Microéconomie - Equilibre de Walras.

Dredriban · 16-04-2015 15:23:21

Bonjour à tous,

Je reviens vers vous concernant une notion en microéconomie. Un cas particulier. Je vous explique.

Il y a un exercice type où l'on a 2 fonctions d'utilité et les allocations de chaque consommateur. Avec l'utilité et les allocations, on doit trouver les quantités optimales que les consommateurs consommeraient dans un équilibre walrasien. Cela vous parle ? Il existe plusieurs cas de figures :

1/ Les 2 fonctions d'utilités sont les mêmes du type Cobb-Douglass. C'est simple. Cela suit la résolution basique : 1/ On regarde si c'est un état réalisable. 2/ On calcule la contrainte budgétaire. 3/ On calcule les quantités optimales. 4/ On calcule les demandes excédentaires. 5/ On remplace les quantités optimales dans les demandes. 6/ On isole les prix pour trouver le rapport des prix qui convient. 7/ Une fois les prix trouvés, on les remplace dans les quantités optimales pour trouver ces dernières. Je sais faire ça.

2/ Les 2 fonctions d'utilités sont différentes mais sont du type Cobb-Douglass. Cela suit le même raisonnement qu'en haut. Je sais faire (J'ai juste une question que je poserai plus bas).

3/ Les 2 fonctions d'utilités ne sont pas les mêmes ET ne sont pas du type Cobb-Douglass. Cas classique, on parle de solution en coin (Un bien est consommé à sa quantité maximale selon le budget et l'autre a une quantité optimale égale à 0). Là je ne sais pas faire. Et j'aimerais remédier à cela.

A cela s'ajoute une question : Quand les utilités sont les mêmes, la courbe de Pareto est forcément une droite reliant les origines de chaque axe de la boîte d'edgeworth. Par-contre, quand elles ne sont pas les mêmes, c'est une courbe. MAIS comment fait-on pour savoir si cette courbe est convexe ou concave ?

Voici mes 2 incertitudes. Cela doit être flou pour vous. Prenons un exemple :

U₁ = 2x₁₁ + x₁₂
U₂ = x₂₁ + 2x₂₂

e₁ = (2 ; 8)
e₂ = (8 ; 2).

Donc comme pour tout ce genre d'exercice j'applique la méthode de base :

1/ Montrer que c'est un état réalisable donc que :

x₁₁ + x₂₁ = 10.
x₁₂ + x₂₂ = 10

2/ Le budget :

p₁*x₁₁ + p₂*x₁₂ = 2p₁ + 8p₂
p₁*x₂₁ + p₂*x₂₂ = 8p₁ + 2p₂

Et on a TMS₁ = 2 et TMS₂ = 1/2 du coup les 2 TMS sont différents. On sait qu'on aura une solution en coin.

Mais du coup après je ne sais pas quoi faire dans ce genre d'exercice : Pour trouver les prix ET les quantités optimales de l'équilibre Walrasien. Et pour savoir quelle allure aura la courbe de Pareto.

Quelqu'un peut m'aider ? Merci à vous. Bonne journée.

freddy · 17-04-2015 08:25:18

Salut,

t'es en quelle année de quoi ?

Dredriban · 17-04-2015 09:09:16

Salut ! Je suis en deuxième année de licence économie-gestion !

freddy · 17-04-2015 11:16:23

Re,

un lien pour que tout le monde te suivent ... Walras et Pareto et éventuellement t'éclairer plus avant.
On y trouve la fameuse boîte d'Edgeworth.
Je dois un peu réfléchir avant de te répondre, je laisse volontiers ma place à un autre intervenant.

Dredriban · 17-04-2015 11:27:19

Ça marche ! Merci ! :)

freddy · 19-04-2015 21:29:56

Salut,

j'ai fait les calculs pour l'exemple donné. En fait, les deux consommateurs n'ont pas besoin de faire des échanges (donc il n'y a pas de prix, car pas de marché). Ils consomment toute leur dotation initiale et atteignent l'objectif de maximiser leur utilité (U=12)

Tu es dans quelle université ?

