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#1 31-10-2016 18:10:58
- lekoue
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- Messages : 30
ensemble borné
bonjour à tous j'ai un problème avec cet exercice qui voudrait qu'on montre que cet ensemble est borné:
[tex]K_C = \{(u,v) \in \mathbb{R_+^*}*\mathbb{R_+^*} / lnu+lnv-u-v = C, C \in \mathbb{R} \}[/tex]. en effet je parviens à montrer que cet ensemble est fermé en considérant l'application continue [tex]f:\mathbb{R_+^*}*\mathbb{R_+^*}\longrightarrow \mathbb{R}[/tex] tel que [tex]f(u,v)=lnu+lnv-u-v-C[/tex] telle que [tex]K_C = f^{-1}(\{0\})[/tex]. donc [tex]K_C[/tex] est fermé comme image reciproque d'un fermé par une application continue.
problème: comment montrer que [tex]K_C[/tex] est borné?
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#2 31-10-2016 19:15:13
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : ensemble borné
Bonsoir,
Si je note $f(x)=x-ln(x)$, alors $\displaystyle K_C = \{(u,v) \in \mathbb{R}_+^*\times \mathbb{R}_+^* \ |\ f(u)+f(v)=-C, C \in \mathbb{R} \}$
Une étude rapide de $f(x)$ montre qu'elle est toujours strictement positive.
Donc $f(u)+f(v)=-C \Rightarrow f(u) \le -C$. Comme $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x) = \lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty$, tu peux facilement montrer que $f(u) \le -C \Rightarrow 0 < u < M_C$, pour une certaine constante $M_C$ dépendant de $C$. De même pou $v$. et donc finalement, $(u,v) \in B(0,M'_C)$.
-- EDIT --
Pour être tout à fait rigoureux, j'ai modifié en écrivant $M'_C$ au lieu de $M_C$ car si $u < M_C$ et $v < M_C$, alors $\sqrt{u^2+v^2} < \sqrt{2}M_C$.
Dernière modification par Yassine (01-11-2016 18:12:00)
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