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#1 17-10-2016 09:20:08
- tina
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fonction test
Bonjour,
j'ai l'exercice suivant. J'ai essayé de répondre à certaines questions mais je n'ai pas réussi à répondre à d'autres. Je vous remercie par avance de m'aider.
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On pose [tex]f(x)= \sum_{n \in \mathbb{Z}} \varphi(x+n).[/tex]
1. Motrer que [tex]f \in C^{\infty}(\mathbb{R})[/tex] et [tex]\forall x \in \mathbb{R}: f(x)= f(x+1)[/tex]
2. On considère la fonction
[tex]
g(x)
=
\begin{cases}
exp(\dfrac{x^2}{x^2-1}) &: |x| < 1\\
0 &; |x| \geq 1
\end{cases}
[/tex]
Montrer que [tex]g \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex]
3. On pose
[tex]
G(x)= \sum_{n \in _mathbb{Z}} g(x+n), f_0(x)= \dfrac{g(x)}{G(x)}.
[/tex]
-Montrer que [tex]\forall x \in \mathbb{R}: G(x) \neq 0[/tex], et que [tex]\sum_{n \in \mathbb{Z}} f_0(x+n)=1[/tex]
4. En utilisant la question 3, montrer que pour toute fonction [tex]f \in C^\infty(\mathbb{R})[/tex] périodique de période 1, on peut trouver [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] telle que [tex]f(x)= \sum_{n \in \mathbb{Z}} \varphi(x+n).[/tex]
Voici ce que j'ai essayé de faire.
pour la question 1. On a [tex]f \in C^\infty[/tex] car c'est une série de fonctions de classe [tex]C^\infty.[/tex]
-------Mais comment on montre que [tex]\forall x \in \mathbb{R}: f(x)= f(x+1)[/tex]?
-------Dans la question 3, je n'ai pas réussi à montrer que [tex]\forall x \in \mathbb{R}: G(x) \neq 0[/tex].
--------Je n'ai pas réussi à montrer la questio 4.
Je vous remercie par avance pour votre aide.
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#2 17-10-2016 10:21:30
- Yassine
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Re : fonction test
Bonjour Tina,
En espérant ne pas trop me tromper cette fois-ci ;-)
1.a- Ton argument n'est pas suffisant. Il faut montrer pourquoi la série converge (il faut utiliser le fait $\varphi$ est à support compact, $f$ ne serait pas définie si $\varphi = 1 $ par exemple).
1.b- il faut utiliser le fait que $\displaystyle \sum_{-\infty}^{+\infty} u_i = \sum_{-\infty}^{+\infty} u_{\sigma(i)}$ où $\sigma: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ est bijective. Dit autrement, quand l'indice $i$ parcours tout $\mathbb{Z}$, l'indice $j=\sigma(i)$ parcours également tout $\mathbb{Z}$.
2- $G(x)$ est une somme d'éléments positifs ou nuls. Pour montrer que $G(x) \neq 0$, il suffit de trouver un des éléments de la somme qui soit strictement positif. Il faut donc, pout tout $x$, trouver un $n$ tel que $g(x+n) > 0$ ...
4- Pour une fonction $f \in C^\infty$, il faut considérer la fonction $\varphi(x) = f_0(x)f(x)$ ...
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#3 17-10-2016 11:06:23
- tina
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Re : fonction test
Merci pour la réponse.
Pour le 1.a. Je ne comprend pas le lien entre la convergence de la série, [tex]f \in C^\infty[/tex] et le fait que [tex]\varphi \in \mathcal{D}.[/tex]
Pour le 1.b- On cherche un [tex]n[/tex] t.q [tex]G(x) >0[/tex], ce qui revient à chercher [tex]n[/tex] t.q [tex]g(x+n) >0[/tex], et ce cas est vrai si [tex]|x+n| <1[/tex], donc
[tex]-1 < x+n < 1[/tex] donc [tex]-1-x < n < 1-x[/tex]. À ce stade je ne trouve pas comment choisit n. J'avais pensé à une partie entière de quelque chose, mais ça ne tient pas la route. Comment choir un [tex]n[/tex]? S'il vous plaît.
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#4 17-10-2016 11:32:06
- Yassine
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Re : fonction test
Pour la 1a. $f$ est définie via une somme infinie. Il faut montrer pourquoi cette somme est bien définie. L'argument va être de dire qu'en réalité, pour $x$ donné, vue que $\varphi$ est à support compact, la somme ne contient qu'un nombre fini de termes non nuls.
Pour 2. La partie entière est une bonne idée. Que peut-on dire de $x - \lfloor x \rfloor$ ?
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#5 17-10-2016 11:46:23
- tina
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Re : fonction test
Pou 1.a. Pourquoi est ce qu'il faut que la série soit finie pour dire qu'elle est de classe [tex]C^\infty?[/tex]
Pour 1.b enfait on dit ceci: on cherche [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex] t.q [tex]|x+n| < 1[/tex], et si on prend [tex]n=x-[x][/tex], alors
[tex]|x+n|= |2x - [x]| >1[/tex], donc ce choix n'est pas bon. Par contre, si on prend [tex]n= 2x- [x][/tex], on aura [tex]|x+n| = |x-[x]| < 1[/tex], donc c'est bon.
