Forum de mathématiques - Bibm@th.net

zeff

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un ensemble n ?

Bonjour,
Est-ce dans la logique mathématique d'envisager de constituer un ensemble à partir d'un entier naturel ? par exemple
à n = 0 il y a 1 élément : { } vide

à 1= {1} on a 2 éléments : { }; {1}
à 2 = {1,1} on a 3 éléments : { }; {1}; {1,1}
à 3 = {1,1,1} on a 4 : { }; {1}; {1,1}; {1,1,1}; ....etc

pour chaque ensemble n composé de l'unité définissant son identité absolue, on trouve P(n) = n+1 (qui est en fait = n+0 pour vide) puisque c'est l'élément vide qui s'ajoute comme unité.

donc P(0) = 0 (vide) = 1
P(1) = 1+0 (vide) = 2
P(2) = 1+1+0 (vide) = 3
P(3) =1+1+1+0 (vide) = 4...etc...à priori absurde, si le vide = 0 ! qu'est-ce que le vide en mathématique puisqu'ici en l'occurence il a le statut +1 ?

Pour un ensemble 3 = {1,1,1}     P(3) = 3+0 ------->donc ici 1+1+1+0 = 4

comme tout nombre entier est effectivement généré de 1, si je réécris sous forme d'un ensemble P(3) j'obtiens 4={1,1,1,0} et non
4={1,1,1,1}....alors que cela devrait s'écrire : P(3)= {1,1,1,1,0} mais bien sûr dans ce cas le résultat n'est plus quatre mais cinq.
Toute partie d'un ensemble d'un nombre entier n serait donc composé de n+0 (pour vide 0 barré) et pas de n+1 ?

Pourquoi Cantor considère-t-il un ensemble vide comme un ensemble plein constituant un élément qu'on retrouve toujours dès qu'il est question de sous ensemble d'un ensemble ? on se demande ce que ça vient y faire et ce qui le justifie ? comprends pas...

Maintenant peut-être qu'on ne peut pas faire un ensemble à partir d'un nombre entier, puisqu'il n'est constitué que du nombre unique, néanmoins c'est intrigant puisque tout entier naturel n'a de fondement propre que par récurrence n+1 ce qui devrait suffire pour l'écrire tel quel comme un ensemble quelque soit sa grandeur....

Si quelqu'un veut bien prendre la peine de répondre à ce truc bizarre, je l'en remercie.

yoshi

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Re : un ensemble n ?

Bonjour,

Bienvenue chez nous...
En la matière, il faut être très précis.
Qu'est-ce que n ? Un nombre ? Un ensemble ?
Si, comme cela semble être le cas :
1. Cette notation me gêne. J'ai été conditionné pour désigner les ensembles par de capitales  d'imprimerie...
2. Qu'est ce que ta fonction P ? Le nombre de parties de ton ensemble N ? Si c'est le cas, avec N={}, P(N)= 1

Est-ce dans la logique mathématique d'envisager de constituer un ensemble à partir d'un entier naturel ?

Tu devrais voir du côté des axiomes de Peano  qui permettent de reconstruire [tex]\mathbb{N}[/tex]

@+

zeff

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Re : un ensemble n ?

Bonjour yoshi

merci de ta réponse et de ton accueil, je découvre le site aussi je te remercie pour le lien très utile qui me donne une direction où avancer pour apprendre et mieux comprendre. Je prends note de ta réflexion sur la bonne syntaxe à avoir en mathématique, hélas je ne la connais pas assez mais ne demande pas mieux que d'apprendre. Dans mon commentaire "n" était le symbole conventionnel pour désigner n'importe quel nombre entier naturel, mais effectivement dans le cas d'un ensemble noter N est plus correct, quand à P(N) cela désigne bien les parties de l'ensemble considéré.

