Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tintin

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question 1

Bonjour,
Soit [tex]T \in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] et soit la suite [tex](T_j)\subset S[/tex] telle que [tex]T_j \to T[/tex] dans [tex]L^2(\mathbb{R}^n[/tex]. La question est:
1. Montrer que
[tex]\forall \varphi \in S: ||\varphi||_{L^2}=(2 \pi)^{-n/2}||\widehat{\varphi}||_{L^2}[/tex]
Voici ce que je propose. On commence par écrire le produit scalaire de [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] de [tex]S[/tex]. On a:

[tex]<F(f),F(g)>= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} F(f)(\xi) \overline{F(g)}(\xi) d\xi[/tex] (par définition du produit scalaire),

[tex]=\displaystyle\int_{\mathbb{R^n}} f(x) F(\overline{F(g)})(x) dx[/tex] (par la propriété [tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} F(f)(\xi) g(\xi) d\xi=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} f(x) F(g)(x) dx[/tex]),

Ma question est comment on continue à partir de là, et d'où sort le [tex](2 \pi)^{-n/2}[/tex] qu'il faut trouver? En plus je mélange entre x et \xi. J'ai lu des démonstrations et j'ai cherché, mais je n'arrive pas à trouver une bonne méthode propre pour faire cette démonstration. Si c'est possible de m'expliquer un peu. Merci beaucoup par avance.

Fred

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Re : question 1

Bonjour,

  Il faut appliquer ceci avec [tex]f=g=\varphi[/tex] j'imagine... puis appliquer la formule d'inversion de Fourier.
Le [tex](2\pi)^{-n/2}[/tex] va sortir de cette formule d'inversion. Il dépend de la façon dont tu as défini la transformée de Fourier, et cela peut être différent suivant les sources.

F.

tintin

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Re : question 1

Ok, j'essaye ça et je reviens.

tintin

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Re : question 1

Voici ce que je trouve. Le théorème d'inversion locale nous dit que [tex]F(F(f))(x)=f(-x)[/tex]
On a:
[tex]
<f,g>= \displaystyle\int f(x) \bar{g(x)} dx = \displaystyle\int F(F(f))(-x) \bar{g(x)} dx = \displaystyle\int (\displaystyle\int F(f) e^{ixt} dt] \bar{g}(x) dx
[/tex]
Puis par Fubini on a
[tex]
<f,g>=\displaystyle\int F(\bar{g}) F(f) dx= > F(f),F(g)>.
[/tex]
1. je n'obtient pas le [tex](2 \pi)^{-n/2}[/tex]. Que faire?
2. Autre question, pourquoi on a besoin qu'un fonction soit dans l'espace [tex]S[/tex] pour écrire sa transformée de Fourier? Je vois dans les livres que même si c'est juste [tex]L^1[/tex] ou [tex]L^2[/tex] on peut écrire sa transformée de Fourier, alors pourquoi avoir besoin de l'espace S?
Merci beaucoup.

Fred

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Re : question 1

1. C'est juste une question de définition de la transformée de Fourier. Avec la formule que tu prends, on n'a pas [tex]F(F(f))(x)=f(-x)[/tex] mais il y a un facteur [tex](2\pi)^{quelque chose}[/tex] qui apparait devant.

2. C'est pour appliquer la formule d'inversion. Tu ne sais pas si F(f) est dans [tex]L^1[/tex] si tu supposes simplement [tex]f\in L^1[/tex].
Donc il n'y a a priori pas de sens à calculer [tex]F (F(f))[/tex]. L'espace [tex]S[/tex] étant stable par la transformée de Fourier, pas de problèmes.

F.

tintin

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Re : question 1

Et pour la question 2: montrer que
[tex]
||T||_{L^2}=(2 \pi)^{-n/2} ||\widehat{T}||_{L^2}
[/tex]
pourquoi on ne peut pas appliquer la question 1 directement à T?
et est-ce qu'il y a une manière simple de répondre à cette question?
Merci  beaucoup.

