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#1 10-10-2016 11:53:49
- tina
- Membre
- Inscription : 27-03-2014
- Messages : 285
continuité d'une distribution
Bonjour,
si on considère une fforme linéaire positive [tex]T:\mathcal{D}(\Omega) \to \mathbb{C}[/tex], et on cherche à montrer que c'est une distribution. Il me reste à montrer que T est continue. Donc soit un compact [tex]K[/tex] et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega).[/tex]
J'ai trouvé dans un livre, la solution suivante:
ils commencent par dire qu'il existe [tex]\psi \in D(\Omega)[/tex] telle que [tex]0 \leq \psi \leq 1[/tex] avec [tex]\psi=1[/tex] au voisinage de K, et ils écrivent [tex]\varphi[/tex] sous la forme [tex]\varphi= Re \varphi + i Im \varphi[/tex], puis ils écrivent que
[tex]- Sup_{x \in K} |\varphi(x)| \leq Re \varphi \leq Sup |\varphi(x)[/tex]
puis
[tex]- \psi(x) Sup_{x \in K} |\varphi(x)| \leq Re \varphi \leq \psi(x) Sup |\varphi(x)|[/tex]
et
[tex]- \psi(x) Sup_{x \in K} |\varphi(x)| \leq Im \varphi \leq \psi(x) Sup |\varphi(x)|[/tex]
et après ils disent que
[tex]\langle T, (- \sup |\varphi(x)|) \psi \rangle \leq \langle T, Re \varphi \rangle \leq \langle T, \sup |\varphi(x)| \psi(x)\rangle[/tex]
Je n'ai absolument rien compris à cette solution, et pourquoi ils ont écris [tex]\varphi[/tex] sous cette forme.
S'il vous plaît, comment montrer la continuité de cette forme linéaire continue?
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#2 10-10-2016 13:54:39
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : continuité d'une distribution
Bonjour,
Pour simplifier, je vais t'expliquer la preuve dans le cas où $\varphi$ est une fonction réelle.
Notons $M=\|\varphi\|_\infty$. Alors il est clair que, pour tout $x\in\Omega$,
$$-M \psi(x)\leq \varphi(x) \leq M\psi(x).$$
Puisque $T$ est une forme linéaire positive, elle respecte l'ordre et donc :
$$-M\langle T,\psi\rangle \leq \langle T,\varphi\rangle\leq M\langle T,\psi\rangle.$$
En notant $K=\langle T,\psi\rangle$, on a donc
$$|\langle T,\varphi\rangle |\leq K \|\varphi\|_\infty$$
ce qui te montrer que $T$ est bien une distribution (d'ordre 0).
Dans le cas général, on ne peut plus directement utiliser cette inégalité et il faut séparer les parties réelles et les parties imaginaires de la fonction $\varphi$.
F.
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#4 10-10-2016 20:31:14
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : continuité d'une distribution
La seule chose qu'on sait sur $T$, c'est qu'elle respecte l'ordre. Donc il faut bien encadrer $\varphi$ par quelque chose.
Pour des questions de continuité de $T$, tu dois l'encadrer par des choses qui dépendent de $\|\varphi\|_\infty$, $\|\varphi'\|_\infty$, etc...
Le choix fait est simplement le plus simple possible!
F.
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