Maths term S

chanel19 · 05-01-2016 14:17:13

Bonsoir,

Soit n ∈ N* avec fn définie sur ⌈0 ; +∝⌉ par [tex]f_n(x) = 1 - \frac{2n}{x + n} - e^{-x}[/tex]

*Je dois déterminer le signe de fn(n+1), je remplace, je trouve à la fin (1-2ne^-n-1 - e^-n-1) / (2n+1) > 0 car n > 0 donc fn(n+1) positif.

*Ensuite je dois démontrer que fn(x) = 0 a une unique solution donc j'ai utilisé le T.V.I puis il me demande de montrer que n < Un < n + 1 j'ai donc pensé à cela : fn(n) < f(Un) < f(n+1) car f est strictement croissante sur ⌈0; +infini⌊
et donc on a : -1/e^n < 0 < (1-2ne^-n-1 - e^-n-1) / (2n+1)
Vérifié car : -1/e^n < 0 et (1-2ne^-n-1 - e^-n-1) / (2n+1) > 0

*Après il me demande de déterminer la limite de la suite Un et comme on a : n < Un < n + 1, sa limite pourrait être n+1 car n un entier naturel non nul !!

Si vous pouvez me dire si tout ça est correct?? Merci beaucoup!

Dernière modification par yoshi (05-01-2016 14:49:39)

yoshi · 05-01-2016 15:01:50

Bonjour,

Bienvenue chez nous...
Dur à lire...
Pourrais-tu faire un effort et utiliser la langage LateX s'il te plaît ?
2 méthodes
1. Si Java installé alors clic sur Insérer une équation (interface similaire aux éditeurs d'équations). Aide sous forme d'un petit (70 ko) fichier pdf.
2. Ou sans Java (pas nécessaire dans ce cas), faire connaissance avec le langage ici : Code LateX

Donc [tex]f_n(n+1)=1-\frac{2n}{n+1+n} -e^{-(n+1)}= 1-\frac{2n}{2n+1} -\frac{1}{e^{n+1}}=\frac{2n+1-2n}{2n+1}-\frac{1}{e^{n+1}}[/tex]

[tex]f_n(n+1)=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{e^{n+1}}=\frac{e^{n+1}-(2n+1)}{(2n+1)e^{n+1}}[/tex]...

Et [tex]f_n(n+1)[/tex] est bien positif, même s'il ne semble pas que j'aie trouvé la même chose que toi...

Et comment est définie [tex](U_n)[/tex] qui arrive dans ton énoncé "comme un cheveu sur la soupe" ?
En effet tu écris : puis il me demande de montrer que n < Un < n + 1... Et Un n'est pas apparue avant...

@+

Dernière modification par yoshi (05-01-2016 15:23:01)

chanel19 · 05-01-2016 19:44:41

Merci beaucoup.

D'accord, je vais essayer. Merci pour vous réponses. Effectivement pour Un j'ai oublié de vous mentionner ce qu'est Un ici.

J'ai dû démontré ceci précédemment-> [tex]f_n(x) = 0[/tex] a une unique solution : j'ai donc utilisé le T.V.I puis il me demande ensuite de montrer que [tex]n < U_n < n + 1[/tex]

j'ai donc pensé à cela : [tex]f_n(n) < f(U_n) < f_n(n+1)[/tex] car f est strictement croissante sur ⌈0; +infini⌊ (d'après le tableau de variation que j'ai réalisé)

et donc on a : [tex] -\frac{1}{e^n } < 0 < f_n(n+1)[/tex]

Vérifié car : [tex]-\frac{1}{e^n } < 0[/tex] et [tex]f_n(n+1) > 0[/tex]

Bien sûr il faut que je calcule [tex]f_n(n+1)[/tex] et remplace ce dernier par le résultat!!

yoshi · 05-01-2016 20:07:54

Salut,

Merci beaucoup. D'accord, je vais essayer. Merci pour vous réponses. Effectivement pour Un j'ai oublié de vous mentionner ce qu'est Un ici.
J'ai dû démontré ceci précédemment-> fn(x) = 0 a une unique solution : j'ai donc utilisé le T.V.I puis il me demande ensuite de montrer que n < Un < n + 1

Bon je suis peut-être bouché ou aveugle, mais je vois toujours pas comment est définie ([tex]U_n[/tex])...