En fait mon interrogation est, (je vais essayer d'être le plus clair possible), que tout ensemble N contient en ses parties l'ensemble vide {}
qui augmente sa valeur d'une unité tel que P(N) = N +{} ===> N+1

Dans le cas d'un ensemble N je trouve cela troublant puisque quelque soit la valeur de N elle change de +1 en ses parties par l'élément vide, d'où ma question "qu'est-ce que le vide en mathématique puisqu'ici en l'occurence il a le statut +1 ?" au point de conférer à N une valeur supérieure de telle sorte que si N=2, P(N)=3 ====>2=3 ?

je n'arrive pas à voir où est la faille logique dans ce raisonnement, d'autant plus troublant que l'ensemble en question est un nombre entier naturel, donc un ensemble de lui-même (1,1,1...) : Ce qui fait qu'à N=0, P(0)={} =1  or qu'est-ce que le 1 ici ? est-il le nombre unité ?
si oui alors 0=1, 1=2, 2=3, 3=4...et ce pour tout N; si ce n'est pas le cas pourquoi change-t-il la valeur de l'ensemble N ? c'est le statut du vide comme sous élément de N qui pose question et qu'il faut définir, (ce qui ramènera à statufier sur la nature du zéro...éternel débat...) 

Comme tu le dis je vais regarder Peano, du reste tout indication bibliographique (pas hyper technique et surtout compréhensible) sur la théorie des ensembles axiomatiques m'intéresserait. Si j'ai besoin d'éclaircissements sur des points obscurs pourrais-je te contacter par mp où ne le souhaites-tu pas ?

merci encore.

yoshi

Modo Ferox

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Re : un ensemble n ?

Salut,,

Quand j'étais en Terminale (ça fait un sacré bail !) j'avais trouvé fascinante l'étude des axiomes de Peano.
Quand tu écris :

quant à P(N) cela désigne bien les parties de l'ensemble considéré.

tu veux dire que P(N) désigne un ensemble, l'ensemble des parties de ton ensemble N  (les = toutes).

En conséquence déjà, [tex]P(N)\neq N[/tex] quel que soit N non vide...
Supposons N={a,b,c}, alors [tex]P(N)=\left\{\{\},\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\right\}[/tex]
Le cardinal de P(N) est ici 8, si n est le nombre d'éléments (on dit le cardinal) de N, alors le cardinal de P(N) vaut 2ⁿ

Et donc, tu ne peux pas écrire P(N) = N + {} ===> N+1 parce que
1. [tex]P(N)\neq N[/tex] et donc [tex]P(N) \neq N + \{\}[/tex]
2.  ==> N+1  Cette implication n'a pas de sens ,il manque quelque chose après ou avant [tex]\neq N + {}[/tex]
3. Prenons un nouvel ensemble M = N+{} (je prends la notation conventionnelle[tex]\emptyset[/tex] pour [tex]\emptyset=\{\}[/tex]
    Avec mon exemple, j'ai [tex]M=\{\emptyset,a,b,c\}[/tex]
    Et si j'ai bien  [tex]card(M)=card(N)+1[/tex], je n'ai pas par contre P(M)=P(N)+1 puisque P(M) contient 16 éléments (2⁴)...

@+

zeff

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Re : un ensemble n ?

Salut,

je comprends bien pour ton exemple N={a,b,c} qui donne Card N = 3 et Card P(N) = 8

selon la formule [tex]Card E = n \ Card P(E) = 2^n[/tex]

mais pour un ensemble de trois nombres identiques, disons N = {1,1,1} [tex]Card N = 3 \ Card P(N) = 4
\left\{\emptyset\right\},\left\{1\right\},\left\{1,1\right\},\left\{1,1,1\right\}[/tex] 

c'est à dire 3+1[tex]Card E = n \ Card P(E) = n+1[/tex] et non pas [tex]2^n[/tex]

Faut-il en conclure qu'un ensemble ne peut pas être constitué d'un même nombre [tex]\mathbb{N}[/tex] ?

Par exemple un ensemble E={a,a,a} donnant le [tex]Card E = 3[/tex] et le [tex]Card P (E) = 4[/tex] est mathématiquement faux puisqu'en désaccord avec la formule.

merci

yoshi

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Re : un ensemble n ?

Re,

je comprends bien pour ton exemple N={a,b,c} qui donne Card N = 3 et Card P(N) = 8
selon la formule[tex] Card(E)  =n Card(P(E))=2n[/tex]

1. Tu veux plutôt dire :[tex] Card(P(E)) = n Card(E)[/tex]
     Dans l'autre sens, c'est impossible
2. Et dans ce sens c'est incorrect aussi.
    Card(N) =3 et Card(P(N))=8 ;  3*3 = 9 et pas 8 ([tex]2^3[/tex]) !
    Pour A={a,b,c,d}, Card(P(A)) = [tex]2^4[/tex] = 16
    Si B ={a,b,c,d,e}, Card(B)= 5 ; Card(P(B)) = [tex]2^5[/tex] = 32...

