_N$ à support dans $K$ tels que $\varphi'_N(0) \ge \sup_{K_N}|\varphi|$.

tina

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Re : ordre d'une distribution

et comment choisir la fonction plateau qui va servir de contre exemple? S'il vous plaît

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

D'abord, la propriété que tu dois montrer ne parle nullement d'une fonction plateau, mais d'une fonction test, à savoir à support compact.
Les fonctions plateaux sont un outils commode qui permet de construire d'autres fonction test par multiplication.
Si j'ai une fonction $f \in C^\infty(\Omega)$ et $\chi$ une fonction plateau qui vaut $1$ sur un voisinage de $K$. Alors la fonction $f\chi$ est à support compact et vaut $f(x)$ sur un voisinage de $K$.
Donc, si j'ai besoin, pour je ne sais quelle raison, d'une fonction test qui se comporte comme le sinus au voisinage d'un compact $K$, je prends la fonction $\sin(x)\chi(x)$.
ça permet de "tronquer" de façon $C^\infty$ une fonction au voisinage d'un compact (la fonction $\sin(x)1_K$ où $1_K$ est l'indicatrice de $K$ n'est pas $C^\infty$).

Il faut donc que tu trouves des fonctions test, qui soit bornées (par exemple $0 \le \varphi_n \le 1$) mais dont la dérivée peut prendre des valeurs aussi grandes qu'on le souhaite. Idéalement, telles que $\varphi'_n(0) = n$. Si tu dessine le graphe de cette fonction, il faut qu'au point $0$, sa pente soit de plus en plus raide.
Tu dessines un point $-\varepsilon$ à gauche de $0$ où la fonction est nulle, un point $\varepsilon$ à droite de $0$ où la fonction vaut $1$, quand $\varepsilon$ devient petit, la pente devient de plus en plus raide. C'est ça qu'il faut que tu arrives à formaliser.

Fais-le une fois, c'est hyper important pour bien réussir les exo sur les distributions.

tina

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Re : ordre d'une distribution

mais pourquoi il faut utiliser une suite pour montrer que l'ordre n'est pas 0? Pourquoi pas utiliser une simple fonction test?

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Il faut lire les quantificateurs :

1) Pour toute constante $C \in \mathbb{R}$
2) Il existe un compact $K$
3) Il existe une fonction test $\varphi$.
tels que $\varphi$ ne satisfait pas la condition de continuité.

Je pense que ta confusion vient du fait que tu penses qu'il faut une suite pour chaque constante $C$.
Le texte dit : pour chaque constante $C$, tu dois trouver une fonction test qui ne vérifie pas la condition.

Ceci revient donc à exhiber une famille de fonctions test, une pour chaque constante $C$.

La subtilité vient du fait que tu n'est pas obligé d'en trouver une pour chaque constante $C$ réelle mais uniquement pour chaque constante entière (tu peux montrer que c'est équivalent, vue la condition qui doit être respectée).

tina

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Re : ordre d'une distribution

Oui, pour chaque constante [tex]C[/tex] il faut trouver un compacte [tex]K[/tex] et une fonction test [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K[/tex].
Mais je ne comprend pas en qui ça implique de trouver une suite de fonction une pour chaque C. Puisque dans le raisonnement, on dit soit une constante C, donc il suffit de trouver une fonction test, pas besoin de le faire pour tous les C, en plus il y a un nombre infini de C. Non? Je ne comprend pas cette implication.

Merci par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Bonjour,

Puisque dans le raisonnement, on dit soit une constante C, donc il suffit de trouver une fonction test, pas besoin de le faire pour tous les C

On dit : "soit une constante $C$", sans rien préciser sur $C$ et qu'on démontre une propriété $P(C)$, alors, on a démontré que $\forall C, P(C)$

Je vais illustrer ça par un petit jeu entre toi et moi. Suppose que tu doives choisir une fonction (qu'on note $tin$) dont la valeur en $0$ soit le double d'un nombre que je choisis (qu'on note $yas$).
Si c'est moi qui commence et dévoile le nombre $yas$, il n'y a aucune difficulté, tu donneras la fonction $tin(x)=x+2yas$ par exemple (tu remarqueras au passage que $tin$ dépend de $yas$). ça correspond à la proposition $\forall C \in \mathbb{R}, \exists f \in C^\infty(\mathbb{R}), f(0)=2C$. Peu importe le nombre que je choisis, tu trouvera une fonction qui satisfait la propriété requise. Cette fonction sera bien sûr différente à chaque partie. Si on joue indéfiniment, tu "fabriqueras" une infinités de fonctions, une pour chaque nombre que je donne. C'est ce qu'on matérialise par la famille⁽¹⁾ de fonctions $(tin_{yas})_{yas \in \mathbb{R}}$.

