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tintin

Invité

Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Bonjour,
soit la fonction
$
f(x)=
\begin{cases}
0: &|x|>1\\
1: &|x| \leq 1
\end{cases}
$

Ma question est: comment on calcule la transformée de Fourier de f $F(f)$?
Voici ce que j'ai essayé:
$$\begin{eqnarray}
F(f)(\xi) &= & \int_{\mathbb{R}^n} f(x)
\exp \big( -i \langle x,\xi \rangle \big) dx \\
& = & \int_{[-1,1]^n} \exp \bigg( -i \sum_{k=1}^n
x_k \xi_k \bigg) dx_1 dx_2 \ldots dx_n =
\prod_{k=1}^n \int_{-1}^1 \exp (-i x_k \xi_k) dx_k
=\Pi_{i=1}^n \int_{-1}^1 [\cos(x_i \xi_i) - i \sin(x_i \xi_i)] dx_i
\end{eqnarray}$$
Mais comment finir? Merci beaucoup.

Fred

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Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Bonsoir,

  Je m'arrêterai d'abord ici :
[tex]\prod_{k=1}^n \int_{-1}^1 \exp (-i x_k \xi_k) dx_k[/tex]

L'intégrale est ensuite facile à calculer non??
Tu ne sais pas calculer [tex]\int_{-1}^1 \exp(a x) dx[/tex]????
Ici, c'est pareil avec [tex]a=-i \xi_k[/tex].

F.

tintin

Invité

Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

J'ai un doute sur l'intégrale. Je calcule sur [-1,1].  C'est ok? parce que là j'ai un doute. |x| <1 et  [tex]x \in \mathbb{R}^n[/tex] comment on peut l'expliquer?

Fred

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Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Effectivement, je n'avais que lu où tu t'arrêtais dans ton post. On intègre sur [-1,1] si la norme sur [tex]\mathbb R^n[/tex] est la norme infinie. Si c'est la norme euclidienne, c'est effectivement plus compliqué. Quelle est la norme?
F.

tintin

Invité

Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Ils n'ont pas précisé la norme dans l'exercice. Si c'est la norme Euclidienne, on fait comment?

Fred

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Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Si c'est la norme euclidienne (j'imagine que c'est la norme euclidienne...) c'est plus compliqué, et le résultat fait intervenir des fonctions de Bessel.

Le point de départ est de dire que, puisque la boule unité (euclidienne) est invariante par rotation, sa fonction caractéristique l'est aussi, et il en est de même de sa transformée de Fourier (faire un changement de variables....).
On a alors [tex]\hat f(\xi)=\hat f(0,\dots,0,\rho)[/tex] où [tex]\rho=\|\xi\|[/tex].

Maintenant (à normalisation de la transformée de Fourier près),

[tex]\begin{eqnarray*}
\hat f(\xi)&=&\int_{\|x\|\leq 1}e^{-ix_n\rho}dx_1\dots dx_n\\
&=&\int_{x_n=-1}^1 \int_{x_1^2+\dots+x_{n-1}^2\leq 1-x_n^2} dx_1\dots dx_{n-1} e^{-ix_n\rho} dx_n
\end{eqnarray*}
[/tex]

L'intégrale au milieu est le volume de la boule de rayon [tex]\sqrt{1-x_n^2}[/tex]. Si on note [tex]\alpha_n[/tex] le volume de la boule unité dans [tex]\mathbb R^n[/tex], alors

[tex]\hat f(x)=\alpha_{n-1} \int_{x_n=-1}^1 (1-x_n^2)^{(n-1)/2}e^{-ix_n\rho} dx_n.[/tex]

On peut poursuivre le calcul en posant [tex]x_n=\cos\theta[/tex] mais on tombera de toute façon sur une intégrale du type

[tex]\int_0^\pi \sin^n \theta e^{-ix\cos\theta}d\theta [/tex]
qu'on ne sait pas calculer explicitement. Mais on peut l'écrire à l'aide des fonctions de Bessel (sais-tu ce que c'est?).