Faut-il en conclure qu'un ensemble ne peut pas être constitué d'un même nombre [tex]\mathbb{N}[/tex] ?

Attention !
Au même titre que [tex]\mathbb{Z},\;\mathbb{D},\;\mathbb{Q},\;\mathbb{R},\;\mathbb{C}[/tex] la lettre avec double barre [tex]\mathbb{N}[/tex] est une lettre réservée...
Elle désigne l'ensemble [tex]\mathbb{N}[/tex] des nombres entiers naturels, et ne désigne donc en aucun cas un nombre.

J'ai enfin (sûrement la chaleur qui m'engourdit le cerveau) mis le doigt sur ce qui me chiffonnait dans ton échafaudage ingénieux..
La théorie des ensembles dit qu'un ensemble est une collection, un groupement d'"objets" distincts, appelés éléments.
{1,1,1,1} n'est donc qu'une écriture inutilement compliquée de {1} et toutes les contradictions que tu as mises à jour, sont des preuves, via un raisonnement par l'absurde, de cela.
En effet, supposons que {1,1,1,1} est un ensemble à part entière...
alors tes calculs montrent que l'on arrive à des absurdités du genre  3 = 4...
C'est donc que l'hypothèse de départ est fausse et que {1,1,1,1} n'est autre que l'ensemble {1}.

@+

[EDIT] Et pour disposer d'une source fiable, voilà :
http://math.univ-lyon1.fr/~caldero/cours.pdf

Dernière modification par yoshi (17-07-2015 09:59:28)

zeff

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Re : un ensemble n ?

cher ami

je te remercie, tu m'apportes tout de dont j'avais besoin dans ce cas précis et je vais pouvoir regarder, approfondir et apprendre, et surtout tu m'offres ce qui me manquait le plus, des polys de cours pour connaître les bonnes bases, c'est un vrai trésor pour moi. Trop longtemps j'ai cru que les maths ne m'aimaient pas et je le leur rendais bien mais malgré tout ça a toujours exercé sur moi une fascination "attirance/répulsion" et maintenant sans que je me l'explique, je dévore tout ce qui passe à ma portée "à la recherche du temps perdu"...Mais voilà il n'est jamais trop tard pour découvrir de nouvelles sources de joie et d'émerveillement telles que m'en apportent les mathématiques aujourd'hui que je vois sous un jour complètement nouveau.

Merci à toi et aux admins pour tout le boulot effectué sur ce site :-)

yoshi

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Re : un ensemble n ?

Re,

Trop longtemps j'ai cru que les maths ne m'aimaient pas et je le leur rendais bien

Bin, ça, c'est un syndrome classique..
Je professais (et je le pense toujours après 8 ans de retraite) qu'il y a souvent un grain de sable quelque part qui grippe les rouages et qu'il suffit de le trouver et de le retirer pour transformer un cercle vicieux en un cercle vertueux...
C'est ce qui a dû t'arriver... Beaucoup se font une fausse idée des Maths parce qu'on lui attribue une aura de difficulté extrême, qu'on regarde ceux pour qui ça roule comme des extraterrestres...
T'as réussi ton Bac Maths ? Wouaaahhh ! Qu'est-ce que t'est fort !

Et pourtant quand je dis : sais-tu pourquoi j'ai passé mon Bac Maths ? ...
Parce que j'étais paresseux et que pour quelqu'un comme moi, c'était le plus simple à obtenir...
(Bon, à prendre avec des pincettes, hein... Mais il y a un fond de vérité !)

Je vais te donner quelques références supplémentaires :
Des BD libres de droit et gratuites.
L'auteur JP Petit  a fait textes et dessins : Docteur es sciences, Astrophysicien, ex chargé de recherches au CNRS, ex prof aux Beaux-Arts, etc. donc loin d'être un plaisantin.
La liste dispo ici en téléchargement
Je recommande tout spécialement les nos 1 ,2, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 16.
Tu peux commencer par le 16 (Le logotron) qui traite du langage, mais aussi un de la théorie des ensembles et de la diagonale de Cantor..
Après tu peux enchaîner par le 1, le Geometricon qui traite de la Géométrie et qui termine sur les espaces tridimensionnels courbes..;
A ne pas lire le soir avant de dormir, sinon nuit blanche assurée, pourtant gros avantage on dévore tellement tout paraît simple... et quand on arrive au bout et qu'on essaie de réexpliquer une notion, on s'aperçoit que non, tout n'était pas réellement, si évident ! Alors, hop, on replonge avec plaisir !
Bref, tu devrais t'éclater avec ça... Dis m'en des nouvelles !

