Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Dredriban

Membre

Inscription : 06-03-2014

Messages : 55

Méthode pour faire une jordanisation ?

Bonsoir,

Je viens de tomber sur un bout de mon cours que je ne saisis pas du tout : La jordanisation. Je ne comprends pas quelle est la méthode à employer. Arrêtez-moi si je me trompe, on réalise une jordanisation, quand on a une matrice, qu'on a ses valeurs propres, et qu'on a trouvé des vecteurs propres. MAIS, on doit jordaniser quand on a trouvé qu'un seul vecteur propre par-exemple alors que la matrice de départ est de dimension 2. On jordanise justement pour trouver ce vecteur manquant. Et ainsi, rendre la matrice diagonalisable. Je l'ai compris comme ça en tout cas. Est-ce bien ça ?

Et du coup, quelle est la méthode à appliquer pour jordaniser ? Merci à vous. Bonne soirée.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Méthode pour faire une jordanisation ?

Salut,

  Tu as presque raison, sauf que ce n'est pas une matrice diagonale que tu obtiens, c'est une matrice triangulaire supérieure.
L'obtention d'une réduction de Jordan dans la pratique est un peut pénible, mais dans les cas particuliers usuels, c'est plus facile.

Si par exemple tu as une matrice 2x2 comme tu le décris, tu prends comme premier vecteur un vecteur propre, et comme second vecteur n'importe quel vecteur qui n'est pas colinéaire au premier. Tu obtiendras bien une matrice réduite triangulaire supérieure.

F.

Dredriban

Membre

Inscription : 06-03-2014

Messages : 55

Re : Méthode pour faire une jordanisation ?

Hey ! Merci de la réponse. Mais du coup l'intérêt ici c'est d'avoir une matrice quasiment diagonale pour appliquer le A = PJP^-1. N'est-ce pas ?

Y-a-t-il une méthode propre à appliquer ? Ou je peux dire "Je choisis ce vecteur car il n'est pas colinéaire avec le vecteur propre" comme ça ? Et pour une matrice 3*3 du coup ? Si j'ai qu'un seul vecteur propre, j'en choisis 2 autres non-colinéaires avec le vecteur propre et non-colinéaires entre-eux ?

Merci beaucoup ! Ça paraît plus clair ! Mais attends du coup, la nouvelle matrice 2*2 composée de ton vecteur propre + celui non-colinéaire c'est quoi ? La matrice de Jordan ou celle de passage ? Comment trouver l'autre du coup ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Méthode pour faire une jordanisation ?

Hey ! Merci de la réponse. Mais du coup l'intérêt ici c'est d'avoir une matrice quasiment diagonale pour appliquer le A = PJP^-1. N'est-ce pas ?

C'est cela!

Y-a-t-il une méthode propre à appliquer ? Ou je peux dire "Je choisis ce vecteur car il n'est pas colinéaire avec le vecteur propre" comme ça ? Et pour une matrice 3*3 du coup ? Si j'ai qu'un seul vecteur propre, j'en choisis 2 autres non-colinéaires avec le vecteur propre et non-colinéaires entre-eux ?

Pour une matrice 3x3, ça dépend de plein de choses. Y-a-t-il seulement 1 valeur propre, ou bien deux valeurs propres dont une valeur propre de multiplicité 2.
Si tu n'as qu'une valeur propre [tex]\lambda[/tex], tu dois choisir  :
1. un vecteur propre
2. un élément de [tex]\ker(M-\lambda I_n)^2[/tex] qui n'est pas proportionnel au premier vecteur propre
3. un élément de [tex]\ker(M-\lambda I_n)^3[/tex] qui est indépendant des deux premiers éléments choisis.

Merci beaucoup ! Ça paraît plus clair ! Mais attends du coup, la nouvelle matrice 2*2 composée de ton vecteur propre + celui non-colinéaire c'est quoi ? La matrice de Jordan ou celle de passage ? Comment trouver l'autre du coup ?

Celle que tu obtiens est la matrice de passage. Tu obtiens l'autre par la formule du changement de base (par exemple).

Dredriban

Membre

Inscription : 06-03-2014

Messages : 55

Re : Méthode pour faire une jordanisation ?