Dredriban · 20-04-2015 07:14:53

Merci. Du coup, je dis que le consommateur 1 consomme uniquement 6 quantités du bien 1 et le consommateur 2 consomme seulement 6 unités du bien 2 car leurs utilité est indicée d'un 2 ?

Et pour la courbe de Pareto, quand les préférences ne sont pas les mêmes comment savoir si elle est convexe ou concave ?

En éco-gestion à Aix-Marseille !

freddy · 20-04-2015 08:06:38

Re,

non, je t'ai dit qu'ils consommaient toute leur dotation initiale !

Quant aux courbes de préférences, la concavité de la fonction d'utilité est une obligation technique. Si elle est convexe, le programme d'optimisation n'est pas soluble.

Dernière modification par freddy (20-04-2015 11:56:42)

Dredriban · 20-04-2015 16:53:08

Salut !

Je ne comprends pas. En cours, on a parlé de solution en coin, c'est à dire de solution où chaque consommateur aurait une quantité d'un bien égale à 0 et l'autre égal au maximum possible. Comment en arrives-tu à ces conclusions ? Finalement, tu as posé les allocations = quantités consommées pour trouver 12, me trompe-je ?

Concernant la convexité ou concavité, tu ne me suis pas. En fait, dans la boîte d'Edgewort, il faut tracer la courbe de Pareto. C'est sur cette courbe que se trouvera la quantité optimale à consommer pour les consommateurs. Cette courbe est une droite reliant les 2 origines si et seulement si les préférences des 2 consommateurs sont les mêmes. Si ce n'est pas le cas, c'est une courbe reliant toujours les deux origines mais soit convexe, soit concave.

Je te montre un exemple que j'ai essayé de refaire sous forme papier :

On a 2 utilités différentes. J'ai calculé les TMS. J'ai calculé également les états réalisables. C'est à dire poser que la somme des quantités consommées est égale aux allocations.

J'égalise les 2 TMS. Je remplace les biens par leur valeur (Calculée en isolant dans l'équation citée plus haut) et j'arrive à exprimer l'équation de la courbe de Pareto comme tu peux le voir à la fin. Cependant, avec cette équation, je ne sais pas en déduire si c'est convexe ou concave. Dans l'exemple montré, il l'a dessiné concave. Elle doit donc être concave. Il n'y a qu'en disant que cela dépend des dérivées premières que j'arrive à être d'accord. Or, la concavité/convexité dépend des dérivées secondes. Du coup, j'aimerais que tu m'éclaires ! Je t'ai mis tout le raisonnement, c'est juste comment conclure que je ne comprends pas.

Version Papier

freddy · 20-04-2015 21:03:51

Re,

je veux bien tout ce que tu veux, j'ai simplement résolu le programme d'optimisation de chaque consommateur (max de U sous la contrainte de budget) et j'ai trouvé que la seule solution pour chacun était de consommer sa dotation initiale, sans faire d'échanges.
Pour la suite, j'avoue que je ne suis pas très doué pour appliquer des formules toutes faites. Je raisonne et calcule à partir de principes logiques. Donc j'ai un peu de mal à répondre à ta question. Et je ne connais pas le cours de ton prof.
Pourrais tu me donner le sujet complet de l'exemple que tu as joint en image, stp ? Ça pourrait me donner des idées.

Dernière modification par freddy (20-04-2015 21:04:48)

Dredriban · 21-04-2015 07:07:14

http://i1119.photobucket.com/albums/k62 … mage_1.jpg
http://i1119.photobucket.com/albums/k62 … mage_2.jpg

Merci. Je comprends ton calcul MAIS mon professeur nous a clairement dit que c'était une solution en coin avec une utilité de 12. Et c'est là que ça coince. Ton raisonnement impliquerait que dès le départ ils seraient dans une situation optimale.

Voici les 2 énoncés de ce que j'ai fait. La première image représente les deux fonctions et la seconde le graphique avec la concavité.

