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mona123

Invité

analyse de hilbert2

bonjour j'ai une autre question que je n'ai pas pu resoudre :
Soit X = (C [0, π],C) et de définir T: D (T) → X par x → x "
où D (T) = {x ∈X | x ', x''∈X, x (0) = x (π) = 0}
montrer que σ (T) n' est pas compacte
ou σ(T) est Le spectre
je croit qu'on doit déterminer Vp(T) et montrer qu'il n'est pas compact et cela nessecite la resolution de l'equation f''=λf
mais je me trouve incapable de repondre pouvez vous m'aider sil vous plait
merci en avance

Fred

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Re : analyse de hilbert2

Il faudrait que tu saches résoudre ce genre d'équation différentielle (avec une dérivée seconde ici). Tu peux consulter ce résumé de cours.

Pour ton problème, tu peux juste regarder ce que vaut [tex]T(f_n)[/tex] où [tex]f_n(x)=\sin(nx)[/tex] par exemple...

F.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert2

bonjour Fred
voici ce que j'ai fait:
puisque Vp(T) est inclu dans σ(T)
on va chercher une suite de Vp(T) telque sa limite est infinie
il s'agit de resoudre l'equation f''=λf avec λ∈R (1)
l'equation caracteristique associée a (1) est donner par CARRé(r)=λr
si λ=0 alors la solution generale de(1) est donnée par
f(x)=ax+b ou a,b∈R
les condition au bord f(O)=f(π) = 0 entrainent que f=0 donc λ=0 n'est pas valeur propre.
si λ<0 alors la solution generale de(1) s'ecrit f(x)= a cos(√(-λ)x)+ b sin (√(-λ)x)
or f(0)=a=0
Donc f( π) = 0=b sin (√(-λ)π)
donc λ= -carrée(n) est une valeur propre associée au vecteur propre f( x)=sin (nπ)
on a alors λ= -carrée(n)∈ Vp(T)⊂σ(T) et λ tend vers l'infini quand n tend vers linfini donc σ(T) n'est pas borné donc il n'est pas compact
pouvez vous me corrigé ma reponse ;ou ameliorer la redaction s'il vous plait.merci en avance

Fred

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Re : analyse de hilbert2

Tout va bien, tout va bien...