Merci ! C'est vachement complexe comme notion, je trouve. J'ai fait un exercice en cours, et je pense avoir saisi la méthodologie avec tes explications, dis-moi si je suis dans le faux :

1/ J'ai une matrice A.
2/ Je calcule les valeurs propres. Ok, j'en trouve une. Dans mon cas, je trouvais une valeur propre double = -1.
3/ Je calcule les vecteurs propres. Mince, j'en trouve qu'un. Dans mon cas : (-1 ; 1). Or comme la matrice initiale est une 2*2, je dois trouver 2 vecteurs. Ici, j'en ai qu'un.
4/ Je jordanise. Dans l'exercice en question, on pose u₁ = vecteur propre ; u₂ = vecteur que l'on recherche = (x; y).
5/ Ensuite, on dit qu'il faut que (A - λI)u₂ = u₁. Dans mon exemple ça me donne :

x + y = -1 et (-x) + (-y) = 1. Sachant qu'on veut une triangulaire supérieure, par définition notre y de notre u₂ vaut 0. Donc si on part du principe que y = 0, x vaut forcément -1. Ainsi, on a u₂ = (-1 ; 0).

6/ On dit juste que J = (u₂ ; u₁) et P = (u₁ ; u₂). Cette méthode marche-t-elle partout du coup ou pas ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Méthode pour faire une jordanisation ?

Salut,

  Tu fais une erreur quand tu dis que forcément, on a y=0, car tu confonds la matrice de passage et la matrice J que tu veux obtenir à la fin.
Si tu imposes que y=0, c'est une condition sur la matrice de passage que tu imposes, pas sur J.
En réalité, ici, tu peux choisir n'importe quelle valeur pour y qui fait que le vecteur [tex]u_2[/tex] que tu obtiens ne soit pas colinéaire à [tex]u_1[/tex].
Le fait que la matrice obtenue soit une réduite de Jordan vient des deux conditions suivantes :
[tex] Au_1=\lambda u_1[/tex] et [tex]Au_2=\lambda u_2+u_1[/tex]. Ces deux conditions te disent que la matrice de A dans la base [tex](u_1,u_2)[/tex] est exactement :

[tex]J=\left(
\begin{array}{cc}
\lambda&1\\
0&\lambda\end{array}\right) [/tex].

F.

Dredriban

Membre

Inscription : 06-03-2014

Messages : 55

Re : Méthode pour faire une jordanisation ?

Merci. Du coup ça ne marchera pas partout de poser un y = 0 après tout s'il faut un J triangulaire supérieur. On doit avoir un 0? Ton lambda c'est la valeur propre ? Mais du coup, une fois qu'on a u₁ et u₂, on est d'accord que P = (u₁ ; u₂) et J = (u₂ ; u₁) ?

Dernière modification par Dredriban (25-04-2015 06:15:17)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Méthode pour faire une jordanisation ?

Oui, lambda c'est la valeur propre. Et non, J n'est pas égal à (u2,u1) (tu confonds vraiment matrice de passage et matrice de l'application linéaire). J est la matrice que je t'ai donné au post #6.

F.

Dredriban

Membre

Inscription : 06-03-2014

Messages : 55

Re : Méthode pour faire une jordanisation ?

Ok merci. Je commence à mieux cerner la chose. Du coup, j'applique tes 2 conditions pour avoir ma matrice de passage ? Elle s'écrit comment d'ailleurs ? Et J comme tu me l'as indiqué. Si je n'ai qu'une seule valeur propre je peux la mettre 2 fois dans J du coup ?

EDIT : Question que je me suis toujours posé dans la matrice diagonale et dans la jordan également, il y a un sens pour mettre les valeurs propres ? Ou peu importe dans quel sens tu les mets dans qu'elles sont dans la diagonales ça va ?

Dernière modification par Dredriban (25-04-2015 11:43:08)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Méthode pour faire une jordanisation ?

La matrice de passage, c'est la matrice (u1,u2).
Le sens pour mettre les valeurs propres dépend du sens dans lequel tu écris les vecteurs propres associés dans la matrice de passage.
Si tu commences par écrire [tex]\lambda_1[/tex] dans la matrice réduite, tu dois commencer par mettre les vecteurs propres associés à [tex]\lambda_1[/tex] dans la matrice de passage, et ainsi de suite...

F.

Dredriban

Membre

Inscription : 06-03-2014

Messages : 55

Re : Méthode pour faire une jordanisation ?

Super ! Merci. :)