Si maintenant, c'est à toi de démarrer, tu n'as aucune chance. Quelque soit la fonction que tu donnes, je l'évalue en $0$ et je choisi un nombre différent de la moitié de cette valeur. ça correspond à la proposition $ \exists f \in C^\infty(\mathbb{R}), \forall C \in \mathbb{R}, f(0)=2C$

Dans le cas qui nous préoccupe, on est dans la première situation (j'oublie volontairement le compact $K$ pour simplifier) :
$\forall C \in \mathbb{R}, \exists \varphi \in \mathcal{D}(\Omega), \varphi'(0) > C\|\varphi\|_{\infty}$

Pour chaque constante $c$ (je prend minuscule, ça s'affiche mieux) que je vais te donner, tu dois donner une fonction $\varphi$ qui convient. L'expression que tu va trouver de $\varphi$ va obligatoirement dépendre de $c$, c'est pourquoi on utlise la notation $\displaystyle \varphi_c$ pour souligner cette dépendance. Tu vas donc également trouver une famille de fonctions $\displaystyle (\varphi_c)_{c \in \mathbb{R}}$.

J'espère que c'est un peu plus clair.

(1) : Une famille est un concept plus général que suite : c'est une collection d'objets indicés par une partie quelconque. Par exemple $(\sin(nx))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de fonctions alors que $(\sin(tx))_{t \in \mathbb{R}}$ est une famille de fonctions. Une suite est une famille dénombrable.

tina

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Re : ordre d'une distribution

d'accord, j'ai colpris qu'on cherche une fonction [tex]\varphi_c[/tex] pour chaque [tex]c \in \mathbb{R}[/tex], ce qui nous conduit à chercher une famille [tex](\varphi_c)_{c \in \mathbb{R}}.[/tex]
La question qui reste est: pourquoi il suffit de montrer pour [tex]C \in \mathbb{N}[/tex] au lieu de tout [tex]\mathbb{R}[/tex]? S'il vous plaît.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

D'abord, on est pas obligé de passer par $\mathbb{N}$, on peut montrer directement ça avec $\mathbb{R}$. Mais ça peut être pratique parfois.
Il faut donc montrer l'équivalence des deux propositions suivantes :
Propositions (1)
$\forall c \in \mathbb{R}, \exists K_c , \exists \varphi_c, \varphi_c'(0) \ge c P_{K_c,0}(\varphi_c)$

Propositions (2)
$\forall n \in \mathbb{N}, \exists K_n , \exists \varphi_n, \varphi_n'(0) \ge n P_{K_n,0}(\varphi_n)$

Le sens (1) => (2) est trivial.
On regarde le sens (2) => (1).

Soit donc $c \in \mathbb{R}$ quelconque. Posons $n = \lfloor|c|\rfloor + 1$. On a bien sûr $n > c$.
En vertue de la proposition (2), il existe $K_n$ compact et $\varphi_n$ tels que  $\varphi_n'(0) \ge n P_{K_n,0}(\varphi_n)$. Comme $n > c$ et $P_{K_n,0}(\varphi_n) \ge 0$, alors on a $n P_{K_n,0}(\varphi_n) > c P_{K_n,0}(\varphi_n)$. Posons $K_c = K_n$ et $\varphi_c = \varphi_n$, on a alors $\varphi_c'(0) = \varphi_n'(0) \ge n P_{K_n,0}(\varphi_n) \ge c P_{K_n,0}(\varphi_c)$. On a donc la proposition (1).

Dernière modification par Yassine (11-11-2016 18:00:05)

tina

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Re : ordre d'une distribution

Bonjour,
en fait, je ne comprend pas comment choisir une suite de fonctions plataux pour montrer que la distribution
[tex]
\langle T,\varphi \rangle = \varphi'(0)
[/tex]
n'est pas d'ordre 0. C'est surtout la dérivée qui me perturbe, en plus une suite de fonctions plataux vaut 1sur un compact, je ne sais pas à quoi ca va servir pour le passage à la limite. Je suis un peu perdu. Merci de m'aider s'il vous plaît.

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Bonjour,
Comme je l'avais déjà indiqué, tu ne peux pas y arriver avec juste une (ou des) fonction(s) plateau.