F.

tintin

Invité

Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Merci Fred. J'ai quelques questions.
1. Que signifie la phrase: la boule unité euclidienne est invariante par rotation?
2. Pourquoi on a besoin de la propriété donné dans ma question 1.?
3. La transformée de Fourier est donnée par
[tex]
F(f)= \displaystyle\int_{||x||\leq 1} e^{-i x.\xi} d x
[/tex]
Je ne comprend pas comment on pose [tex]F(f)(\xi)= F(f)(0,0,...,||\xi||)[/tex].
4. La transformée de Fourier est donnée par
[tex]
F(f)(\xi) = \displaystyle\int_{||x||\leq 1} e^{-i x .\xi} dx
[/tex]
comment le [tex]\xi[/tex] a été remplacé par [tex]\rho[/tex]?
Merci beaucoup d'avance.

Fred

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Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Merci Fred. J'ai quelques questions.
1. Que signifie la phrase: la boule unité euclidienne est invariante par rotation?

Si tu prends une rotation [tex]u[/tex] de [tex]\mathbb R^n[/tex] (en d'autres termes, une isométrie pour la norme euclidienne classique),
alors [tex]u(B)=B[/tex]

2. Pourquoi on a besoin de la propriété donné dans ma question 1.?

Tu ne nous as jamais parlé de question 1!

3. La transformée de Fourier est donnée par
[tex]
F(f)= \displaystyle\int_{||x||\leq 1} e^{-i x.\xi} d x
[/tex]
Je ne comprend pas comment on pose [tex]F(f)(\xi)= F(f)(0,0,...,||\xi||)[/tex].

C'est-à-cause de l'invariance par rotation. Tu disposes d'une rotation [tex]u[/tex] telle que [tex]u(\xi)=(0,\dots,0,\rho)[/tex].
Tu fais alors le changement de variables [tex]x=u^*(y)[/tex] dans l'intégrale définissant [tex]F(f)(\xi)[/tex] pour obtenir l'égalité voulue.

4. La transformée de Fourier est donnée par
[tex]
F(f)(\xi) = \displaystyle\int_{||x||\leq 1} e^{-i x .\xi} dx
[/tex]
comment le [tex]\xi[/tex] a été remplacé par [tex]\rho[/tex]?
Merci beaucoup d'avance.

Je ne comprends pas ta question!

tintin

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Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Non, il n' y  a pas de question 1.
Je reprend étape par étape pour bien comprendre cette méthode, et merci beaucoup d'avance de m'aider.
1. Il faut calculer
[tex]
F(f)(x)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} e^{-ix \cdot \xi} dx_1...dx_n
[/tex]

--Commentaire Fred : L'intégrale n'est pas sur [tex]\mathbb R^b[/tex], mais sur la boule unité [tex]B[/tex]

Pour ca, on utilise l'opérateur de rotation qui associe  [tex]x=(x_1,...,x_n)[/tex] à [tex](0,0,...,0,\rho)[/tex], où [tex]\rho=||x||.[/tex]
on peut utiliser ça parce que la boule unité est invariante par la rotation, et la fonction ainsi que sa transformée de Fourier sont invariantes par la rotation.
Alors la transformée de f est donnée par
[tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} e^{-i x \cdot \xi} dx_1...dx_n[/tex]
mais comme on travail avec le rotationel, on ne prend pas [tex]\xi[/tex] mais le rotationnel de[tex] \xi[/tex], ce qui donne
[tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} e^{-i x . (0,...,0, \rho)} dx_1....dx_n[/tex]

Edit Fred : de même pour le domaine d'intégration.

qui est égale à
[tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\displaystyle\int_{-1}^1 e^{-i x_n\rho} dx_1....dx_n[/tex]

Edit Fred : Les bornes d'intégrales ne conviennent pas. On dit que
[tex]x_1^2+\dots+x_n^2\leq 1\iff x_1^2+\dots+x_{n-1}^2\leq 1-x_n^2[/tex] et [tex]x_n\in [-1,1] [/tex]
D'où on calcule l'intégrale [tex]\int_{x_n=-1}^{1}\int_{x_1^2+\dots+x_{n-1}^2\leq 1-x_n^2}\dots [/tex].