Ça, c'est plus formel et bien moins ludique :
Notions de logique et de théorie des ensembles : https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ro … eChap1.pdf

Théorie axiomatique des ensembles : à pâlir la nuit...

@+

zeff

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Re : un ensemble n ?

Lol ! merci t'es un mec super, sûr que je vais m'éclater avec tout ça et je vais suivre ta posologie au micro poil ;-)

Pour les BD, c'est cool, j'ai fait les BA de Paris, (ça fait un bail aussi) et pour le reste ça va gonfler ma doc et me regonfler moi-même, que demander de mieux ? maintenant y'a plus qu'à bosser, chercher, trouver et j'te jure que je vais le faire ;-)

Un tout grand merci encore
amicalement
zeff

yoshi

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Re : un ensemble n ?

Salut,

Dans les  BD, on retrouve toujours les mêmes :
* Anselme Lanturlu qui a le chic pour expérimenter et se retrouver dans des situations paradoxales qui intriguent le lecteur,
* Alors intervient Sophie (du grec sophos = la sagesse, tout sauf un hasard le prénom) qui est chargée de dissiper le brouillard,
* la corneille au chapeau d'Oxford et le Pélican qui fume le cigare qui questionnent, avancent des explications tour à tour,
* et l'escargot Tyresias, le faux Candide de service, qui pose parfois des questions qui dérangent...
 

Dans la mythologie grecque, devin aveugle de Thèbes. Selon L'Odyssée, il garda le don de prophétie jusqu'aux Enfers où Ulysse alla le consulter

@+

zeff

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Re : un ensemble n ?

Bonsoir

Je viens de lire le logotron et je n'ai pas pu m'arrêter, je suis donc aller jusqu'au bout, c'est génial, plein de créativité, et très instructif.
D'un seul coup le Théorème de Gödel m'est apparu bien plus compréhensible, (surtout après la lecture du livre de Cassou Noguès sur Gödel ^^)
J'aime bien Tyresias, on fait un peu de "gastéromathose" : digestion très lente, mais on ingurgite petit à petit et tout fini par s'éclairer jusqu'aux enfers...

En tout cas l'objectif de savoir sans frontière est remarquable et mérite vraiment d'être connue du plus grand nombre, merci de me l'avoir fait connaître.

a+

Dernière modification par zeff (17-07-2015 20:38:23)

yoshi

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Re : un ensemble n ?

Salut,

Ravi que ça t'ai plu...
Et c'est pas fini !
Le Geometricon, c'est le premier par lequel j'ai commencé, il y a (à la louche) 40 ans : à l'époque, ils étaient vendus en librairie ! Après ce fut Tout est relatif avec, en Guest Star, M. Albert (normal !) en patron de manège qui tourne très très très vite, marin, prof de Physique... Avec la réaction de Tyresias :
<< Ainsi, si j'accélère (!!), moi, Tirésias,  je tasse tout l'univers en accordéon dans la direction de mon déplacement. Quel pouvoir !  >>
Après j'avais acheté Le trou noir...

Allez bonne lecture ! Attention à la surchauffe quand même, hein.

@+

zeff

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Re : un ensemble n ?

Bonjour,

ok, qui va piano va sano mais tellement de choses à découvrir et de tant de manières !!  Par contre le lien que tu as mis
"Théorie axiomatique des ensembles" et qui m'intéresse beaucoup ne fonctionne apparemment plus, sais-tu comment avoir accès au pdf pour impression ? merci à toi

A+

yoshi

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Re : un ensemble n ?

Ave,

Bizarre !
Je viens de cliquer sur le lien, le pdf s'affiche sans pb avec
- Firefox
- Chrome
Ça coince avec Internet Explorer Internet Explorer...
Je viens de le télécharger, je te l'ai expédié sur ton mail déclaré à l'inscription sur BibMath...

@+