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mona123

Invité

analyse de hilbert

s' il vous plaît peut quelqu'un m'aider à répondre à ce problème:
Si Y est un espace propre correspondant à une valeur propre λ d'un opérateur T, déterminer le spectre de T | Y justifier votre reponse .
T | Y designe la restriction de T sur Y

Y =Ker(T - λId) est un sous vectoriel fermé de H donc est un sous-Hilbert ; et la restriction S de T à Y  est l'homothétie  x →λx .

σ(T) est l'ensemble des z   tels que T - z.Id_H (ie l'application x→  (λ - z).x  de H dans H ) n'est pas inversible .
  on doit chercher  les complexes k tels que x → k.x  est inversible
mais je n'arrive pas a repondre pouvez vous m'aider s'il vous plait.
merci

Fred

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Re : analyse de hilbert

C'est très facile je pense : si [tex]Tx=\lambda x[/tex] pour tout x, quel est la réciproque de [tex]T-kI_d[/tex] quand [tex]k\neq\lambda[/tex]?

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

salut Fred
et concernant cette question j'ai ecrit:
déterminons le spectre de T_|Y
on a T_|Y:   Y→Y
               x→ T_|Y(x)=λx
σ(T_|Y)={k ∈C telque T_|Y -k Id  est non inversible}
on a pour tout x dans Y
(T_|Y -k Id)(x)= T_|Y(x)-kx=λx-kx=(λ-k)x
donc pour tout k#λ  ona T_|Y -k Id est inversible et son inverse est 1/(λ-k) (T_|Y -k Id)
et pour k= λ on a (T_|Y -k Id)=(T_|Y -λ Id) n'est pas inversible car Y est le sous espace propre correspondant à une valeur propre λ de l' opérateur T
conclusion:σ(T_|Y)={λ}
ma reponse est elle juste .merci

Fred

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Re : analyse de hilbert

Oui, c'est bon.