Je suis sur mobile. Je mettrai les balises images une fois sur PC.

freddy · 21-04-2015 08:09:08

Re,

je veux bien ce que dit ton prof, mais la résolution du pb d'optimisation (as-tu entendu parler de Lagrangien ?) me dit autre chose, sauf erreur.
Plus précisément, on trouve [tex]12 = 2x_{11}+x_{12}[/tex] et [tex]12 = x_{21}+2x_{22}[/tex]. j'en déduis que les dotations initiales individuelles suffisent.

Dernière modification par freddy (21-04-2015 09:58:25)

Dredriban · 21-04-2015 11:15:54

Je suis d'accord avec ton raisonnement, j'arrive aux mêmes conclusions : Une utilité de 12 en remplaçant les quantités par les allocations. Jusque là je suis d'accord. Mais mon professeur a ensuite dit que c'était une solution en coin donc qu'un seul bien serait consommé. Solution en coin étant donné que les TMS ne sont pas égaux. N'étant pas égaux, il est dur de réaliser un Lagrangien, non ? Les conditions des TMS découlent du Lagrangien me semble-t-il.

Dernière modification par Dredriban (21-04-2015 11:17:13)

freddy · 21-04-2015 11:38:57

Re,

Ton prof a dit, ok, mais a t-il apporté la preuve du propos ? C'est cela qui me gêne. Pour l'heure, je ne vois pas comment la "solution en coin" est une conclusion incontournable dans ton problème.
L'égalité des TMS = point de tangence et d'intersection des courbes de préférence. C'est une conséquence, pas une contrainte fonctionnelle.
Le pb que je rencontre avec toi est que tu appliques des "recettes" avec bcp d'application, et cette démarche me dérange au plan technique et méthodologique. Les "recettes" sont des conclusions de démarches raisonnées. Pour les appliquer, faut en connaître l'origine.

Dredriban · 21-04-2015 18:23:39

Yep. Merci. Je suis d'accord avec toi. Je ne comprends pas trop ce problème et son raisonnement. En gros il nous a dit en cours "Si TMS différents, on a une solution en coin". Et j'aime pas du tout ce cas, je ne le comprends pas. Je comprends ton raisonnement tu arrives à une situation où les allocations sont égales aux quantités consommées du coup tu as 2*2 + 8 = 12 et 8 + 2*2 = 12. Mais ta conclusion me surprend. L'exemple n'aurait pas d'intérêt si l'allocation était déjà optimale.

J'ai pas eu accès à l'ordinateur aujourd'hui, si ça ne te dérange pas de regarder avec mes liens pour l'autre problème sinon j'essayerai de les mettre en balise demain !

freddy · 22-04-2015 21:06:15

Re,

en résolvant les deux pgm d'optimisation des deux consommateurs, je trouve :

[tex]x_{11} = 24,\,x_{12} = 15,\,x_{21} = 6,\,x_{22} = 15,\, \frac{p_2}{p_1}=\frac{4}{5}[/tex]

Ça te va ? Je peux détailler les étapes du calcul si tu veux.

Dredriban · 23-04-2015 07:01:21

Merci. Mais tu me parles de quel exercice ? Celui en coin ou l'autre ? Parce que si c'est l'autre, justement dans ces cas-ci j'arrive à trouver les solutions optimales. Ce qui me tracasse c'est juste connaître la forme de la courbe de Pareto.

freddy · 23-04-2015 14:01:25

Salut,

je te parle du sujet avec les deux Cobb Douglas asymétriques que tu as mis en lien.
Quant à la courbe de Pareto, vaudrait mieux que tu parles de la courbe des contrats qui se trouvent être Pareto-optimaux. C'est le lieu géométrique des points d'égalité des TMS, sans tenir compte des dotations initiales effectives. En fait, elles constituent les paramètres de la fonction dont on trace la courbe représentative.
Pour sa forme en général, je n'ai pas, à l'heure qu'il est, d'idée bien claire. Faut que je regarde plus avant.

