Convergence dans D

tina · 17-10-2016 10:24:58

Bonjour,
soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On pose [tex]\psi_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(x)[/tex]. La question est d'étudier la convergence de [tex](\psi_n)[/tex] dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex]
La définition dit ceci: on dit qu'une suite [tex](\psi_n)[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] vers [tex]\psi[/tex] s'il existe un compact [tex]K[/tex] de [tex]\mathbb{R}[/tex] telle que:
1. [tex]Supp \subset K, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]
2. [tex]Supp \subset K[/tex]
3. [tex]\forall \alpha \in \mathbb{N}^n: Sup_{x \in K} |D^{\alpha} \psi_n(x)- D^{\alpha} \psi(x)| \to 0 \ \mbox{ quans } n \to +\infty[/tex]

On commence par étudier la concergence simple de [tex]\psi_n.[/tex] Soit [tex]x[/tex] fixé dans [tex]\mathbb{R}.[/tex] On a
[tex]\lim_{n \to +\infty} \psi_n(x) = 0[/tex], ce qui veut dire que [tex]\psi_n[/tex] converge simplement vers 0.

J'ai deux questions:
1.Quelle est la relation entre la convergence simple et la convergence dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]?
2. Dans la définition, on dit qu'il existe un compact K telle que ..... Comment choisir ce compact?
3. Quel est le support de la fonction nulle?

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Fred · 17-10-2016 12:10:47

tina a écrit :

J'ai deux questions:

Tiens, moi j'en vois trois!

tina a écrit :

1.Quelle est la relation entre la convergence simple et la convergence dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]?

Le troisième point de la définition fait que si $(\psi_n)$ converge vers $\psi$ dans $\mathcal D(\mathbb R)$, alors elle converge aussi simplement. Ici, étudier la convergence simple permet de deviner la fonction $\psi$ vers laquelle la suite $(\psi_n)$ va converger dans $\mathcal D(\mathbb R)$.

tina a écrit :

2. Dans la définition, on dit qu'il existe un compact K telle que ..... Comment choisir ce compact?

Ca dépend vraiment de la suite $(\varphi_n)$ que l'on a au départ. Ici, je pense que c'est assez clair de voir quel compact contient le support de tous les $\varphi_n$ (indice : ce compact dépend de $\varphi$, fais un dessin).

tina a écrit :

3. Quel est le support de la fonction nulle?

Si je lis la définition, c'est l'ensemble vide.

tina · 17-10-2016 12:19:24

Pour le support de [tex]\psi_n[/tex], si on note [tex]supp \varphi = K[/tex], alors [tex]supp \psi_n = K[/tex]. Est-ce qu'on dit que [tex]K=[-A,A][/tex], ou [tex]K=[a,b][/tex] où [tex]a<0, b>0[/tex] ou bien on écrit que [tex]K \subset [-A,A][/tex]? Quel est le plus juste? S'il vous plaît.

2. Comment la définition de la convergence dans D implique la convergence simple? S'il vous plaît. Dans a définition de la convergence simple il n y a pas de sup. Non?
Je vous remercie pour votre aide.

Fred · 17-10-2016 13:10:00

tina a écrit :

Pour le support de [tex]\psi_n[/tex], si on note [tex]supp \varphi = K[/tex], alors [tex]supp \psi_n = K[/tex]. Est-ce qu'on dit que [tex]K=[-A,A][/tex], ou [tex]K=[a,b][/tex] où [tex]a<0, b>0[/tex] ou bien on écrit que [tex]K \subset [-A,A][/tex]? Quel est le plus juste? S'il vous plaît.

Aucun des trois. Tu poses juste $K=supp \varphi$; c'est un compact mais tu ne sais pas si c'est un intervalle.

2. Comment la définition de la convergence dans D implique la convergence simple? S'il vous plaît. Dans a définition de la convergence simple il n y a pas de sup. Non?

Il n'y a pas de sup, mais qui peut le plus peut le moins. Si le sup tend vers 0, c'est qu'en chaque point cela tend vers 0.

tina · 17-10-2016 13:14:38

Quand est-ce qu'on eut poser que le support K est inclus dans l'intervalle [-A,A]? S'il vous plaît.
Parce que j'ai lu quelque part que, il ne faut pas intégrer sur le support de la fonction car par exemple le support de la fonction nulle est l'ensemble vide, et ça n'a pas de sens d'intégrer sur un ensemble vide, mais il faut toujours intégrer sur un un compact qui contient le support. Et par exemple dans [tex]\mathbb{R}[/tex], le support est toujours inclus dans un intervalle de la forme [-A,A]. C'est vrai?
Je vous remercie pour votre aide.