Je vais te donner le schéma de la preuve :
On suppose qu'on dispose d'une suite de fonctions $f_n \in C^\infty(\Omega)$ (ce ne sont pas forcément des fonctions tests) telles que :
$\forall n, \|f_n\|_\infty \le 1$ :  fonctions bornées par $1$
$\forall n, f'_n(0) = n$ :  Il faut que la tangente en zéro soit aussi proche de la verticale qu'on le souhaite

Je te laisse chercher de telles fonctions.

Soit maintenant une fonction plateau $\chi$ qui vaut $1$ sur $[-1,1]$ (j'aurai pu choisir [$-\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}]$, ça n'a pas d'importance, il faut juste que ça contienne un ouvert qui contient $0$).
On a alors $\chi(0)=1$ et $\chi'(0)=0$ (pourquoi ?)

Soit maintenant $\varphi_n = f_n \chi$. $\varphi_n$ est une fonction test pour tout $n$ (pourquoi ?)
Calculer $\varphi'_n(0)$, conclure

tina

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Re : ordre d'une distribution

Je n'arrive pas comment obtenir une suite [tex]f_n[/tex] telle que [tex]f'_n(0)=n.[/tex]
Pour le reste, il est clait que [tex]\chi(0)=1[/tex] vue que [tex]0 \in [-1,1][/tex], par contre il n'est pas clair que [tex]\chi'(0)=0.[/tex]
Merci pour votre aide.

Dernière modification par tina (13-11-2016 17:37:03)

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Je n'arrive pas comment obtenir une suite [tex]f_n[/tex] telle que [tex]f'_n(0)=n.[/tex]

Un exemple parmi d'autres, la fonction sigmoïde : $\displaystyle f_n(x) = \frac{1}{1+e^{-nx}}$

par contre il n'est pas clair que [tex]\chi'(0)=0.[/tex]

Tout de même !
Que vaut la dérivé d'une fonction en un point si elle est constante au voisinage de ce point ?

tina

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Re : ordre d'une distribution

Ah ben oui, je suis bête. Si [tex]\chi(0)=0[/tex] alors [tex]\chi'(0)=0[/tex], pardon je ne sais vraiment pas ce qui m'a pris.

Par contre pour trouver la fonction [tex]f_n[/tex] ce n'est pas du tout évident pour moi. Il y a un truc pour la trouver facilement?

Dernière modification par tina (13-11-2016 18:54:32)

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Attention,
d'abord $\chi(0)=1$ et non $\chi(0)=0$
Ensuite, il faut que la fonction soit constante au voisinage d'un point. Ce n'est pas parce que $f(x)=0$ que $f'(0)=0$ !
Donc, $(\exists \epsilon > 0, \forall x \in ]x_0-\epsilon, x_0+\epsilon[, f(x_0)=c) \Rightarrow f'(0)=0$

Le truc pour trouver les fonctions, c'est ce que tu es en train de faire : des exos !
Tiens, encore une que tu connais forcément mais à laquelle tu n'a pas pensée : $f_n(x)=\sin(nx)$, alors $f'_n(0)=n \cos(0)=n$

tina

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Re : ordre d'une distribution

C'est compris.Merci beaucoup

Dernière modification par tina (13-11-2016 20:37:08)

tina

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Re : ordre d'une distribution

Bonjour,
pourquoi la suite
[tex]f_n(x)= \sin(nx)[/tex] n'est pas une fonction test? Quel est son support? S'il vous plaît.
Merci par avance.

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Bonjour,
J'ai dit au départ que les $f_n$ ne sont pas des fonctions test (la fonction sigmoide n'est pas non plus une fonction test).
C'est la fonction $g_n = f_n\chi$ qui est une fonction test. C'est pour ça que les fonctions plateau sont importante.

tina

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Re : ordre d'une distribution

oui Yassine, ca je l'ai compris. Mais ma question est: comment obtenir le support de [tex]\sin(nx)?[/tex] qui est l'adhérence des points où [tex]\sin(nx)[/tex] ne s'annulle pas?

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Je ne suis pas sûr de voir le lien avec le reste, le réponse est :
$supp(\sin(nx))=\overline{\mathbb{R}\setminus \{\frac{k}{n}\pi, k\in \mathbb{N}\}} = \mathbb{R}$.

par ailleurs,
$supp(sin(nx)\chi(x)) \subset supp(sin(nx)) \cap supp(\chi) = supp(\chi)$.

Dernière modification par Yassine (16-11-2016 12:21:33)