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tina

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ordre d'une distribution

Bonjour,
je ne comprend pas bien la notion de l'ordre d'une distribution.
Quand on trouve que
[tex]|\langle T,\varphi \rangle| \leq C sup_{x \in K} |D^{\alpha} \varphi|[/tex]
après on déduit que
[tex]|\langle T,\varphi \rangle| \leq C P_{K,m}(\varphi)[/tex]
comment on choisit ce [tex]m[/tex] par rapport à [tex]\alpha[/tex]? Et comment est définir [tex]P_{K,m}(\varphi)[/tex] de manière simple?
Merci beaucoup.

Fred

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Re : ordre d'une distribution

Bonjour,

  Si tu ne nous dis pas ce qu'est $P_{K,m}(\varphi)$, cela va être difficile de t'aider....

F.

tina

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Re : ordre d'une distribution

Alors
[tex]
P_{K,m}(\varphi)= Sup_{|\alpha|\leq m, x\in K} |D^{\alpha} \varphi(x)|.
[/tex]
Avec cette définition, pouvez vous m'aider  avec la question de mon premierpost? S'il vous plait
Je vous remercie par avance.

Fred

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Re : ordre d'une distribution

Il suffit de prendre $m=|\alpha|$ non????

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Bonjour Tina,
Si on reviens à la définition d'une distribution, la condition est : Pour tout compact $K \subset \Omega$, il existe une constante $C_K$ (noter la dépendance de la constante avec le compact $K$) et $p_K \in \mathbb{N}$ (noter aussi la dépendance de $p_K$ avec le compact $K$) tels que pour toute fonction test $\varphi$ de support $K$, on ait la condition de continuité :
  $\displaystyle |\langle T,\varphi \rangle| \leq C_K \max_{|\alpha|\leq p_K} \sup_{x\in K} |D^{\alpha} \varphi(x)|.$

Si $p_K$ peut être choisi indépendamment de $K$, c'est à dire qu'il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $K \subset \Omega$ on ait $p_K \le p$. Dans ce cas, on dit que $T$ est une distribution d'ordre $\le p$ (le $\le$ vient du fait que si $p$ vérifie la condition, il en est de même de n'importe quel $q \ge p$). On appelle alors "ordre de la distribution $T$" le plus petit entier $m$ tel que $T$ soit une distribution d'ordre $\le m$. C'est ce $m$ qui est repris dans la définition de $P_{K,m}(\varphi)$.

--EDIT--
Devancé par Fred.

Dernière modification par Yassine (14-10-2016 08:37:27)

tina

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Re : ordre d'une distribution

Ce que je ne comprend pas, c'est quand on dit que [tex]P_{K,m}(\varphi)[/tex] est une suite croissante (à quoi ça sert de le savoir), et l'ordre d'une distribution est le plus petit [tex]m[/tex] qui vérifie pour tout compact L, iil existe [tex]C_L[/tex] t.q pour tout [tex]\varphi \in D_L: |\langle T,\varphi \rangle \leq C_L P_{K,m}(\varphi)[/tex]
Je ne comprend pas quand on dit que l'ordre d'une distribution est le plus petit m. il faut dire que l'ordre est inférieure ou égale à m. Non?
Merci par avance.

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Le fait qu'elle soit croissante vient de la définition : $\displaystyle p \le q \Rightarrow \max_{n \le p} f(n) \le \max_{n \le q} f(n)$. Souligner le fait que $\displaystyle P_{K,m}(\varphi)$ est croissante permet de parler de la valeur minimale de $m$.

Pour l'ordre, on a une certaine propriété qu'une distribution peut vérifier pour un entier $p$, on sait que si elle vérifie cette propriété pour un entier $p$, alors elle la vérifie aussi pout tout $q \ge p$. Par contre, elle ne la  vérifie pas en général pour $q < p$.  Il est alors naturel de s'intéresser au plus petit entier qui marque la limite. Au dessus (au sens large), la condition de continuité est assurée, en dessous (au sens strict), la condition n'est pas assurée. C'est cet entier limite qu'on appelle L'ordre de la distribution.

tina

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Re : ordre d'une distribution

Je suis un peu perdue avec les notations.
En partant de la relation
[tex]
\langle T, \varphi \rangle \leq C \sup_{|\alpha| \leq m} |D^{\alpha} \varphi(x)|
[/tex]
Après on a la notation
[tex]
P_{K,m}(\varphi)=  \sup_{|\alpha| \leq m} |D^{\alpha} \varphi(x)|.[/tex]

L'ordre d'une distribution c'est un entier [tex]p[/tex] tel que [tex]p \leq m[/tex]? ou bien c'est p tel que [tex]p \leq |\alpha|?[/tex]

Par exemple si on a
[tex]
\langle T, \varphi \rangle \leq C sup_x |\varphi'' (x)|
[/tex]
Alors comment l'écrire en utilisant la notation de [tex]P_{K,m}[/tex]? S'il vous plaît.