Je t'ai passé ton texte en LateX donc en cliquant sur Modifier, tu verras les formules...
Mon résultat pour [tex]f_n(n+1)[/tex] n'est pas celui que tu trouves sauf si j'ai mal traduit ce que tu as écrit. Alors ?
De ce résultat dépend la suite !

@+

chanel19 · 06-01-2016 12:37:28

"fn(x) = 0 a une unique solution Un" désolé, je me précipite lorsque je tape au clavier et il m'arrive bien souvent d'oublier de mentionner certains détails... et d'où, pour cette question, l'utilisation du T.V.I. Et c'est à ce moment là qu'il me demande pour n < Un < n+1

Ensuite mon résultat pour f_n(n+1) était bien faussé! Merci!!

Dernière modification par chanel19 (06-01-2016 12:40:25)

yoshi · 06-01-2016 15:46:22

Re,

Pour [tex]n<x<n+1[/tex] on a effectivement[tex] f_n(n)<f_n(x)<f_n(n+1)[/tex] et comme f_n strictement croissante sur Df solution unique.
Mais, ce n'est qu'après qu'on te demande [tex]n<U_n<n+1[/tex]

Tu as écrit :

donc j'ai utilisé le T.V.I

Comment ?

A mon sens, il faut montrer ça autrement.
Je reprends ça ce soir.
Je suis pour l'instant là-dessus :
je cherche s'il existe x tel que
[tex]f_n(x)>0[/tex] et [tex]f_n(x)<0[/tex]
[tex]f_n(x)=\frac{x-n}{x+n}-\frac{1}{e^x}[/tex]
[tex]f_n(x)<0 \Leftrightarrow \frac{x-n}{x+n}-\frac{1}{e^x}<0 \Leftrightarrow \frac{x-n}{x+n}<\frac{1}{e^x}\Leftrightarrow \frac{x+n}{x-n}>e^x[/tex] avec x>n pour la dernière équivalence pour que (x-n>0) ...
Je sais pas trop où ça va me mener...

Mais là, je dois y aller : retour après 19 h 30

@+

Dernière modification par yoshi (06-01-2016 19:26:41)

yoshi · 06-01-2016 20:16:19

Re,

Après relecture de ta bouillie ^_^ d'énoncé... je vois que je cherchais trop compliqué !

On t'a demandé le signe de [tex]f_n(n+1)[/tex], tu as trouvé positif, ok.
Ça t'a inspiré l'idée de chercher le signe de [tex]f_n(n)[/tex]. C'est <0, ok.
Tu as vérifié que [tex]f_n(x)[/tex] strictement croissante, ok.
Là tu appliques alors le TVI, ce qu'on appelle souvent théorème des gendarmes, et tu en déduis qu'il existe donc un x tel que [tex]f_n(n)<f_n(x)<f_n(n+1)[/tex]. D'accord.
On pose [tex]U_n=x[/tex]
[tex]f_n[/tex] étant strictement croissante, par définition de la "croissance stricte", [tex]f_n(n)<f_n(U_n)<f_n(n+1)\Leftrightarrow n<U_n<n+1[/tex].
Jusque là ok.

Après il me demande de déterminer la limite de la suite Un

Limite de [tex] U_n[/tex] tout seul ? Ou [tex]\lim_{n \to +\infty} U_n[/tex]
Parce que pour moi :
[tex]\lim_{n \to +\infty} U_n=+\infty[/tex]

@+

chanel19 · 06-01-2016 22:47:44

Désolé ahah! D'accord, merci beaucoup pour vos réponses!!!

chanel19 · 06-01-2016 22:49:07

Il faut, par les résultats précédents, en déduire la limite de la suite (Un)!!

yoshi · 07-01-2016 08:10:27

Salut,

Il faut, par les résultats précédents, en déduire la limite de la suite (Un) !!