Dernière modification par freddy (25-04-2015 16:16:21)

Dredriban · 23-04-2015 16:59:54

D'accord ! Merci ! Je pense que je me prends la tête pour un détail graphique, mais j'aimerais comprendre comment savoir quand les utilités ne sont pas les mêmes, quelle forme à la Pareto. Merci en tout cas !

Tiens regarde :

Jette un coup d'oeil

Je suis en train de me questionner. On est d'accord, que je peux dire que par transformation croissante les fonctions d'utilités sont :

U₁ = x₁₁*x₁₂
U₂ = x₂₁*x₂₂

Ou pas ?

a) Pour cette question, il suffit que je dise que :

x₁₁ + x₂₁ = 10
x₂₂ + x₁₂ = 10 ?

b) Là je dois vérifier si

x₁₁ + x₂₁ <= e₁₁ + e₂₁
x₂₂ + x₁₂ <= e₁₂ + e₂₂ ? (En remplaçant chaque e par ce qui est donné).

c) Je peux conclure directement juste avec les chiffres sur cette question ? Ou je dois recalculer les quantités optimales ? J'ai un doute sur cette question.

d) Là je fais le raisonnement que j'expliquais dans mon premier post, non ? Avec du coup :

x_h1 = R/2p₁
x_h2 = R/2p₂

Comme quantités optimales ? Et je fais avec les demandes excédentaires.

e) Et là je remplace dans les quantités optimales par le prix trouvé, c'est bien ça ?

f) Là du coup, on nous donne les quantités optimales et à nous de trouver le prix, c'est bien ça ? Mais on repart de quoi du coup ? Et le transfert, j'ai du mal à saisir la question.

Merci si t'avais le temps d'y jeter un coup d'oeil !

freddy · 25-04-2015 13:12:02

Salut,

dès le départ, ta transformation des fonctions d'utilité est fausse ... Difficile de bien répondre ensuite.

Dredriban · 25-04-2015 13:15:19

Merci. Du coup je dois bien garder la puissance 3 pour chacun. C'est bien ce que je pensais. Mais du coup le reste il faut faire ça ?

freddy · 25-04-2015 13:33:57

Non, tu dois garder la forme qu'on t'a donnée.
Pour la forme de la courbe des contrats, je suis désolé, je n'ai pas de règle à te donner.
Dans l'exemple fourni (photos), je trouve, sauf erreur, l'équation suivante : [tex]x_{12} = \frac{1}{4}\times \frac{x_{11}\times X_2}{X_1-\frac{3}{4}x_{11}}[/tex], [tex]X_i[/tex] étant la dotation totale du bien [tex]i[/tex].

Dernière modification par freddy (27-04-2015 07:32:47)

freddy · 25-04-2015 16:17:50

Re,

quelle définition as tu d'un "état réalisable" ?

Dredriban · 25-04-2015 17:01:13

Re !

Je ne suis pas totalement d'accord avec toi. Dans mon cours, j'ai ça :

U = x₁^a*x₂^b = alnx₁ + blnx₂. D'où ma transformation croissante. Sinon, je ne m'en sors pas avec les ln pour cet exercice.

Concernant la question b, je suis dans le doute. Pour moi un état réalisable c'est la somme sur h des x_hi <= somme sur h des e_hi. Or, si je respecte cette condition et la vérifie, les 3 allocations marchent. Cela me paraît douteux. Il doit y avoir une seconde condition qui m'échappe.

Du coup, je ne sais pas faire la c. Je pensais à changer les dotations données dans la fonction d'utilité et voir laquelle était la mieux en terme d'efficacité sociale (Respectant le critère de Pareto) mais je doute que cela soit.

freddy · 25-04-2015 17:11:22

Re,

Houlala ! sur un site de maths, n'écris jamais cette c*** [tex]x^ay^b = a\ln(x)+b\ln(y)[/tex] qui est une monstruosité sans nom :-)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 16-04-2015 15:23:21

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