convergence dans D

tina · 19-10-2016 12:30:25

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant.
Soit [tex]\varphi \in \mathcal {D}(\mathbb{R})[/tex], et soit [tex]n \in \mathbb{N}^\star[/tex]. On pose
[tex]
\varphi_n(x)= n [\varphi(x+\dfrac{1}{n} - \varphi(x)].
[/tex]
1. Montrer que [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*: \varphi_n \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex].
2. Montrer que [tex](\varphi_n)[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] vers une fonction [tex]\varphi[/tex] à determiner.

Pour la question 1. Je ne sais pas comment trouver le support dans ce cas.
Pour la question 2. On commence par étudier la convergence simple. Soit [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] fixé. On a
[tex]\lim_{n \to +\infty} \varphi_n(x)= \lim_{n \to +\infty} (n [\varphi(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi(x)]) =0[/tex]

Donc si la suite converge dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], elle va converger vers 0.
On a
[tex]sup_{x \in K} |D^\alpha \varphi_n(x) - D^\alpha \varphi(x)| = sup_{x \in K} |n D^\alpha \varphi(x+\dfrac{1}{n}|[/tex] et là je bloque complétement parce que je trouve que ça va tendre vers [tex]+\infty[/tex].
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Yassine · 19-10-2016 13:56:11

Bonjour,
Pour la question 1, il faut penser au fait que pour $x$ assez grand (en valeur absolue), $\varphi(x+1/n)=\varphi(x) = 0$ (car $\varphi$ est à support compact).
Pour la question 2, ce n'est par bon. Essaie de remplacer $1/n$ par $\varepsilon$ et de chercher la limite quand $\varepsilon \to 0$, ça devrait te rappeler quelque chose de plus familier.

tina · 20-10-2016 11:50:45

Pour le 1. Si on avait [tex]\varphi_n(x)= n [\varphi(x+n) - \varphi(x)][/tex], comment on trouve le support de [tex]\varphi_n[/tex]?

Pour le 2. On commence par étudier la convergence simple de [tex](\varphi_n).[/tex] Soit [tex]x[/tex] fixé dans [tex]\mathbb{R}[/tex]. On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \varphi_n(x)= \lim_{n \to +\infty} n [\varphi(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi(x)]
[/tex]
On pose [tex]\epsilon = \dfrac{1}{n}[/tex]. Alors
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \varphi_n(x)= \lim_{\epsilon \to 0} \dfrac{\varphi(x+\epsilon) - \varphi(x)}{\epsilon}= \varphi'(0).
[/tex]
Donc [tex]\varphi_n[/tex] converge simplement vers [tex]\varphi'(0)[/tex] quand [tex]n \to +\infty.[/tex] Ce qui veut dire que si [tex](\varphi_n)[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], elle convergera vers [tex]\varphi'(0).[/tex]
On a:
1. [tex]Supp \varphi_n = Supp \varphi[/tex]

M question est: est ce que le support de [tex]\varphi'(0)[/tex] est inclus dans le support de [tex]\varphi[/tex]? Afin d'avoir la deuxième condition de la convergence dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex].

Je vous remercie pour votre aide.

Yassine · 20-10-2016 13:42:50

(J'ai l'impression que tu as changé l'expression de $\varphi_n(x)$. Je reste sur l'expression initiale qui me parait correcte).

Pour le 1 : $\varphi$ est à support compact, donc, il existe $R > 0$ tel que $supp(\varphi) \subset K:=[-R,R]$.
$\forall x \in K^c, \varphi(x) = 0$ (où $K^c$ est le complémentaire de $K$).
Pour $n$ donné, je considère l'intervalle $K_n=[-R-\frac{1}{n},R]$. On a alors les deux propriétés suivantes :
$K \subset K_n$ et donc $K_n^c \subset K^c$.
$\forall x, x\in K_n^c \Rightarrow x + \frac{1}{n} \in K^c$ (je laisse montrer pourquoi)

Donc au total, si $x \in K_n^c$, alors $x \in K^c$ et $x + \frac{1}{n} \in K^c$ et donc $\varphi(x)=\varphi(x+ \frac{1}{n})=0$ et donc $\varphi_n(x)=0$.
Ce qui montre que $supp(\varphi_n) \subset K_n$.