Pas de précision, donc...
Je vais voir ça....

@+

[EDIT] Après moult calculs approchés via informatique, il semble bien que plus n est grand, plus x se rapproche de n...
La limite de [tex]U_n[/tex] serait n, (ce qui n'infirme d'ailleurs pas ma conclusion précédente).
Maintenant va falloir que je le prouve...

freddy · 07-01-2016 15:22:18

Salut,

la fonction est définie sur R+ à valeur dans [-2, +1]. Donc par le TVI, il existe au moins un x tq[tex] f_n(x) = 0[/tex]. e truc est de montrer qu'il est unique :-)

Un petit coup d'œil sur le graphe de la fonction donne précieuse indication :elle est monotone croissante ... Donc le "zéro" est unique ! On peut partir à sa recherche :-)

Comment est défini le terme général [tex]U_n[/tex] ? C'est le "zéro" de[tex] f_n(x)[/tex] ?

(je reviens)

Dernière modification par freddy (07-01-2016 15:31:23)

yoshi · 07-01-2016 16:23:00

Salut freddy,

Le [tex]f_n(x)=0[/tex] unique c'est fait, puisque f_n(n)<0 et f_n(n+1)>0 avec [tex]f_n[/tex] strictement croissante...
Le problème qui reste en suspens est :
Cette unique valeur de x est telle tq [tex]f_n(n)<f_n(x)<f_n(n+1)[/tex] donc [tex]n<x<n+1[/tex]
Et cet x qui sert à définir [tex]U_n[/tex].
On pose U_n=x...

Via Wolfram j'ai recherché les valeurs approchées de [tex]U_n[/tex] pour n=10, 20,30,40, 100
Et je me suis aperçu que pour des n assez grands [tex]U_n \sim n[/tex]
Donc on a cette fameuse limite, mais je ne peux pas arriver à le prouver :
[tex]f_n(U_n)=0[/tex] quel que soit n, mais moi je voudrais prouver que [tex]f_n(U_n)\sim f_n(n)[/tex]

J'ai fait ceci :
[tex]f_n(U_n)= \frac{U_n-n}{U_n+n}-\frac{1}{e^{U_n}}[/tex]
Donc
[tex]\lim_{n\to +\infty} f_n(U_n)= 1-\frac{1}{e^{U_n}}=f_n(n)[/tex]
Je pose [tex]u=U_n[/tex] c'est moins pénible à taper
Donc [tex]n < u <n+1[/tex]
D'où [tex]n-n < u-n <n+1-n[/tex] soit [tex]0 < u-n < 1[/tex]
Et [tex] n+n < u+n < n+1+n[/tex] soit [tex]2n < u+n < 2n+1[/tex]

En conséquence [tex]\frac{0}{2n} < \frac{u-n}{u+n} <\frac{1}{2n+1}[/tex]

Et donc pour n très grand [tex]\frac{u-n}{u+n}\sim 0[/tex]
D'où
[tex] f_n(u)\sim -\frac{1}{e^u}= f_n(n)[/tex]
[tex]f_n(U_n)\sim f_n(n)[/tex]

Pas très satisfait, parce que \frac{-1}{e^n] est négatif...
Et la graphiquement, ça colle plus, parce qu'après vérif si n =100, ce fameux f_n(U_n) devrait être aux alentours de [tex]0^-[/tex]...
Et quand je demande une approximation de x pour n = 100 à Wolfram j'ai deux réponses -100 et +100.
Quelque chose m'échappe et je ne peux pas mettre le doigt dessus !