(je pense que vous avez fait une erreur de frappe, la deuxième intégrale est sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et pas sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex]
qui est égale à
[tex]
\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\int_{x_1^2+...+x_n^2 \leq 1-x_n^2} e^{-i x_n\rho} dx_1....dx_n
[/tex]
on note
[tex]\alpha_n= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n-1}} dx_1....dx_{n-1}[/tex] qui est le volume de la boule unité.
Ainsi, on a
[tex]
F(f)= \alpha_n \displaystyle\int_{-1}^2 e^{-ix_n \rho} dx_1
[/tex]
Je ne comprend pas comment vous obtenez
[tex]
\alpha_{n-1} \displaystyle\int_{-1}^1 (1-x_n^2)^{(n-1)/2} e^{-i x_n \rho} dx_n.
[/tex]

Fred

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Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Je suis à peu près d'accord avec ce que tu as écrit jusque "Ainsi, on a", mais il y a un [tex]x_n[/tex] à remplacer par un [tex]x_{n-1}[/tex], et des bornes d'intégrale à corriger. Je l'ai fait directement dans ton message, vérifie...

Je reprends à
[tex]\int_{-1}^1 \int_{x_1^2+\dots+x_n^2\leq 1-x_n^2}e^{-ix_n\rho}dx_1\cdots dx_n[/tex]
Par le théorème de Fubini-Tonelli, c'est égal à
[tex]\int_{-1}^1 \left(\int_{x_1^2+\dots+x_{n-1}^2\leq 1-x_n^2}1dx_1\cdots dx_{n-1}\right)e^{-ix_n\rho}dx_n[/tex].

Si on note [tex]I_n[/tex] l'intégrale à l'intérieur, alors [tex]I_n[/tex] est le volume du domaine suivant de [tex]\mathbb R^{n-1}[/tex] :
[tex]\{(x_1,\dots,x_{n-1})\in\mathbb R^{n-1};\ x_1^2+\dots+x_{n-1}^2\leq 1-x_{n}^2\}[/tex]
C'est la boule de [tex]\mathbb R^{n-1}[/tex]  de rayon [tex]\sqrt{1-x_n^2}[/tex]. Son volume est [tex](1-x_n^2)^{(n-1)/2}\alpha_{n-1}[/tex].

F.

tintin

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Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

C'est bien compris. L'astuce pour calculer la transformée de Fourier pour la norme euclidienne, c'est d'utiliser le rotationnel.
Pour le volume de la boule [tex]\mathbb{R}^{n-1}[/tex] de rayon [tex]\sqrt{1-x_n^2}[/tex], il est connue et on l'écrit directement ou bien on le calcule? Si oui, qu'est ce qu'on utilise pour le calculer? Parce que [tex]\alpha_{n-1}[/tex] m'intrigue. Pourquoi il ne reste pas [tex]\alpha_n[/tex]?

Dernière modification par tintin (10-03-2016 13:59:48)

Fred

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Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Dans [tex]\mathbb R^p[/tex], le volume de la boule de rayon a est [tex]a^p \gamma[/tex] où [tex]\gamma[/tex] est le volume de la boule unité (pense à ce qui se passe dans [tex]\mathbb R^2,\mathbb R^3[/tex]). Le calcul de [tex]\gamma[/tex] n'est pas une chose facile.

C'est [tex]\alpha_{n-1}[/tex] qui sort, car on ne travaille plus que dans [tex]\mathbb R^{n-1}[/tex], la dernière coordonnée [tex]x_n[/tex] étant fixée.

F.

tintin

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Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

C'est bien compris. Autre calcul je vous prie. La transformée de Fourier de la fonction
[tex]
f(x)=1_{[-1,0[} - 1_{]0,1]}
[/tex]
Par définition, on écrit
[tex]
F(f)(\xi)= \displaystyle\int_{-1}^0 e^{-ix.\xi} dx - \displaystyle\int_0^1 e^{-ix.\xi}dx= \Pi_{k=1}^n \displaystyle\int_{-1}^0 e^{-x_k \xi_k} dx - \Pi_{k=1}^n \displaystyle\int_0^1 e^{-i x_k \xi_k} dx
[/tex]
[tex]
= \Pi_{k=1}^n \dfrac{1}{i \xi_k} e^{i \xi_k} + \dfrac{1}{i \xi_k} e^{-i \xi_k}
[/tex]
c'est ok? On le laisse comme ca ou il y a encore du travail à faire?

Fred

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Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

On peut juste faire apparaitre un cosinus...

Arthur P

Invité

Re : Transformée de Fourier de l'indicatrice de la boule unité

Bonjour,

Pour la transformée de fourier de la fonction indicatrice d'une boule de rayon R dans R³ voici un corrigé:

Corrigé série 12 analyse IV Stubbe

(excercice 2 du PDF ci-dessus).