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ali

Invité

analyse functionnelle

Bonsoir , s'il vous plait j'ai besoin d'aide , l'exercise est le suivant

Y={x∈lp:x(2n)=0}, 1≤p≤∞ montre que l^p /Y et l^p sont  isometrically isomorpkic  .
et cesi mon effort :

Y={x∈lp:x(2n)=0}, 1≤p≤∞.  Y est un ferme dans lp.   on Definie le quotient espace lp/Y={x+Y:x∈lp}. alors,   Y est un ferme, et la  norme dans  lp/Y est definie par ||x+Y||=inf{∥x−y∥p:y∈Y}. est ce que on peut trouver une  transformation surjective et lineare  T:lp/Y→lp telle que ∥T(x+Y)∥p=∥x+Y∥?

Mon  effort: pour le  cas p=2, lp est un   espace de hilbert , donc on peut trouver un produit scalaire , donc on peut  definir une  projection orthogonal sur  l2. et on peut  verifie que  T(x+y)=x−PY(x) ( PY is projection  orthogonal sur l2) est une   transformation lineare et surjective  T:l2/Y→l2 telle que ∥T(x+Y)∥2=∥x+Y∥.

comment je continue pour pdifferent de 2

merci d'avance .

Fred

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Re : analyse functionnelle

Bonsoir,

  Je pense que si tu écris concrètement la projection dans le cas Hilbert plutôt que de dire qu'elle existe, tu trouveras la réponse à ta question dans le cas général .

Fred

ali1

Invité

Re : analyse functionnelle

nonjour
Soit x\in{\mathcal l}_p
\forall y\in Y,\ ||x-y||^p=\sum_m|x(m)-y(m)|^p\geq \sum_n|x(2n)-y(2n)|^p=\sum_n|x(2n)|^p
car y(2n)=0
et il y a égalité lorsque 4$y(m)=\left{\matrix{0\text{ si } m=2n\cr x(m)\text{ sinon}}\right. (qui est dans Y)

donc ||x+Y||^p=\sum_n|x(2n)|^p

Il  suffit alors de montrer que la fonction T:\,{\mathcal l}_p/Y\rightarrow {\mathcal l}_p\,;\,x+Y\mapsto T(x+Y)=y
définie par y(n)=x(2n) est :
- Bien définie.
- Bijective.
- Isométrique.
mais je n'arrive pas a demontrer ceci pouver vous m'aider s'il vous plait

Fred

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Re : analyse functionnelle

Tu as fait le plus difficile. Par exemple, cette application est isométrique à cause de l'égalité
[tex]\|x+Y\|^p =\sum_n |x(2n)|^p [/tex]

Pour démontrer quelle est bien définie, vérifie donc que si [tex]x_1+Y=x_2+Y[/tex], alors [tex]x_1(2n)=x_2(2n)[/tex]
pour tout entier n.

F.

ali1

Invité

Re : analyse functionnelle

bonjour Fred
voici que j'ai essayer de faire pouvez vous s'il vous plait me le coriger
on pose S : l^p/Y →l^p qui envoi u+Y sur la suite S(u+Y) : n →u(2n)
1)montrons que S est bien définie soit  x1#x2 ∈ lp telque   x1+Y = x2+Y ∈ l^p/Y  donc  x1-x2∈Y  par suite s(x1-x2+Y)(n)=(x1-x2)(2n)=0 par suite (x1)(2n) =(x2)(2n) d'ou      s(x1+Y)= s(x2+Y)
2)montrons que s est bijective :
montrons que S est lineaire soit a ∈C ,u=(un)∈l^p ,v=(vn)∈l^p
pour tout n∈N on a
S(au +v+Y)(n)=(au +v)(2n)=au(2n) +v(2n)=a S(u+Y)(n)+S(v+Y)(n)
par suite on a pour tout a ∈C u=(un)∈lp ,v=(vn)∈lp
S(au +v +Y)= a S((u+Y) +S(v+Y) donc S est lineaire
montrons que S est surjective soit  u=(un)∈lp montrons qu'il escist v+Y∈lp /Y telque
telque S(v+Y)=u
on pose pour tout n∈N v(n)={0 si n est impaire, u(n) si n est paire} on a
v=(vn)∈lp car Np(v) = ∑( |v(n)|^p)^1/p =∑( |u(2n)|^p)^1/p < =( |u(n)|^p)^1/p
et pour tout n∈N S(v+Y)(n)=v(2n)= u(n)
par suite S(v+Y)=u
d'autre part ker S ={u+Y∈l^p/Y telque S(u+Y)=0}={u+Y∈l^p/Y telque S(u+Y)(n)=0 pour tout n∈N}={u+Y∈l^p/Y telque u(2n)=0}={u+Y∈l^p/Y telque u∈Y}={0} par suite S est injective
conclusion S est bijective
3)cette application est isométrique à cause de l'égalité
\displaystyle \|x+Y\|^p =\sum_n |x(2n)|^p
conclusion  l^p /Y et lp sont  isometrically isomorpkic  .
merci

Fred

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Re : analyse functionnelle

Ça a l'air correct !