Fred

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Re : question 1

C'est quasiment fait??? Tu sais que la formule est vraie pour [tex]T_j[/tex] et tu fais tendre [tex]j[/tex] vers l'infini, ce qu'il est possible de faire car la transformée de Fourier-Plancherel est continue sur [tex]L^2[/tex].

tintin

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Re : question 1

Bon alors récapitulons pour cet exercice.
1. Montrer que [tex]\forall \varphi \S: ||\varphi||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||\widehat{\varphi}||_{L^2}[/tex]
Pour ca, on commence par montrer que
[tex]
\forall f,g \in S: <f,g>_{Lç2}= (2 \pi)^{-n} <\widehat{f},\widehat{g}>_{L^2}.
[/tex]
D'après la formule d'inversion de Fourier, on a:
[tex]
f(x)=(2 \pi)^{-n} \widehat{\widehat{f}}(x)
[/tex]
Ainsi:
[tex]
<f,g>=\displaystyle\int_= f(x) \bar{g}(x) dx = (2 \pi)^{-n} \displaystyle\int \widehat{\widehat{f}}(-x) \bar{g}(x) dx
[/tex]
[tex]
= (2 \pi)^{-n} \displaystyle\int [\displaystyle\int \widehat{f}(\xi) e^{i x \xi}d \xi] \bar{g}(x) dx
[/tex]
par Fubini, on a
[tex]
= (2 \pi)^{-n}\displaystyle\int[\displaystyle\int \bar{g}(\xi) e^{i x . \xi} d\xi] \widehat{f}(x) dx
[/tex]
et là, je veux bien écrire que c'est égale à [tex](2 \pi)^{-n} <\widehat{f},\widehat{g}>[/tex] mais en faite
[tex]
\displaystyle\int \bar{g}(\xi) e^{i x . \xi} d\xi= \widehat{\bar{g}}(-x).
[/tex]
Ca ne pose pas problème?

2. Montrer que [tex]||T||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||\widehat{T}||_{L^2}[/tex]
de la question 1, on a que
[tex]||T_j||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||\widehat{T_j}||_{L^2}[/tex]
et puisque la transformée de Fourier est continue dans[tex] L^2[/tex], l'hypothèse de [tex]T_j \to T[/tex] dans [tex]L^2[/tex] implique que [tex]\widehat{T_j} \to \widehat{T}[/tex] dans [tex]L^2[/tex]
ainsi, on a l'égalité souhaitée.
On a pas besoin du fait que L^2 soit complet?

3/ En déduire que l'application [tex]T \to (2 \pi)^{-n/2} \widehat{T}[/tex] est un isomorphisme bijectif. Quels arguments donner pour ca?
Merci beaucoup.

Fred

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Re : question 1

2. Non, on n'a pas besoin que [tex]L^2[/tex] soit complet.

3. C'est difficile de répondre à cette question sans savoir ce que tu sais déjà sur la transformée de Fourier dans [tex]L^2[/tex]....
Au moins, cette égalité te dit que l'application en question est injective. Reste à savoir pourquoi elle est surjective, mais peut-être tu le sais déjà???

F.

tintin

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Re : question 1

non je ne le sais pas, c'est écrit dans le livre directement que de 1 et 2 on déduit que c'est un isomorphisme bijectif.

Fred

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Re : question 1

Je ne suis pas d'accord...cela te dit juste que c'est une isométrie. Mais bien sûr, je ne connais pas le contexte dans lequel l'exercice est posé.

tintin

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Re : question 1

l'exercice est posé dans le cadre des transformée de Fourier. Donc expliquez moi please.
Le fait que les deux normes soient égales nous dit que c'est une isométrie? C'est bien ca?
Ca ne nous dit pas que c'est une application bijective?
Et aussi, un isomorphisme c'est bien une bijection. Non?
Merci beaucoup.

tintin

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Re : question 1

Donc puisqu'il y a égalité des normes, c'est une isométrie. Mais rien ne nous dit qu'elle est bijective. C'est ok?