Est-ce qu'il y a un autre choix possible? S'il vous plaît.
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#6 17-10-2016 12:59:17
- Yassine
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Re : fonction test
1a. Je n'ai pas dit qu'il faut que la série soit finie pour qu'elle soit de classe $C^\infty$.
Si on prend une fonction $\psi \in C^\infty$, la somme $\sum_{n \in \mathbb{Z}} \psi(x+n)$ n'a pas toujours un sens. Donc, avant même de regarder si elle est $C^\infty$, il faut d'abord s'assurer qu'elle est bien définie. Exemple 1 : $\psi(x)=x$, la somme diverge. Exemple 2 : $\psi(x) = e^{-x^2}$, la somme converge.
Dans le contexte de l'exercice, le fait que la fonction $\varphi(x)$ soit à support compact nous donne une condition suffisante (et non nécessaire) pour que la somme soit définie : l'ensemble $\{ n \in \mathbb{Z} \ | \ \varphi(x+n) \neq 0\}$ est fini.
2. Non, il ne faut pas prendre $n = 2x - [x]$, ce nombre n'est en général pas un entier relatif.
Il faut prendre $n = -[x]$ et on a $0 \le x - [x] < 1$.
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#9 17-10-2016 20:57:20
- Fred
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Re : fonction test
Je pense que tu peux y arriver seul. $f_0=g/G$ est un quotient de deux fonctions :
* comment prouves-tu qu'un quotient de deux fonctions est $C^\infty$???
* tu t'intéresses ensuite au support de $f_0$, c'est-à-dire aux points où $f_0$ ne s'annule pas. A quelle condition sur $g$ et/ou $G$ la fonction $f_0$ s'annule-t-elle?
F.
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#13 18-10-2016 22:20:18
- tina
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Re : fonction test
Est-ce qu'il y a un exemple s'il vous plaît qui montre que les fonctions testes doivent être définies sur un ouvert non vide? Pourquoi il faut impérativement que ce soit un ouvert?
Merci par avance pour votre aide.
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#14 19-10-2016 08:50:46
- Yassine
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Re : fonction test
Bonjour,
Dans la définition des distributions, on part d'un ouvert non vide $\Omega$ de $\mathbb{R}^N$ et on définit l'espace vectoriel des fonctions test $\mathcal{D}(\Omega)$ comme l'ensemble $C^\infty_c(\Omega)$ des fonctions définies sur $\Omega$, indéfiniment dérivables et à support compact inclut dans $\Omega$.
Si la question est pourquoi pour la définition des distribution, on choisit un ouvert, je dirais que comme on va s'intéresser à des questions topologiques (continuité, convergence, etc), il me semble naturel de choisir un ouvert (je ne vois pas trop ce que ça donnerait si on prenait $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$ comme cadre).
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#15 19-10-2016 09:11:50
- tina
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Re : fonction test
J'ai lu quelque part qu'il fallait que la fonction test s'annule bien avance d'arriver à la frontière de [tex]\Omega[/tex], et que si [tex]\Omega[/tex] était compact par exemple, la frontière de [tex]\Omega[/tex] va coincider avec celle du support et ce n'est pas bon. Je ne comprend pas pourquoi cela n'est pas bon.
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#16 19-10-2016 09:46:59
- Yassine
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Re : fonction test
Je vais tenter d'illustrer le point en prenant un exemple particulier simple.
On considère l'ouvert $\Omega = ]-1,1[$ , et je considère une fonction $\varphi$ dont le support est un intervalle fermé non vide $[a,b]$. Comme on exige que le support compact est dans $\Omega$, on a alors $[a,b] \subset ]-1,1[$, et donc forcément $-1 < a < b < 1$. L'intervalle $]-1,a[$ est donc non vide et d'intersection vide avec le support de $\varphi$.
Donc $\forall x \in ]-1,a[, \varphi(x) = 0$.
C'est ce qu'a voulu dire la personne dont tu cites un passage, la fonction s'annule à partir de $a$ (non inclu), bien avant d'arriver à la frontière de $\Omega$ qui est $-1$ dans ce cas.
C'est ce cas qui se généralise pour un support compact quelconque. Intuitivement, si un compact est inclut dans un ouvert, "il reste forcément de la marge" entre la frontière du compact et le bord de l'ouvert (ça vient du fait que le compact est fermé).
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#18 19-10-2016 13:58:56
- Yassine
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Re : fonction test
Dans ce cas, la continuité et différentiabilité en $-1$ et $1$ ne serait pas bien définie (il faudrait parler de continue et dérivable à droite ou à gauche. Et en dimension supérieur à $1$, ce n'est plus jouable).
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#20 19-10-2016 15:43:35
- Yassine
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Re : fonction test
La question portait sur $\Omega$ qui est l'ensemble de départ sur lequel on va définir des fonctions test, des fonctions localement intégrables et des distribution et on exige seulement qu'il soit ouvert, pas forcément borné (on prend d'ailleurs souvent $\Omega = \mathbb{R}$.
Les fonctions tests, avant d'être à support compact, sont $C^\infty$ sur $\Omega$. Elle doivent donc être indéfiniment dérivables sur n'importe quel point de $\Omega$.
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