Je vous remercie par avance.

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Bonjour,
Si on a
$\displaystyle \langle T, \varphi \rangle \leq C \sup_{x\in K} |\varphi'' (x)|$, Ce n'est pas suffisant pour conclure, il faudrait avoir
$\displaystyle \langle T, \varphi \rangle \leq C\left[\max\left( \sup_{x\in K} |\varphi(x)|,\ \sup_{x\in K} |\varphi' (x)|,\ \sup_{x\in K} |\varphi'' (x)|\right)\right]$
Dans ce cas, avec l'introduction de $P_{K,m}$ ça s'écrit :
$\displaystyle \langle T, \varphi \rangle \leq C P_{K,2}(\varphi)$
Et on conclue alors que $T$ est une distribution d'ordre $\le 2$.

Pour montrer qu'elle est d'ordre $2$, il faut montrer que la majoration avec $P_{K,2}$ est "optimale", c'est à dire que si on utilisait uniquement $P_{K,1}$, alors ça ne marcherait pas, c'est à dire, pour n'importe quelle constante $C$, on trouverait une fonction test $\varphi$ qui violerait l'inégalité, à savoir telle que $\displaystyle \langle T, \varphi \rangle > C P_{K,1}(\varphi)$

tina

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Re : ordre d'une distribution

Je crois que je commence à comprendre. Mais dans ce cas là, quand on a
[tex]
|<T,\varphi>| \leq C sup |\varphi''(x)|
[/tex],
il faut encore écrire l'inégalité de votre post, mais qui nous dit que
[tex]
sup |\varphi''(x)| \leq \max( sup |\varphi(x)|, sup |\varphi'(x)|, sup |\varphi''(x)|)
[/tex]
?
et pourquoi l'inégalité [tex]
|<T,\varphi>| \leq C sup |\varphi''(x)|
[/tex]
ne suffit pas à donner l'odre?
Merci par avance.

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

mais qui nous dit que
[tex]
sup |\varphi''(x)| \leq \max( sup |\varphi(x)|, sup |\varphi'(x)|, sup |\varphi''(x)|)
[/tex]
?

Personne.
Il ne s'agit pas de montrer que :
$\langle T, \varphi \rangle \leq C sup |\varphi''(x)|$ et $\sup |\varphi''(x)| \leq \max( \sup |\varphi(x)|, \sup |\varphi'(x)|, \sup |\varphi''(x)|)$
mais de montrer que
$\displaystyle \langle T, \varphi \rangle \leq C\left[\max\left( \sup_{x\in K} |\varphi(x)|,\ \sup_{x\in K} |\varphi' (x)|,\ \sup_{x\in K} |\varphi'' (x)|\right)\right]$,
ce qui n'est pas la même chose (la deuxième condition est moins forte).

et pourquoi l'inégalité
[tex]
|<T,\varphi>| \leq C sup |\varphi''(x)|
[/tex]
ne suffit pas à donner l'odre?

La définition de l'ordre nécessite que le nombre $\langle T, \varphi \rangle$ soit bornée par (à une constante multiplicative près) la norme sup de toutes les dérivées de $\varphi$, jusqu'à $p$. La condition que tu donnes est plus faible.

tina

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Re : ordre d'une distribution

Mais alors, comment on passe de
[tex]
\langle T,\varphi \rangle \leq C sup_x |\varphi''(x)|
[/tex]
à
[tex]
\langle T,\varphi \rangle \leq C P_{K,2}(\varphi)
[/tex]
où [tex]P_{K,2}(\varphi)= sup_{|\alpha|\leq 2} |D^{\alpha} \varphi|[/tex]?
Je vous remercie par avance

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Mais alors, comment on passe de
[tex]
\langle T,\varphi \rangle \leq C sup_x |\varphi''(x)|
[/tex]
à
[tex]
\langle T,\varphi \rangle \leq C P_{K,2}(\varphi)
[/tex]
où [tex]P_{K,2}(\varphi)= sup_{|\alpha|\leq 2} |D^{\alpha} \varphi|[/tex]?
Je vous remercie par avance

Quand tu dis "on passe de ... à ...", qui est ce "on" ?
On ne peut pas faire ce passage.
Si on veut montrer que $X \le \max(A,B,C)$, sans autre information sur $A$, $B$ et $C$, il faut montrer les trois inégalités :  $X \le A$ et $X \le B$ et $X \le C$.