Pour la question 2 : Ce n'est pas bon.
Si au lieu d'écrire $\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \dfrac{\varphi(x+\epsilon) - \varphi(x)}{\epsilon}$, je fais les changements de variables suivants :
$y_0 = x$
$y = y_0 + \varepsilon$ (donc $\lim_{\epsilon \to 0}$ peut être remplacé par $\lim_{y \to y_0}$.
L'expression devient :
$\displaystyle \lim_{y \to y_0} \dfrac{\varphi(y) - \varphi(y_0)}{y-y_0}$.
Qu'est-ce que ça t'inspire cette fois-ci ?

P.S. En général quand une fonction est constante (cf ton résultat erroné $\varphi'(0)$), son support est soit l'ensemble vide (si la constante est nulle) soit $\mathbb{R}$ tout entier).

tina · 20-10-2016 21:58:27

1. Fred a dit qu'on utilise le fait que le support soit inclus dans un intervalle [tex][-R,R][/tex] seulement dans les calculs. Je suis un peu perdue sur ce point. Pourquoi vous supposé cette inclusion? Et si le support est une réunion de deux compact? Cette inclusion n'est plus possile dans ce cas.

2. Je ne comprend pas pourquoi vous faite ce changement de variables, puisqu'on a directement que
[tex]
\lim_{\epsilon \to 0} \dfrac{\varphi(x+\epsilon) - \varphi(x)}{\epsilon}= \varphi'(x).
[/tex]
Non?
Dans ce cas s'il vous plaît, que dire du support de [tex]\varphi'(x)[/tex]?
Je vous remercie par avance.

Yassine · 21-10-2016 08:05:21

Bonjour,
Par définition, une partie $B$ de $\mathbb{R}$ est dite bornée si $\exists M > 0 \forall x \in B, |x| \le M$, ce qui est équivalent à dire que $\exists M > 0, B \subset [-M,M]$. Un compact étant en particulier borné vérifie également ça.
Ce que Fred voulait souligner, c'est le danger de penser que les compacts sont des intervalles fermés : $\{1,2\} \subset [1,2]$ mais $\{1,2\} \neq [1,2]$ !
Tu as donc toujours le droit (et pas uniquement pour faire des calculs), si on te donne un compact $K$, d'affirmer que $K \subset [-R,R]$ pour un certain $R$, mais il faut faire attention à ne pas supposer sans le vouloir l'égalité qui est fausse en général.

Pour le point 2, j'ai changé de variables parce que je pensais que tu ne voyais pas la définition de la dérivée de $\varphi$ avec la notation $\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \dfrac{\varphi(x+\epsilon) - \varphi(x)}{\epsilon}$ (tu as dis que c'était égal à $\varphi'(0)$ au lieu de $\varphi'(x)$).

Je te laisse faire un effort pour le support de $\varphi'$ (pense au fait que $\varphi$ est à support compact).

tina · 21-10-2016 10:43:18

Je pense qu'on a [tex]Supp \varphi' \subset Supp \varphi[/tex], car les points où [tex]\varphi'[/tex] n'est pas nulle sont les même que ceux où [tex]\varphi[/tex] s'annulle, sauf les points où [tex]\varphi[/tex] est constante, dans ce cas là la dérivée est nulle et donc ces points ne sont pas dans le support de [tex]\varphi'[/tex], d'où l'inclusion stricte. Qu'en pensez vous?

Yassine · 21-10-2016 11:26:38

Ta supposition est correcte.

tina a écrit :

car les points où $\varphi'$ n'est pas nulle sont les même que ceux où $\varphi$ s’annulle, sauf les points où $\varphi$ est constante

C'est une phrase un peu alambiquée. La première partie est fausse : "les points où $\varphi'$ n'est pas nulle sont les même que ceux où $\varphi$ s'annule". Le "sauf" vient enlever tous les points dont on parle ($\varphi$ elle constante aux endroits où elle s'annule)
Le fait que $\varphi'$ soit nulle n'est pas lié à la valeur de $\varphi$ mais aux variations de $\varphi$. Il se trouve que si $\varphi$ est nulle sur un ouvert de $\mathbb{R}$, alors en particulier, elle est constante cet ouvert, et donc sa dérivée est nulle (indépendamment de la valeur de la constante).

