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tina

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intégrale

Bonjour,
on un domaine $\Omega$ de [tex]\mathbb{R}^d[/tex] qui est borné, connexe, Lipschitz, de micro structure periodique. On paramétrise cette periode par un [tex]\ve[/tex] qui représente le ratio entre la taille de la cellule et la region [tex]\Omega.[/tex] On suppose que [tex]0 < \epsilon << 1[/tex]. Soit [tex]Y=(0,1)^d[/tex] la cellule de base du domaine [tex]\Omega[/tex]. On suppose que [tex]Y_m[/tex] est un ouvert "piecewise en anglais", telle que [tex]Y_m[/tex] est contenue dans [tex]y[/tex], et on reproduit [tex]Y_m[/tex] par periodicité, obtenant un ensemble ouvert periodique [tex]M[/tex] de [tex]\mathbb{R}^d[/tex]. On note [tex]F[/tex] l'ensemble periodique [tex]F= \R^d \setminus M[/tex] qui est obtenue par l'ensemble [tex]Y_f= Y \setminus Y_m[/tex]. Donc [tex]Y= Y_m \cup Y_f\cup \Gamma_{fm}[/tex] où [tex]\Gamma_{fm}[/tex] est l'interface entre [tex]Y_f[/tex] et [tex]Y_m[/tex]. Finalement, on note par [tex]\chi_f[/tex] et[tex] \chi_m[/tex] les fonctions caractéristiques des ensembles [tex]F[/tex] et [tex]M.[/tex] On pose
[tex]\Omega_m^\epsilon=\{x \in \Omega; \chi_m^\epsilon(x)=1\}[/tex] et  [tex]\Omega_f^\epsilon=\{x \in \Omega; \chi_f^\epsilon(x)=1\}.[/tex]
où [tex]\varphi[/tex] est une fonction test quelconque, et [tex]p^\epsilon_g[/tex] est une fonction de [tex](x,t)[/tex].

J'ai l'équation suivante:
[tex]\label{1}
\displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_{\Omega^\epsilon_m} \{K(x,y) \nabla p^{\epsilon}_g(x,t)\}\nabla \varphi dx dt
+\displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_{\Omega} \{\nabla p^{\epsilon}_g(x,t)\}\nabla \varphi dx dt
[/tex]
Si on pose
[tex]\widetilde{\varphi} \in H^1_0(0,T;L^2(Y_m)) \cap L^2(0,T;C^\infty_0(Y_m))[/tex]. Pour[tex] x \in \Omega[/tex] et[tex]k \in \mathbb{R}^3[/tex] on définit
$$
\varphi(x,k,t)
=
\begin{cases}
\widetilde{\varphi}(\dfrac{k-\epsilon k}{\epsilon}) \ \mbox{pour } k \in \epsilon Y_m + \epsilon k\\
0 \ \mbox{ailleurs}
\end{cases}
$$
Si dans l'équation, on prend la fonction test [tex]\psi(x,y)= \chi_{(\epsilon(Y_m+j)}(x) \varphi(x,x,t)[/tex] pour tout [tex]k \in \mathbb{Z}^3[/tex] et[tex] ve(Y_m+k) \in \Omega^\epsilon_m.[/tex] Puisque le support de [tex]\psi[/tex] est inclus dans [tex]\epsilon(Y_m + k) \times (0,T)[/tex] et les composants de [tex]\Omega^\epsilon_m[/tex] sont disjoints, le premier terme de l'équation s'écrit
$$
\displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_{\Omega^\epsilon_m} \{K(x,y) \nabla p_g\}\nabla \varphi dx dt
=
\displaystyle\int_0^T \displaystyle\int_{\epsilon (Y_m+j)} \{K(x,y) \nabla p_g^\epsilon\} \cdot \nabla \psi
$$
ma question est:
comment écrire
$$\displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_{\Omega} \{\nabla p_g\}\nabla \psi dx dt $$
?
Est-ce qu'il est possible de l'exprimer sous la forme d'une intégrale sur [tex](0,T) \times Y_m[/tex] diretement?

Ou bien, comment choisir la fonction test [tex]\psi[/tex] pour obtenir que la première équation de mon message soit équivalente à:

$$
\displaystyle\int_0^T \displaystyle\int_{Y_m} \{K(x,y) \nabla p^\epsilon_g (\epsilon(y+k),t)\} \cdot \nabla \psi dy dt
+ \displaystyle\int_0^T \displaystyle\int_{Y_m} \nabla p^\epsilon_g(y,t) \cdot \nabla \psi dy dt=0
$$
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Dernière modification par tina (13-09-2016 13:58:02)

tina

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Re : intégrale

Bonjour,
bon en fait ma première question est un peut compliquée. Pouvez vous m'aider à répondre à celle ci s'il vous plait

En sachant que [tex]k \in \mathbb{Z}^d[/tex] et [tex]0 < \epsilon << 1[/tex], et soit [tex]\psi \in H^1(0,T; L^2(Y_m)) \cap H^1(0,T;C^\infty_0(Y_m))[/tex]

est-ce qu'on a

[tex]\int_0^T \int_{Y_m} K(x,y) \nabla p^\epsilon_g \psi dx dt  \geq \int_0^T \int_{\epsilon(Y_m +k)} K(x,y) \nabla p^\epsilon_g \psi dx dt[/tex]

ou bien c'est le contraire, c'est à dire

[tex]\int_0^T \int_{Y_m} K(x,y) \nabla p^\epsilon_g \psi dx dt  \leq \int_0^T \int_{\epsilon(Y_m +k)} K(x,y) \nabla p^\epsilon_g \psi dx dt[/tex]

Merci par avance