Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lekoue

Membre

Inscription : 21-09-2016

Messages : 30

géométrie différentielle - variété différentielle

bonjour tout le monde je bloc sur cet exercice.
En effet on demande de montrer que [tex]M = \{ (x,y)\in \mathbb{R^2}, 0<x<1, y =\sin\frac{1}{x} \}[/tex] est une sous variété de [tex]\mathbb{R^2}[/tex] de dimension 1.

MON APPROCHE:
je défini une application [tex]f:\mathbb{R^2} \to \mathbb{R} , f(x,y) = y- \sin\frac{1}{x},  0<x<1[/tex] et je montre que c'est une submersion et que [tex]M = f^-1(\{0\})[/tex] et l'ouvert [tex]U =\mathbb{R^2}[/tex];donc [tex]M [/tex]est une sous variété de [tex]\mathbb{R^2}[/tex] de dimension [tex]2-1=1[/tex] mais seulement on me démande de vérifier si l'adhérence de [tex] M [/tex]est une sous-variété de [tex]\mathbb{R^2}[/tex].
Question:  comment déterminer l'adherence de M?

Dernière modification par lekoue (20-10-2016 13:45:47)

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : géométrie différentielle - variété différentielle

Bonsoir,
Je ne suis pas un grand expert de GD mais je peux te donner une intuition.
Si tu prends la fonction $g(x)=sin(\frac{1}{x})$, ta variété est égale au graphe de cette fonction pour $x \in (0,1)$ (intervalle ouvert).
Si tu prends un point quelconque $0 < x_0 < 1$, tu peux trouver un compact $K \subset (0,1)$ qui contient $x_0$. L'image de ce compact $g(K)$ est un compact ($g$ est continue). Donc, la portion $M \cap K \times g(K)$ contient tous ses points d'adhérence.
Il faut donc chercher autour de $0$ et $1$ (on ne peut pas trouver de compact contenant $0$ ou $1$ et inclut dans $(0,1)$ )
Pour le cas $0$, $g(x)$ oscille quand $x \to 0$, il n'y a donc pas de limite pour $(x,g(x))$, et donc pas de point d'adhérence à vérifier.
Par contre, pour $1$, le point $(1, sin(1))$ est un point d'adhérence de $M$ : prends par exemple la suite $(1-\frac{1}{n}, sin(\frac{n}{n-1})) \in M$, elle converge vers $(1, sin(1)) \notin M$.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : géométrie différentielle - variété différentielle

Pour compléter la réponse de Yassine, tu peux aussi consulter cet exercice.

F.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : géométrie différentielle - variété différentielle

Je me suis un peu planté pour la partie $x \to 0$, il y a en effet une infinité de point d'adhérence.

Soit $a \in [-1,1]$. Je prends la suite $\displaystyle x_n = \frac{1}{\arcsin(a)+2(n+1)\pi}$, alors la suite de points $\displaystyle (x_n, sin(\frac{1}{x_n}) \to (0,a)$, donc le point $(0,a)$ est un point d'adhérence de $M$. Donc $\bar{M} = M \cup ({0}\times [-1,1]) \cup \{(1,sin(1))\}$.

Je ne pense pas que ce soit une variété (examiner le point $(0,0)$).

--EDIT--
Fred, le lien ne marche pas (il pointe sur localhost : ça doit être l'instance locale sur ton PC du forum !)

Dernière modification par Yassine (20-10-2016 19:17:14)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : géométrie différentielle - variété différentielle

Merci Yassine. J'ai corrigé le lien.

lekoue

Membre

Inscription : 21-09-2016

Messages : 30

Re : géométrie différentielle - variété différentielle

bonjour yassine et fred et merci pour votre reaction. d'emblé ce resultat montre que l'adhérence de [tex]M[/tex] n'est pas localement une sous-variété en [tex](0,0)[/tex] mais si on exclu ce point on peut être que sur que le graphe de ce domaine est une courbe lisse; donc une sous-variété de [tex]\mathbb{R²}[/tex] de [tex]dim = 1[/tex].

Dernière modification par lekoue (25-10-2016 13:41:34)