@+

freddy · 07-01-2016 18:58:47

Salut yoshi,

on est d'accord pour définir [tex]U_n[/tex] telle que [tex]f_n(U_n)=0[/tex] ?!
Ensuite, on est aussi d'accord pour dire que cette suite est bien dépendante de[tex] n[/tex], et on cherche sa limite quand n tend vers + l'infini ?
Car sans plus réfléchir, quand n tend vers l'infini, la limite de la fonction est de la forme [tex]f(x) = -1-e^{-x}[/tex] qui ne s'annule jamais sur R+ puisqu'elle st à valeur dans ]- 2, -1[ ?!?

Il n'y aurait pas une nouille dans le potage ?

Je suis encore au bureau, faut que je me pose un peu !

Dernière modification par freddy (07-01-2016 19:24:27)

yoshi · 07-01-2016 19:59:04

Salut freddy

]-2,1[ comprends pas...
L'énoncé dit fn définie sur ⌈0 ; +∝⌉ et [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex]

Sinon, oui, [tex]f_n(U_n)=0[/tex]

Avec le seul exemple n = 2
[tex]f_2(2)=\frac{2-2}{2+2}-e^{-2}= -e^{-2} <0[/tex]
[tex]f_2(3)=\frac{3-2}{3+2}-e^{-3}= \frac{1}{5}-e^{-3} \approx 0.2-0.05 >0[/tex]
Donc puisque [tex]f_2(2) <0[/tex] et [tex]f_2(3)>0[/tex] il y a bien x tel que [tex]f_2(2)<f_2(x)=0<f_2(3)[/tex]...

Mon premier réflexe a été d'écrire, comme [tex]n < U_n<n+1[/tex] :
[tex]\lim_{n\to+\infty} U_n = +\infty[/tex]

Mais la question est posée très succinctement : déduire de ce qui précède la limite de [tex]U_n[/tex]
Je me suis dit que c'était trop simple : pourquoi ne avoir précisé quand n --> +oo ?...

Alors j'ai fait des essais avec des valeurs de n, et j'ai vu que pour n assez grand (100 mini) [tex]U_n \sim n[/tex] et je me suis acharné à montrer que la limite de U_n est n (ce qui d'ailleurs n'infirme pas ma première conclusion).

@+

freddy · 07-01-2016 20:13:02

Re, (suis toujours au bureau !)

j'ai vérifié certains points et donc j'ai établi, comme toi, que la suite est bien comprise entre n et n+1.
Par conséquent, sa limite est + l'infini.

En effet, [tex]U_n[/tex] est définie implicitement par [tex] f_n(U_n) = 1-\frac{2n}{U_n+n} - e^{-U_n}=0[/tex].

Supposons que sa limite soit égale à[tex] L \lt +\infty[/tex]

Donc, quand [tex]n[/tex] tend vers l'infini, on a l'équation[tex] 1 - 2 = e^{-L}[/tex] ce qui est impossible !

Par contre, si on suppose que la limite de [tex] U_n [/tex] est du même ordre que [tex]n[/tex] au voisinage de l'infini, on a alors [tex]1-1 - 0 = 0[/tex] ce qui est vrai.

Donc tu as ton résultat, [tex]U_n[/tex] est équivalente à [tex]n[/tex] au voisinage de l'infini, ce que l'inégalité te disait déjà !

yoshi · 07-01-2016 20:40:22

Salut,

Merci. J'étais dans le vrai...

@+

freddy · 08-01-2016 07:06:50

Salut,

bien sûr que tu avais raison. L'encadrement [tex]n \lt U_n \lt n+1[/tex] permet d'affirmer que [tex] 1\lt \frac{U_n}{n} \lt 1+\frac{1}{n}[/tex] et donc qu'au voisinage de l'infini et par définition, la suite [tex]U_n[/tex] est bien équivalente à [tex]n[/tex].

chanel19 · 08-01-2016 12:40:34

Merci pour vos réponses!! Si vous pourriez m'expliquer un peu plus clairement votre déduction car je n'ai pas trop suivi, merci!!! =)

freddy · 08-01-2016 13:10:05

Salut chanel for !

Yoshi a tout dit, je reprends pour le plaisir.

