Forum de mathématiques - Bibm@th.net

htina

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Valeurs propres

Bonjour,
on considère le problème au limites suivant:
[tex]
\begin{cases}
y'' + \lambda y =0\\
y'(0)=0\\
y(1) - y'(1)=0
\end{cases}
[/tex]
où [tex]\lambda \in \mathbb{R}.[/tex]
On sait que [tex]\lambda = 0[/tex] n'est pas une valeur propre pour ce problème (puisqu'elle nous donne la solution triviale).
- La question est: montrer que[tex] y(x)= A \cos(\alpha x) + B \sin (\alpha x)[/tex] vérifie les conditions au limites du problème, si [tex]B=0[/tex] et[tex] \alpha[/tex] est une racine positive de l'équation [tex] tan z = \dfrac{1}{z}[/tex].
Voici ce que j'ai fait. Pur que y vérifie la première condition, il faut que [tex]\alpha [-A \sin(0) + B \cos(0)=0[/tex] ce qui implique que soit[tex] \alpha = 0[/tex], soit [tex]B=0[/tex]
1- Ma question est: pourquoi on élimine ici le cas [tex]\alpha = 0[/tex]?
Ensuite, y vérifie la deuxième condition ssi [tex]A = 0[/tex] ou[tex] \cos(\alpha) - \alpha \sin(\alpha)=0[/tex].
2-  Ma question est pourquoi éliminer le cas [tex]A=0[/tex]? Et qu'est ce qui nous permet de diviser sur [tex]\cos(\alpha)[/tex] afin d'obtenir la formule demandée dans l'exercice?
Merci beaucoup.

Dernière modification par htina (07-05-2015 14:09:35)

Fred

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Re : Valeurs propres

Je pense que tu avancerais déjà beaucoup dans la résolution de cet exercice si tu te posais la question du lien entre [tex]\lambda[/tex] et [tex]\alpha[/tex]....

htina

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Re : Valeurs propres

mais ils ne donnent pas ce lien. Comment le deviner? D'habitude, on prend [tex]\lambda = \alpha^2[/tex], mais ils ne disent pas cela dans l'énoncé, donc comment le deviner tout seul?
Et pour ma question 2 svp? Pourquoi on peut diviser sur[tex] \cos(\alpha)[/tex]?

Dernière modification par htina (07-05-2015 15:00:23)

htina

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Re : Valeurs propres

Je trouve que y vérifie les conditions au limites ssi [tex]B=0[/tex] et \alpha est racine de[tex] tan z = \dfrac{1}{z}[/tex] ([tex]\alpha \in \mathbb{R}^*[/tex]). Pourquoi est-ce que ces racines doivent être positives? Merci .

Roro

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Re : Valeurs propres

Bonsoir htina,

Je répond en vrac à plusieurs interrogations :

1 - le lien entre [tex]\alpha[/tex] et [tex]\lambda[/tex] n'est pas explicitement donné car tu peux le trouver directement en utilisant l'équation différentielle [tex]y"+\lambda y = 0.[/tex]

2 - [tex]A \neq 0[/tex] sinon tu obtiendrais la solution nulle [tex]y=0[/tex].

3 - [tex]\cos(\alpha) \neq 0[/tex] sinon tu en déduirais aussi [tex]\sin(\alpha)=0[/tex]...

4 - une question à mon tour : n'y a-t-il pas une erreur de signe dans la condition [tex]y(1)-y'(1) = 0[/tex] ?

Roro.

htina

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Re : Valeurs propres

Bonsoir Roro,
s'il vous plaît, pourquoi si \cos(\alpha)= 0 alors \sin(\alpha)=0?
Aussi, pourquoi est-ce qu'ils ont précisé que \alpha doivent être les racines positives de l’équation? pourquoi précisément positives?
Pour l'erreur de signe, non j'ai bien recopié l'énoncé. Pourquoi pensez vous qu'il y' ait une erreur de signe?

Roro

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Re : Valeurs propres

Bonjour htina,

Je crois que tu es parti un peu dans tous les sens dans cet exercice. Il faut dire que les questions initiales n'étaient pas forcément très claires. A mon avis, le plus simple est que tu reprennes en cherchant directement :

1 - l'ensemble des solutions de l'équation [tex]y"+\lambda y = 0[/tex] (c'est du cours niveau L1; le reste est plus simple encore à condition de s'y prendre méthodiquement).

2 - Parmi ces solutions, lesquelles vérifient [tex]y'(0)=0[/tex] ?

3 - Parmi les solutions restantes, lesquelles vérifient [tex]y'(1)=y(1)[/tex] ? (p.s. tu ne veux pas qu'il n'y ait que [tex]y=0[/tex] comme solution)

Si tu réponds à ces questions (indépendamment à celles que tu as initialement posées) tu devrais avoir tout compris...

Roro.

htina

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Re : Valeurs propres

J'ai posé[tex] \lambda = \alpha^2[/tex] où [tex]\alpha \in \mathbb{R}^*[/tex] et j'ai trouvé que [tex]y(x)=A \cos(\alpha x) + B \sin (\alpha x)[/tex] est solution générale de l'edo. Pour quelle soit solution du pb, il faut que[tex] B=0[/tex], et que \alpha soit solution de tan z= \dfrac{1}{z}.
Pour moi [tex]\alpha \in \mathbb{R}*[/tex], pourquoi eux ils disent que [tex]\alpha[/tex] est strictement positif?
Merci.

Roro

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Re : Valeurs propres

Pourquoi sais-tu que [tex]\lambda > 0[/tex] ? (puisque tu l'écris comme [tex]\alpha^2 avec \alpha \neq 0[/tex])

Je trouve que [tex]\alpha[/tex] est solution de [tex]\tan z = - \frac{1}{z}[/tex] !!!

Roro.

Dernière modification par Roro (09-05-2015 14:12:29)

htina

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Re : Valeurs propres

Tu as raison Roro. \alpha vérifie l'équation [tex]tan z = -\dfrac{1}{z}[/tex]. Et donc \alpha doit être strictement négative? Ou bien il y'a une erreur dans l'énoncé?
Mais je ne comprend pas votre question: pourquoi sais-tu que \lambda > 0?

Roro

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Re : Valeurs propres

Mais je ne comprend pas votre question: pourquoi sais-tu que [tex]\lambda > 0[/tex]?

Dans ton post 8 tu commences par dire

J'ai posé [tex]\lambda = \alpha^2[/tex]

C'est donc que tu as supposé que [tex]\lambda>0[/tex] ! Pourquoi fais-tu cette hypothèse ?

Roro.

Dernière modification par Roro (09-05-2015 17:28:51)

htina

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Re : Valeurs propres

C'est dans la recherche des valeurs propres, on regarde le cas où[tex] \lambda > 0[/tex]. Sinon pour le reste, j'ai enfin compris. Merci beaucoup pour votre aide.