Forum de mathématiques - Bibm@th.net

kassgbada1991

Membre

Inscription : 01-04-2015

Messages : 5

logique

bonjour,s'il vous plait ,aidez-moi à résoudre ce problème...je ne sais pas par où commencer.
On demande de démontrer par l'absurde qu'il n'y a pas d'application strictement décroissante de  [tex] \mathbb{N}[/tex] dans [tex]\mathbb{N}[/tex]

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : logique

Salut,

suppose qu'elle existe et demande toi ce que serait l'image de 0 par cette fonction ! ...
Par hypothèse, [tex]f(0) \lt 0[/tex] et [tex]f(0) \in N[/tex].
Est-ce possible ?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : logique

Bonjour,

Je n'ai pas trop compris la réponse de Freddy c'est pourquoi je me permet d'en fournir une autre :

Supposons qu'il existe une fonction [tex]f:\mathbb N \longrightarrow \mathbb N[/tex] strictement décroissante.
On note [tex]a=f(0) \in \mathbb N[/tex].
Par récurrence on peut montrer que pour tout [tex]n\in \mathbb N[/tex] on a [tex]f(n)\leq a-n[/tex].
Ainsi, on aurait [tex]f(a+1)<0[/tex] ce qui contredit que [tex]f(a+1)\in \mathbb N[/tex].

Roro.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : logique

Salut Roro,

ma réponse est exactement la tienne, sauf que je l'ai faire en mode Fred, c'est à dire que je donne des éléments de réflexions à notre ami, sans lui donner de preuve directe.
Il m'avait semblé que c'était ce que demandait le camarade, mais à la relecture de son post, en effet, il voulait une preuve. Sorry !

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : logique

Salut Freddy,

En général je suis sur le même mode de réponse... mais dans le cas présent je n'avais pas compris ta "preuve". Par exemple pourquoi tu peux dire "Par hypothèse f(0)<0" ???

Roro.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : logique

Puisque la fonction est supposée strictement décroissante, je ne peux pas considérer que f(0) < à un nombre entier > 0, non ?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : logique

Re,

Je m'entête à ne pas comprendre : tu dis "considérer que f(0) < à un nombre entier > 0" oui, mais pourquoi f(0)<0 ???

Roro (qui doit avoir un neurone de coincé !)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : logique

Salut,

voici l'enchaînement d'idées pour arriver au truc qui te dérange. Cela étant, c'est possible que je me sois trompé.
Donc je me suis dit : soit f une fonction de N dans N strictement décroissante. Que vaut alors f(0) ? Bien entendu, il ne peut pas être dans N, et de plus, il est strictement inférieur à  0.
En effet, j'ai considéré la suite de terme général [tex] u_n[/tex] telle que [tex] u_{n+1}=f(u_n)[/tex]
Par hypothèse sur f, on sait que [tex] u_{n+1} = f(u_n) \lt u_n[/tex] d'où ma conclusion immédiate que[tex] f(0) \lt 0[/tex].

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : logique

Salut,

Par hypothèse sur f, on sait que [tex] u_{n+1} = f(u_n) \lt u_n[/tex].

C'est le même problème : l'hypothèse dit que f est strictement décroissante mais pas que [tex]f(x)<x[/tex] ?

Roro (qui ne comprend toujours pas).

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : logique

Re,

le raisonnement avec la suite est pourtant clair, non ? En tout cas, c'est comme ça que j'ai vu la solution que tu as parfaitement formalisée.

RORO, tu as raison, c'est faux de chez faux. Je dois avoir pas mal de neurones grillés actuellement ...

En fait, après réflexion, je persiste et signe. La suite est strictement décroissante de [tex]\mathbb{N}[/tex] dans [tex]\mathbb{N}[/tex].
Par construction, il existe donc un rang [tex]n_0[/tex] tel que [tex]f(u_{n_0})=0[/tex] et [tex]u_{n_0} \gt 0[/tex]
Par conséquent, [tex]u_{n_0+2} =f\left( f(u_{n_0})\right) = f(0) \lt u_{n_0+1}=0 \cdots[/tex]
ce qui contredit le fait que si f est strictement décroissante de [tex]\mathbb{N}[/tex] dans [tex]\mathbb{N}[/tex], alors [tex]\forall\, p \in \mathbb{N}^*, \, p \gt 0 \Rightarrow 0 \le f(p) \lt f(0)[/tex].

Mais je répète que ta démonstration est une parfaite formalisation de mon idée.