Donc ta fonction est continue, dérivable et monotone croissante de [tex]R_+[/tex] sur [tex]]-2,+1[[/tex]. Par le TVI, il existe donc un réel[tex] U_n[/tex] tel que [tex]f_n(U_n) = 0[/tex]

On vérifie que [tex]f_n(n+1)[/tex] est de même signe que [tex](2n+1)f_n(n+1) = 1-\frac{2n+1}{e^{n+1}} \gt 0[/tex]

De la même manière, on vérifie que[tex] f_n(n) = -e^{-n} \lt 0[/tex]

On en déduit naturellement, puisque la fonction est continue et bijective sur [tex]R_+[/tex], que [tex]n \lt U_n \lt n+1[/tex]

On déduit tout aussi facilement, par le théorème des gendarmes, que la limite quand [tex]n[/tex] tend vers + l'infini de[tex] U_n[/tex] est comprise entre celle de [tex]n[/tex] et de [tex]n+1[/tex], soit [tex]+\infty[/tex] ! La suite est donc divergente.

En aparté, pour les autres : ma remarque relative à la nature de la fonction quand [tex]n[/tex] tend vers l'infini (aucun zéro pour la fonction [tex]f(x)=-1-e^{-x}[/tex]) montre que ce n'est pas si évident que ça de passer d'une fonction[tex] f_n[/tex] à la fonction [tex]f[/tex] (c'est même assez faux, je serai ravi que Fred ou un autre nous disent pourquoi, pas trop le temps d'y réfléchir, sauf ce WE, en fouillant un peu dans mémoire. Je sais que c'est du ressort de l'élargissement de la notion de limite, mais j'ai un peu oublié)

Dernière modification par freddy (08-01-2016 17:08:24)

yoshi · 08-01-2016 13:43:56

Re,

A mon tour...

yoshi a écrit :

Je pose [tex]u=U_n[/tex] c'est moins pénible à taper
Donc [tex]n < u <n+1[/tex]
D'où [tex]n-n < u-n <n+1-n[/tex] soit [tex]0 < u-n < 1[/tex]
Et [tex] n+n < u+n < n+1+n[/tex] soit [tex]2n < u+n < 2n+1[/tex]
En conséquence [tex]\frac{0}{2n} < \frac{u-n}{u+n} <\frac{1}{2n+1}[/tex]
Et donc pour n très grand [tex]\frac{u-n}{u+n}\sim 0[/tex]
D'où
[tex] f_n(u)\sim -\frac{1}{e^u}= f_n(n)[/tex]
[tex]f_n(U_n)\sim f_n(n)[/tex]

J'explicite
[tex]n<u<n+1[/tex] c'est la conclusion qu'on attendait de toi...
Après, tu dois trouver la limite de u ([tex]U_n[/tex] quoi)
C'est là que je me suis dit que si [tex]n \to +\infty[/tex] alors [tex]n+1 \to \infty[/tex]
Et que u coincé entre les deux était aussi tel que [tex]u \to +\infty[/tex] et que la conclusion était trop simple et indigne du problème...

J'ai donc cherché la valeur approchée de [tex]U_n[/tex] pour n de plus en plus grand et j'ai vu que U_n se rapprochait de plus en plus de n : pour n = 100, [tex]U_{100}\approx 100 [/tex] à [tex]10^{-3}[/tex] près.

Donc, je me suis mis en tête de prouver que la limite de [tex]U_n[/tex] était n.
J'ai écrit [tex]f_n(U_n)[/tex] sous la forme [tex]\frac{U_n-n}{U_n+n} -\frac{1}{e^{U_n}}[/tex] que en posant [tex]u=U_n[/tex] j'ai récrit sous une forme moins pénible à taper pour qui utilise son clavier avec un seul doigt :
[tex]f_n(u)=\frac{u-n}{u+n} -\frac{1}{e^{u}}[/tex]
Et je me suis intéressé au quotient [tex]\frac{u-n}{u+n}[/tex].