L'inclusion n'est pas forcément stricte.
Elle l'est dans le cas de la fonction plateau ($\varphi$ vaut $1$ sur un sous-ensemble de son support, et donc sa dérivée va être nulle sur cette partie également).
Pour l'exemple classique $\displaystyle \phi(x)= exp\left(-\frac{1}{(1-x)^2}\right)$, les supports sont égaux.

tina · 30-11-2016 12:10:40

Bonjour,
je reviens à ce problème.
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}[/tex], et pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex] on définit la suite
[tex]\varphi_n(x)= n [\varphi(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi(x)][/tex].
La question est de montrer que [tex]\varphi_n[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}[/tex].
La limite simple est [tex]\varphi'(x).[/tex]

1. Si on dit que [tex]Supp \varphi_n[/tex] est inclus dans un compact [tex][-R,R][/tex], que dire de [tex]Supp \varphi[/tex]?

2. Pour la convergence uniforme des dérivées, on dit: soit [tex]\alpha \in \mathbb{N}[/tex]. On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} |D^\alpha \varphi_n(x)- D^\alpha \varphi(x)| = \lim_{n \to +\infty} |n^\alpha [D^\alpha \varphi(x+\dfrac{1}{n}) - D^\alpha \varphi(x)] - D^{\alpha+1} \varphi(x)|
[/tex]
Comment calculer cette limite?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Yassine · 30-11-2016 17:27:01

Bonjour,

Je n'ai pas compris la première question.
Normalement, on part de $\varphi$, et on construit les $\varphi_n$. Donc on connait le support de $\varphi$ et on souhaite avoir une "majoration" du support de $\varphi_n$.
Donc, si $R$ est tel que $supp(\varphi) \subset [-R,R]$, alors, $\forall n > 0, supp(\varphi_n) \subset [-(R+1),(R+1)]$.

Pour la question 2, comment as-tu calculé $D^\alpha\left(n [\varphi(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi(x)]\right)$ ?
Plus exactement, d'où sort $n^\alpha$ ?

Dernière modification par Yassine (30-11-2016 17:27:37)

tina · 30-11-2016 20:30:32

Pour la question 1, j'ai fait une erreur de frappe. Je veux dire: qui est le support de [tex]\varphi'[/tex] (la dérivée de [tex]\varphi[/tex])?

Pour la question 2. On a:
[tex]
D^\alpha (n [\varphi(x+\dfrac{1}{n})-\varphi(x)]) = n D^\alpha \varphi(x+\dfrac{1}{n}) - n D^\alpha \varphi(x).
[/tex]
Mais,
[tex]
D^\alpha (n \varphi(x+\dfrac{1}{n}))= n (x+\dfrac{1}{n})^{(\alpha)} D^\alpha \varphi(x+\dfrac{1}{n}) = 0, \forall \alpha >1
[/tex]
Ainsi,
[tex]
\lim_{n \to +\infty} |D^\alpha \varphi_n(x)- D^\alpha \varphi(x)| = \lim_{n \to +\infty} |-n D^\alpha \varphi(x) - D^{\alpha+1} \varphi(x)|.
[/tex]
Ça m'a l'air faux, mais je n'arrive pas à determiner l'erreur.

Yassine · 30-11-2016 21:35:25

Pour la question 1, tu devrais pouvoir trouver le support avec l'assertion : si $\varphi$ est nulle au voisinage de $x$, alors $\varphi'(x) = 0$.

Pour le reste, c'est en effet archi-faux !

Je prends $\alpha=1$, ce que tu as écris c'est $\displaystyle \left(n \varphi(x+\dfrac{1}{n})\right)'= n (x+\dfrac{1}{n}) \varphi'(x+\dfrac{1}{n})$ !!!
Ici, on doit trouver la dérivé d'une composition de fonction $(f \circ g)^{(\alpha)}$. Dans le cas général, cette formule est très compliquée, mais ici, on est sauvé car $g' = 1$. Donc $(f \circ g)'=g'f' \circ g=f' \circ g$ et donc $(f \circ g)^{(\alpha)} = f^{(\alpha)} \circ g$

tina · 30-11-2016 23:39:05

Je ne comprends pas.
On cherche d'abord à calculer
[tex]
D^\alpha (n [\varphi(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi(x)])= n D^\alpha \varphi(x+\dfrac{1}{n}) - n D^\alpha (\varphi(x)).
[/tex]
Maintenant, pour [tex]\alpha=1[/tex], on a:
[tex]
D(n [\varphi(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi(x)])= n[\varphi'(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi'(x)].
[/tex]
Mais dans le cas général [tex]\alpha >1[/tex], pourquoi [tex]g^{(\alpha)}=1[/tex]? et qu'est ce que vous notez g?
Merci pour votre aide.