Fred · 17-10-2016 14:02:02

Un $K$ compact de $\mathbb R$ est une partie fermée et bornée. Puisqu'il est borné, il existe $A>0$ tel que $K\subset [-A,A]$.

tina · 17-10-2016 17:51:18

C'est bien compris. Merci beaucoup!
Dérnières questions.
1. Si la suite ne converge pas simplement, ça implique que la suite ne converge pas dans [tex]\mathcal{D}[/tex]?
2. Le support de la fonction identiquement nulle est l'ensemble vide. Est-ce qu'il est inclus dans tous compact K? Et comment le justifier? S'il vous plaît.
Merci beaucoup.

Dernière modification par tina (17-10-2016 17:53:40)

Yassine · 17-10-2016 19:05:41

Bonsoir Tina,

1- voir ce que Fred t'avais écrit avant : "si $(\psi_n)$ converge dans $\mathcal{D}(R)$, alors elle converge aussi simplement". Si tu prends la contraposée, ça donne "si elle ne converge pas simplement, alors elle ne converge pas dans $\mathcal{D}(R)$

2- Avant d'être un compact, $K$ est un ensemble et donc, $\emptyset \subset K$

tina · 17-10-2016 22:30:27

C'est bien compris. Merci beaucoup.
Si je prend maintenant la suite [tex]\eta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(nx), n \geq 1,[/tex] avec [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex]
On pose [tex]Supp \varphi = K[/tex]. Comment écrire le support de la suite [tex]\eta_n[/tex]? Est-ce qu'on utilise un intervalle? Je suis un peu perdue.
Je vous remercie pour votre aide.

Fred · 18-10-2016 08:01:21

Il suffit d'écrire que $x\in supp(\eta_n)\iff nx\in supp(\varphi)\iff x\in \frac1n K.$
Et donc le support de $\eta_n$ est $\frac 1n K$.

Il faut que tu comprennes deux choses :
* le support d'une fonction de $\mathcal D(\mathbb R)$ est un compact. Il n'y a aucune raison pour que ce compact soit un intervalle du type $[-A,A]$.
* pour faire des calculs (ex : ordre d'une distribution, etc....), il est parfois commode de dire qu'un compact $K$ de $\mathbb R$ est contenu dans un intervalle $[-A,A]$.

F.

tina · 18-10-2016 08:54:58

Mais dans [tex]\mathbb{R}[/tex], un compact est toujours un intervalle de la forme [tex][a,b][/tex]. Non?
Je vous remercie pour votre aide.

Yassine · 18-10-2016 09:52:16

$[a,b] \cup [c,d]$ est un compact.
$\{1\}$ est un compact.

tina · 18-10-2016 12:01:59

Ok, merci beaucouyp.
'il vous plaît, pour savoir si une fonction et oui ou non une fonction teste, est-ce que c'est une bonne astuce de faire tendre x vers l'infi, et voir si la limite est nlle alors c'est une fonction test, sinon ce n'en n'est pas une?

Yassine · 18-10-2016 12:37:23

Non.
$f(x)=e^{-x^2}$ tend vers $0$ à l'infini mais n'est jamais nulle sur $\mathbb{R}$.

tina · 18-10-2016 19:14:20

Et pour la fonction test suivante (j'écris les étapes de sa construction).
Soit [tex](\Omega_j)[/tex] des ouverts et soit [tex]K[/tex] un compact t.q [tex]K \subset \cup_{i=1}^n \Omega_i[/tex]. D'après un théorème, il existe des compacts [tex](K_i)_{i=1,...,n}[/tex] t.q [tex]K_i \subset \Omega_i[/tex] et [tex]K \subset \cup_{i=1}^n K_i[/tex], et d'après un résultat déduit d'Urysohn,
[tex]\exists \psi_i \in \mathcal{D}(\Omega_i): 0 \leq \psi_i \leq 1[/tex] et [tex]\psi_i=1[/tex] au voisinage [tex]K'_i[/tex] de [tex]K_i[/tex] (on prend ce voisinage ouvert)
On pose [tex]V= \cup_{i=1}^n K'_i[/tex] qui est un voisinage de [tex]K[/tex] On remarque que [tex]\sum_{i=1}^n \psi_i >0[/tex] sur [tex]V.[/tex]
On applique encore une fois le résultat déduit d'Urysohn, et on dit
[tex]\exists \theta \in \mathcal{D}(V): 0 \leq \theta \leq 1[/tex] et [tex]\theta=1[/tex] au voisinage [tex]W[/tex] de [tex]K.[/tex]
On pose
[tex]
\psi_0(x)= 1- \theta(x)=
\begin{cases}
1 &x \in C V\\
0: & x \in W
\end{cases}
[/tex]
Ma question est comment savoir si [tex]\psi_0[/tex] est une fonction test ou non?
Je vous remercie pour votre aide.

Dernière modification par tina (18-10-2016 22:01:57)

Yassine · 18-10-2016 21:40:27

Bonsoir,
Merci de préciser a quoi sert $K_i'$ qui n'est plus utilisé ensuite (d'ailleurs, le lemme d'Urysohn dit que la fonction vaut $1$ sur $K_i$)
Quel est l'ensemble $CV$ ? (complémentaire de $V$ ?)

