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tina

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Suite de fonctions plateaux

Bonjour,
on définit une suite de fonctions plataux est la suivante:
soit U un ouvert de \mathbb{R}^n et soit K un compact de U. On appelle suite de fonctions plateaux toute suite [tex](\varphi_n)[/tex] de classe [tex]C^\infty[/tex] telle que:
1. [tex]Supp \varphi_n \subset U, \forall n[/tex]
2. [tex]\forall x: 0 \leq \varphi_n(x) \leq 1[/tex]
3. [tex]\forall x \in L: \varphi(x)=1[/tex]
Ma question est: sur quel ensemble la suite doit être nulle pour dire que c'est une suite de fonctions plateaux? S'il vous plaît.
Je vous remercie pour votre aide.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

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Re : Suite de fonctions plateaux

Bonsoir,
Je n'avais pas vu qu'on n'avait pas répondu à cette question.
L'ensemble $L$ n'est pas définit dans l'énoncé. Je vais supposer qu'il s'agit de $K$ (définit main non utilisé).
Par définition du support, une fonction doit être nulle dans le complémentaire de son support : $\left(supp(\varphi_n)\right)^c = U \setminus  supp(\varphi_n)$.

Une subtilité à retenir, le support d'une fonction est l'adhérence de l'ensemble des points où elle n'est ne s'annule pas. Par exemple, $supp(x^2)=\mathbb{R}$ et non $\mathbb{R}^*$ (même si elle est nulle en $0$).