Je suis donc parti de la conclusion :
[tex]n<u<n+1[/tex]
J'ai ajouté (-n) à tous les membres sans changer l'ordre :
[tex]n+(-n)<u-n<n+1+(-n)[/tex]
Soit [tex]0<u-n<1[/tex] (1)

Je repars de [tex]n<u<n+1[/tex]
J'ajoute n à tous les membres sans changer l'ordre :
[tex]n+n<u+n<n+1+n[/tex]
Soit [tex]2n<u+n<2n+1[/tex] (2)
(au passage n>=1 donc [tex]0<2n<u+n<2n+1[/tex])

Les 2 inégalités (1) et (2) étant de même sens et composées de nombres positifs je peux en faire le quotient sans changer l'ordre :
[tex]\frac{0}{2n}<\frac{u-n}{u+n}<\frac{1}{2n+1}[/tex]

Soit [tex]0<\frac{u-n}{u+n}<\frac{1}{2n+1}[/tex]
Et j'ai constaté que pour n assez grand [tex]\frac{1}{2n+1}\sim 0[/tex] assimilable à 0
Et donc que [tex]\frac{u-n}{u+n} \sim 0[/tex]

Donc pour n assez grand :
[tex]f_n(u)\sim -\frac{1}{e^u}[/tex]

- J'avais un peu bâclé la fin -

Examinons dans ce cas la différence [tex]f_n(u)-f_n(n)[/tex] ::
[tex]f_n(u)-f_n(n)=-\frac{1}{e^u}+\frac{1}{e^n}=\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^u}[/tex]

Or n<u<n+1 donc [tex]e^n<e^u<e^{n+1}[/tex] et [tex]\frac{1}{e^{n+1}}<\frac{1}{e^u}<\frac{1}{e^n}[/tex]

Si je minore [tex]\frac{1}{e^u}[/tex] par [tex]\frac{1}{e^{n+1}}[/tex]

alors je majore la différence [tex]\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^u}[/tex] --> [tex]\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^u}<\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^{n+1}}[/tex]

Si je majore [tex]\frac{1}{e^u}[/tex] par [tex]\frac{1}{e^{n}}[/tex]

alors je minore la différence [tex]\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^u}[/tex] --> [tex]\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^n}<\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^u}[/tex]

D'où
[tex]\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^n}<\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^u}<\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^{n+1}}[/tex]
Soit :
[tex]0<\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^u}<\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^{n+1}}[/tex]
Or, pour [tex]n \to +\infty[/tex] [tex]\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^{n+1}} \to 0[/tex]
En conclusion [tex]f_n(u) - f_n(n) \to 0[/tex] d'où [tex]f_n(U_n) \to f_n(n)[/tex] et [tex]U_n \to n[/tex]
Parce que [tex]f_n[/tex] strictement croissante...

Pas totalement satisfait...

@+

Dernière modification par yoshi (08-01-2016 16:22:27)

chanel19 · 10-01-2016 14:47:46

Un grand merci pour vos réponses, je pensais moi à cela :

Nous avons n < Un < n+1 dont fn(x) = 0 a une unique solution Un.

Plus haut j'ai précisé dans mon tableau de variations de la fonction fn que lim lorsque x tend vers +infini de fn(x) était 1 et comme fn(x) = 0 a une

unique solution Un, peut être que la limite de la suite Un est 1??

yoshi · 10-01-2016 16:33:36

Salut,

Nous avons n < Un < n+1 dont fn(x) = 0 a une unique solution Un.