Disons qu'à priori, si $\varphi$ est a support compact, $1-\varphi$ n'est pas à support compact.

tina · 18-10-2016 22:04:27

Pour [tex]K'_i[/tex], c'est V qui est la réunion des [tex]K'_i[/tex]. Pardon pour la faute de frappe, j'ai corrigé. Ensuite, c'est un résultat déduit d'Urysohn que j'ai utilisé pas Urysohn lui même.
Oui CV est le complémentaire de V.

Pourquoi justement, si [tex]\varphi[/tex] est à support compact alors [tex]1- \varphi[/tex] n'est pas à support compact?

Yassine · 19-10-2016 08:14:55

Bonjour,
Soit $\varphi$ à support compact, donc $\exists R > 0$ tel que $supp(\varphi) \subset [-R, R]$.
Je note $V = \left(supp(\varphi)\right)^c = ]-\infty, -R[ \cup ]R, +\infty[$ le complémentaire du support.
Par définition du support, $\forall x \in V$, $\varphi(x) = 0$. et donc $\forall x \in V, 1-\varphi(x) \neq 0$. Donc $V \subset supp(1-\varphi)$. On en déduit que $supp(1-\varphi)$ n'est pas borné (car $V$ est non borné) et ne peut donc pas être un compact (les compacts de $\mathbb{R}$ sont les fermés bornés).

tina · 23-10-2016 21:05:19

Bonsoir,
je pense qu'il y a une erreur. Puisque [tex]\theta \in \mathcal{D}(V)[/tex] alors on a justement pas [tex]\forall x \in V, \varphi(x)=0[/tex].
Je pense qu'on a [tex]C V \subset Supp \varphi [/tex], mais après je ne sais pas pourquoi il n'est pas borné

Dernière modification par tina (23-10-2016 21:08:43)

Yassine · 24-10-2016 08:01:16

Bonjour Tina,
Je suis un peu perdu. Est-ce que ta notation de $\theta$ et $\varphi$ fait référence au post #15 (il ne contient pas de définition de $\varphi$) ?
Pourrais-tu refaire un recap de ce qui te pose encore problème ?

tina · 24-10-2016 12:08:33

Pardon. Tout est dans mon post 15, je voulais dire [tex]\psi_0[/tex] pas [tex]\theta.[/tex] Je viens de corriger mon post 19.
Il faut dire pourquoi [tex]\psi_0[/tex] n'est pas une fonction test, ça veit dire que son support n'est pas fermé borné et je ne comprend pas pourquoi.

Yassine · 24-10-2016 13:12:00

Il faut reprendre les définitions :
$\rm{supp}(\psi_0) = \overline {\{ x \in \mathbb{R}, \psi_0(x) \neq 0 \}} = \overline{V^c} = \overline{\left(\cup_{i=1}^n K'_i\right)^c}$
Soit encore $\rm{supp}(\psi_0)= \overline{\cap_{i=1}^n (K'_i)^c}$

Par ailleurs, pour tout $i$, $K'_i$ est un compact. Donc $\exists R_n > 0$ tel que $K'_i \subset [-R_n,R_n]$. Je note $\displaystyle R=\sup_{i}R_i$, on a alors $\displaystyle \forall i, K'_i \subset [-R, R]$ et donc $\displaystyle \forall i, \left([-R, R]\right)^c \subset (K'_i)^c$,
soit encore $\displaystyle \left([-R, R]\right)^c \subset \cap_{i=1}^n (K'_i)^c \subset \overline{\cap_{i=1}^n (K'_i)^c}$ (Si un ensemble $A$ est inclut dans chaque ensemble d'une famille $(B_i)$ alors il est inclut dans $\cap_i B_i$).

Finalement, on a $\displaystyle \left([-R, R]\right)^c = ]-\infty,-R[\cup]R,+\infty[ \subset \rm{supp}(\psi_0)$, ce qui montre que $\displaystyle \rm{supp}(\psi_0)$ est non borné.

tina · 28-10-2016 12:50:40

Bonjour,
ce raisonnement est dans [tex]\mathbb{R}[/tex], mais nous on est dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Comment on fait le raisonnement dans ce cas?

Yassine · 28-10-2016 17:14:23

Bonjour,
Le raisonnement est essentiellement le même. Un compact dans $\mathbb{R}^N$ sera inclut dans une boule fermée $\overline{B(0,R)}$. Tu arriveras à montrer que le complémentaire de cette boule est inclut dans le support de $\psi_0$, qui ne peut donc être borné.

Dernière modification par Yassine (28-10-2016 17:15:48)

tina · 28-10-2016 20:03:51

et c'est quoi le complémentaire de la boule? S'il vous plaît

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Convergence dans D

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