--EDIT--
J'ai raconté une bêtise. Si on veut montrer que $X \le \max(A,B,C)$, ce que j'ai proposé est trop fort, il démontre que $X \le \min(A,B,C)$. Il faut trouver $\max(A,B,C)$ et montre que $X$ est inférieur à ce nombre.

Dernière modification par Yassine (16-10-2016 07:10:00)

tina

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Re : ordre d'une distribution

Mais alors quand on montre la continuité et on arrive à l'inégalité
[tex]
\langle T,\varphi \rangle| \leq C \sup_x |\varphi''(x)|
[/tex]
comment est ce qu'on en déduit que
[tex]
\langle T,\varphi \rangle| \leq CP_{K,2}(\varphi)
[/tex]
?
pour pouvoir dire ensuite que l'ordre est [tex]\leq 2?[/tex]

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Bonsoir,
Désolé Tina, je ne suis pas sûr de bien comprendre.
Tu dis "quand on montre la continuité...", tu fais référence à quelle démonstration ?

Dans la définition d'une distribution, la condition de continuité requise est : $\displaystyle |\langle T,\varphi \rangle| \leq C_K \max_{|\alpha|\leq p_K} \sup_{x\in K} |D^{\alpha} \varphi(x)|$.
Ça ne se démontre pas, ça fait partie de la définition d'une distribution.

Si on se place dans le cas $\mathbb{R}$ pour oublier les multi-indices cette condition s'écrie :
$\displaystyle |\langle T,\varphi \rangle| \leq C_K \max_{n\leq p_K} \sup_{x\in K} | \varphi^{(n)}(x)|$.
Soit, de manière plus verbeuse :
$\displaystyle |\langle T,\varphi \rangle| \leq C_K \max\left(\sup_{x\in K} | \varphi(x)|,\ \sup_{x\in K} | \varphi'(x)|, \cdots, \sup_{x\in K} | \varphi^{(P_K)}(x)|\right)$.
L'introduction $P_{K,p_k}$ est la uniquement pour simplifier l'écriture, il n'y a aucun élément nouveau apporté par cette notation.

Ce qu'il faut noter, c'est l'ordre des quantificateurs : $\forall K, \exists p_K, \forall \varphi$ blabla
L'entier $p_K$ dépend du compact : Dis-moi quel compact et je te dirais quel entier marche pour ce compact.
Maintenant, pour certaines distributions, on peut trouver un entier $p$ qui marche pour tout les compacts. Dans ce cas, on dit que la distribution est d'ordre $\le p$.

Yassine

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Re : ordre d'une distribution

Bonjour Tina,
J'ai relu ton post et je crois que je viens de comprendre ce que tu ne comprends pas.
Ta question est :
Comment on passe de
$\displaystyle \langle T,\varphi \rangle| \leq C \sup_x |\varphi''(x)|$
à
$\displaystyle \langle T,\varphi \rangle| \leq CP_{K,2}(\varphi)$.

Ma réponse était incorrecte.

Donc, si je récris la deuxième inégalité explicitant la norme $P_{K,2}$ , cela donne :
$\displaystyle \langle T,\varphi \rangle| \leq C \max\left(\sup_x |\varphi(x)|,\ \sup_x |\varphi'(x)|,\ \sup_x |\varphi''(x)|  \right)$

Je note $\Phi_0=C \sup_x |\varphi(x)|$, $\Phi_1=C \sup_x |\varphi(x)|$ et $\Phi_2=C \sup_x |\varphi''(x)|$. Ta question devient alors :
Comment on passe de
$\displaystyle \langle T,\varphi \rangle| \leq \Phi_2$
à
$\displaystyle \langle T,\varphi \rangle| \leq \max(\Phi_0, \Phi_1, \Phi_2)$.

La réponse est simple : On a $\Phi_2 \le \max(\Phi_0, \Phi_1, \Phi_2)$, donc $x \le \Phi_2 \Rightarrow x \le \max(\Phi_0, \Phi_1, \Phi_2)$.

Désolé, je t'avais induit en erreur en disant qu'il n'y avait pas d'implication.