Yassine · 01-12-2016 09:46:42

Bonjour,
Plusieurs points :
1- J'ai mal lu ta formule. Elle reste fausse, mais moins fausse que je ne pensais (j'avais lu $\alpha$ au lieu de $(\alpha)$). Elle est juste pour le cas $\alpha=1$ et fausse au delà.
2- Je n'ai pas écrit que $g^{(\alpha)}=1$, j'ai écrit que $g'=1$.
3- Je pense que ton erreur vient du fait que tu dois appliquer une fausse formule pour la dérivée multiple d'une composition de fonctions, à savoir que $(f \circ g)^{(\alpha)} = g^{(\alpha)}f^{(\alpha)}\circ g$. Cette formule est fausse, il suffit de l'appliquer avec $g$ égale à l'identité pour arriver la conclusion que toues les fonctions dérivables deux fois son linéaires !
Comme je l'ai dit, la formule générale de $(f \circ g)^{(\alpha)}$ est très compliquée et je ne me souviens pas l'avoir utilisée uns seule fois !
Par contre, si $g'=1$ (translations), le calcul devient simple. Je détaille la récurrence parce j'ai l'impression que tu n'as pas bien vu ce que je voulais dire :
$(f \circ g)' = g'(f' \circ g) = (f' \circ g)$ car $g'=1$
On suppose $(f \circ g)^{(n)}=(f^{(n)} \circ g)$,
alors $(f \circ g)^{(n+1)}=\left( (f \circ g)^{(n)}\right)'= (f^{(n)} \circ g)'=g'(f^{(n+1)} \circ g)=(f^{(n+1)} \circ g)$.

tina · 01-12-2016 12:14:46

Bonjour,
d'accord, alors la rège générale est que si [tex]g'=1[/tex], alors [tex]\forall \alpha \in \mathbb{N}, (f \circ g)^{(\alpha)}= f^{(\alpha}) \circ g.[/tex]
Ainsi,
[tex]
D^\alpha \varphi_n(x)= D^\alpha (n [\varphi(x+\dfrac{1}{n})-\varphi(x)]) = n \varphi^{(\alpha)}(x+\dfrac{1}{n}) - n \varphi^{(\alpha)}(x).
[/tex]
Ici, [tex]g(x)= x + \dfrac{1}{n}.[/tex]

Alors,
[tex]
\lim_{n \to +\infty} |D^\alpha \varphi_n(x) - D^\alpha \varphi'(x)| = \lim_{n \to +\infty} |n \varphi^{(\alpha)}(x+\dfrac{1}{n}) - n \varphi^{(\alpha)}(x) - \varphi^{(\alpha+1)}(x)|
[/tex]
L'autre problème est comment calculer cette limite? S'il vous plaît.

Yassine · 01-12-2016 12:27:02

Si tu écris $\psi = \varphi^{(\alpha)}$ dans ce que tu cherches à calculer, ça donne
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} |n \left(\psi(x+\dfrac{1}{n}) - \psi(x)\right) - \psi'(x)|$

Soit encore, en posant $\varepsilon=\dfrac{1}{n}$ :
$\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0} |\dfrac{\psi(x+\varepsilon) - \psi(x)}{\varepsilon} - \psi'(x)|$

J'imagine que tu connais le résultat ?

Dernière modification par Yassine (01-12-2016 12:29:09)

tina · 01-12-2016 13:58:08

oui, c'est [tex]|\psi'(x) - \psi'(x)|=0[/tex], donc [tex]\varphi_n[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}[/tex] vers [tex]\varphi '[/tex].