Non, tu inverses l'ordre des questions.
Ton énoncé dit :

Ensuite je dois démontrer que [tex]f_n(x) = 0[/tex] a une unique solution (...) puis il me demande de montrer que n < Un < n + 1

Si tu relis, tu vois que dans l'ordre c'est
1. f_n(U_n)=0 a une unique solution
2. Ensuite seulement tu en déduis que [tex]n<U_n<n+1[/tex]

Ensuite quant à la limite de U_n, as-tu lu ou survolé tout ce qu'on t'a écrit ?
[tex]n < U_n < n+1[/tex]
La limite c'est pour [tex]n \to +\infty[/tex]
Si [tex]n \to +\infty[/tex] alors [tex]n+1 \to +\infty[/tex]
Comment avec[tex] n < U_n < n+1[/tex] pourrais-tu avoir une limite de 1 pour [tex]U_n[/tex] alors qu'il est encadré par deux quantités n et n+1 qui tendent toutes deux vers [tex]+\infty[/tex] ?

Prenons ton problème à l'envers.
Tu fais tendre x vers [tex]+\infty[/tex], ok !
Mais U_n est un x particulier... Si tu fais tendre [tex]U_n[/tex] vers [tex]+\infty[/tex], alors [tex]n+1 \to +\infty[/tex] puisque [tex]n+1 > U_n[/tex] et donc n = (n+1)-1 tend aussi vers [tex]+\infty[/tex]
U_n n'est pas n'importe quel x, il est l'unique solution de [tex]f_n(x)=0[/tex].

Solutions approchées sur [tex][0\;;\;+\infty[[/tex]
[tex]f_3(x)=0[/tex] :
[tex]f_3(x)=0\;\Leftrightarrow\;\frac{x-3}{x+3}-\frac{1}{e^x}=0\;\Leftrightarrow\;\frac{x-3}{x+3}=\frac{1}{e^x}[/tex]
Réponse ici : http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … e^%28-x%29
Numerical solution x\approx [tex]3.24364[/tex]

[tex]f_5(x)=0[/tex] :
[tex]f_5(x)=0\;\Leftrightarrow\;\frac{x-5}{x+5}-\frac{1}{e^x}=0\;\Leftrightarrow\;\frac{x-5}{x+5}=\frac{1}{e^x}[/tex]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … e^%28-x%29
Numerical solution [tex]x\approx 5.06363[/tex]

[tex]f_{10}(x)=0[/tex] :
[tex]f_{10}(x)=0\;\Leftrightarrow\;\frac{x-10}{x+10}-\frac{1}{e^x}=0\;\Leftrightarrow\;\frac{x-10}{x+10}=\frac{1}{e^x}[/tex]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … e^%28-x%29
Numerical solution [tex]x\approx 10.0009[/tex]

[tex]f_{100}(x)=0[/tex] :
[tex]f_{100}(x)=0\;\Leftrightarrow\;\frac{x-100}{x+100}-\frac{1}{e^x}=0\;\Leftrightarrow\;\frac{x-100}{x+100}=\frac{1}{e^x}[/tex]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … e^%28-x%29
Numerical solution x\approx 100
et si je clique sur more digits j'ai [tex]x\approx 100.0000000000000000000[/tex]

Convaincu ?
Si tu n'es pas convaincu, voilà un graphique où j'ai représenté [tex]f_2(x)[/tex] (en rouge), [tex]f_4(x)[/tex] en bleu et [tex]f_8(x)[/tex] en vert...
Tu vois bien que Un est de plus en plus proche de n...

Voilà pourquoi je t'avais demandé la formulation exacte de la question que tu as posée : "Quelle est la limite de Un ?"
Je t'avais demandé : pas d'autre précision ?

@+

chanel19 · 10-01-2016 16:48:17

Non rien la question est " En déduire la limite de la suite Un"

chanel19 · 10-01-2016 16:50:32

je comprends ce que vous avez fait mais je vois pas trop comment rédiger ça :/

freddy · 10-01-2016 17:00:25

chanel19 a écrit :

Non rien la question est " En déduire la limite de la suite [tex]U_n[/tex]"

Salut,

une fois que tu as démontré que le "zéro" de la fonction[tex] f_n[/tex] est tel que[tex] n \lt U_n \lt n+1[/tex], "en déduire" revient à conclure que la limite quand [tex]n \to +\infty[/tex] est celle de[tex] n = +\infty[/tex].

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