Dernière modification par freddy (19-04-2015 07:35:09)

kassgbada1991

Membre

Inscription : 01-04-2015

Messages : 5

Re : logique

Bonjour et merci pour vos éléments de réponse
Mais la récurrence que M.Roro me demande de montrer n'a pas l'air vraie,Eh bien selon moi
En effet,
on suppose que f existe et elle est strictement décroissante de  [tex] \mathbb{N}[/tex] dans [tex]\mathbb{N}[/tex]
on pose A={f(n),n [tex] \in [/tex] [tex] \mathbb{N}[/tex]}
pour tout n [tex] \in [/tex] [tex] \mathbb{N}[/tex]  f(n)<f(0)  [tex] \rightarrow [/tex] f(n)  [tex] \leq [/tex] f(0),pour tout n [tex] \in [/tex] [tex] \mathbb{N}[/tex]
f(0)  [tex] \in [/tex] A et il est le plus grand élément de A donc f(0) = [tex]sup [/tex] A
d'après la définition de la borne supérieure  [tex] \forall [/tex] n> 0  f(0)-n<f(n) [tex] \leq [/tex] f(0)
on trouve f(0)-n<f(n),ce qui contredit ce que vous m'avez demandé de montrer par récurrence
J'aimerais bien que vous m'aidiez pour la récurrence peut être je suis entrain de faire une erreur,merci!

Dernière modification par kassgbada1991 (16-04-2015 08:40:17)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : logique

Bonjour,

Je ré-écrit ma preuve en indiquant tous les détails :

Soit [tex]f:\mathbb N \rightarrow \mathbb N[/tex] une fonction strictement décroissante.
On note [tex]a=f(0) \in \mathbb N[/tex].

On montre par récurrence que la propriété [tex]\mathcal P_n : f(n)\leq a-n[/tex] est vraie pour tout [tex]n\in \mathbb N[/tex] :
Initialisation : [tex]\mathcal P_0[/tex] est clairement vraie puisque [tex]f(0)=a\leq a-0[/tex].
Hérédité : supposons [tex]\mathcal P_n[/tex] vraie pour [tex]n\in \mathbb N[/tex]. Puisque la fonction [tex]f[/tex] est strictement décroissante on a [tex]f(n+1)<f(n)[/tex]. Puisque cette fonction est à valeurs entières, on a donc f[tex](n+1) \leq f(n)-1[/tex]. Par hypothèse de récurrence on en déduit [tex]f(n+1) \leq a-n-1[/tex] ce qui correspond exactement à [tex]\mathcal P_{n+1}[/tex].

Finalement, en utilisant [tex]\mathcal P_{a+1}[/tex] on en déduit que [tex]f(a+1) \leq -1[/tex] ce qui contredit le fait que [tex]f[/tex] soit à valeurs dans [tex]\mathbb N[/tex].

Roro.

Dernière modification par Roro (16-04-2015 08:08:53)

kassgbada1991

Membre

Inscription : 01-04-2015

Messages : 5

Re : logique

Bonjour
Merci M.Roro d'avoir consacré votre temps pour moi.J'ai bien compris votre démonstration.Mais vous savez nous sommes toujours en mathématique;en considérant le problème de la borne supérieure de l'ensemble A que j'ai émis,qu'est ce que vous avez à me dire par rapport à ça? ou bien mon raisonnement n'est il pas logique??

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : logique

Bonjour,

d'après la définition de la borne supérieure  [tex] \forall [/tex] n> 0  f(0)-n<f(n) [tex] \leq [/tex] f(0)

Pourquoi aurait-on f(0)-n < f(n) ???
Je crois que tu te mélange un peut les pinceaux avec la notion de borne sup. En fait cette notion est inutile ici car la borne sup de A est atteinte (comme tu le dis par f(0)), c'est donc simplement un maximum.

Roro.

kassgbada1991

Membre

Inscription : 01-04-2015

Messages : 5

Re : logique

Bonjour,ok merci beaucoup M.Roro...Tout ce qui m’embête est : étant donné que f(0) est le maximum de l'ensemble A,lorsqu'on lui soustraire quelque chose strictement positive,chose écrite par [tex] f(0)-n [/tex],[tex]f(0)-n[/tex] ne peut plus majorer tous les éléments de l'ensemble.Mais je comprends l'expression [tex] f(n)\leq a-n[/tex]   a cause de [tex]\leq [/tex].

Dernière modification par kassgbada1991 (18-04-2015 23:16:17)