Pour la question 1 sur le support de [tex]\varphi'[/tex]: si [tex]\varphi[/tex] est nulle au voisinage de x, alors [tex]\varphi'[/tex] est aussi nulle au voisinage de x, ce qui veut dire que le support de [tex]\varphi'[/tex] est inclus dans le support de [tex]\varphi[/tex]. Mais d'un autre côté, il y a des points où la dérivée est nulle mais la fonction n'est pas nulle, donc le support de la dérivée me parraît plus large que celui de la fonction. Non?

Yassine · 01-12-2016 14:25:12

Attention, pour la convergence dans $\displaystyle \mathcal{D}$, il faut montrer la convergence uniforme.
Tu as montré uniquement la convergence simple.

Pour la question 1, tu fais la confusion entre le support et le complémentaire du support.
Il faut se rappeler des deux règles simples suivantes
Le support est la clôture topologique des points où la fonction est non nulle, le complémentaire du support est l'ensemble des points où la fonction s'annule sur tout un voisinage du point.
$A \subset B \Leftrightarrow B^c \subset A^c$ ($A^c$ pour le complémentaire de $A$).

En général, il est facile de travailler avec le complémentaire du support car on a alors la propriété suivante :
$\forall x \in \left(supp(f)\right)^c, \exists \mathcal{O}\ni x, f(\mathcal{O})=\{0\}$ où $\mathcal{O}$ est un ouvert contenant $x$
Alors que pour le support, on a l'implication suivante un peu plus difficile à manier
$\forall x \in supp(f), \exists (x_n)_{n \in \mathbb{N}}, x_n \to x \textrm{ et } f(x_n)\neq0$

Donc, quand tu dis qu'il y a des points où la dérivé est nulle (sur un voisinage) et la fonction non nulle (elle serait constante, avec une constante non nulle), ça veut dire que le complémentaire du support de la dérivée est plus grand que le complémentaire du support de la fonction.

tina · 01-12-2016 17:41:28

Je ne comprend pas, qu'est ce qu'il reste à montrer pour la convergence dans [tex]\mathcal{D}[/tex]?

Yassine · 01-12-2016 18:32:35

Il me semble que tu connais la différence entre convergence simple et convergence uniforme, non ?

Ce que tu as montré, c'est que
Il y a un compact commun $K$ qui contient tous les supports $\varphi_n$
$\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to +\infty} |D^\alpha \varphi_n(x) - D^\alpha \varphi'(x)| = 0$
ça, c'est la convergence simple. Pour un $x$ quelconque fixé, $D^\alpha \varphi_n(x) \to D^\alpha \varphi'(x)$.

Pour la convergence uniforme, Il faut montrer que
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sup_{x\in \mathbb{R}}|D^\alpha \varphi_n(x) - D^\alpha \varphi'(x)| = 0$

tina · 01-12-2016 18:57:17

Ah! Oui, oui c'est vrai. Mais quel est [tex]sup_{x \in \mathbb{R}| |D^\alpha \varrphi_n - D^{\alpha+1} \varphi|[/tex]? Il me semble que c'est 0. Non?

Yassine · 01-12-2016 20:49:52

Attention $\displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}|f(x)|$ est une norme, donc si $\|f\|_{\infty}=0$, alors $f=0$.

tina · 01-12-2016 22:16:28

S'il vous plaît, comment calculer
[tex]
\sup_{x \in K} |D^\alpha \varphi_n(x) - D^\alpha \varphi'(x)|
[/tex]
?

Yassine · 02-12-2016 11:27:03

Bonjour,
Pose $f=D^\alpha \varphi$ pour simplifier la notation.
Tu veux donc majorer $\displaystyle \sup_{x \in K}\left| n\left(f(x+\dfrac{1}{n})-f(x)\right) - f'(x)\right|$ ou encore, en posant $\varepsilon = \dfrac{1}{n}$,
$\displaystyle \sup_{x \in K}\left|\dfrac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon} - f'(x)\right|$

Cette forme devrait te suggérer un développement limité. Tu peux donc écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour $f$ et essayer de majorer.

tina · 02-12-2016 11:53:59

Je ne comprend pas très bien comment utiliser le développement limité ici.
Taylor d'ordre 1 au voisinage de [tex]\epsilon[/tex] nous donne
[tex]
f(x)= f(\epsilon) + (x-\epsilon) \psi(x)
[/tex]
où
[tex]
\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt
[/tex]
mais comment on l'utilise?

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convergence dans D

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