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#1 01-02-2016 12:29:09
- ymagnyma
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union de deux sous-groupes
Bonjour, je suis en train de reprendre quelques lectures.
En particulier, je viens de lire ceci : "la réunion de deux sous-groupes [tex]H[/tex] et [tex]K[/tex] d'un groupe [tex]G[/tex] n'est un sous-groupe de [tex]G[/tex] que si [tex]H \subset K[/tex] ou [tex]K \subset H[/tex] (raisonner par l'absurde pour le démontrer)".
j'ai cherché, mais ce j'ai trouvé, c'est un contre-exemple ... et là, je me méfie. Quand même, pas dès la page 3.
Voici ce que je me suis dit : considérons le groupe additif [tex]G= (\mathbb R , +[/tex]) et deux de ses sous-groupes additifs, [tex]H = (\mathbb Q , +)[/tex] et [tex]K=((\mathbb R -\mathbb Q) \cup \{0 \} , +)[/tex].
On a clairement [tex]H \cup K = G[/tex] qui est un groupe additif et [tex]H[/tex] n'est pas inclus dans [tex]K[/tex] pas plus que [tex]K[/tex] ne l'est dans [tex]H[/tex].
Où est l'erreur ? Merci.
Dernière modification par ymagnyma (01-02-2016 12:33:00)
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#4 03-02-2016 16:47:06
- ymagnyma
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Re : union de deux sous-groupes
Bonjour, et merci pour votre réponse ; je n'ai pas eu le temps depuis le post de 12:29, mais, dix minutes après avoir éteint l'ordinateur, je cherchais où "vivait" h+k, éléments respectifs de H privé de K et de K privé de H, et là je me suis dit : mais non d'une pipe, + n'est pas une lci pour K ... et donc, K n'est pas un groupe additif.
Du coup, j'ai poursuivi la démo par l'absurde, et la bonne question était bien, ou vit h+k !
Dans G car G est un groupe, donc h+k=g
Puis, si l'union est aussi un groupe, dans l'union. Donc dans l'un ou dans l'autre ... et on arrive au hic en écrivant g-h puis g-k ...
Merci pour vos réponses, je tâcherai d'éteindre l'ordinateur 10 min plus tard.
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