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mona123

Invité

Graphe fermé

bonjour pouver vous s'il vous plait m'aider a corriger ma reponse pour la question suivante

Soient E, F des espaces de vectoriel normés .et f  Une application linéaire de E dans F
montrer que   G_f = {(x, f(x)) | x ∈ E} est fermé dans E × F si et
seulement si x_n →0 et f(x_n) →y implique y=0
voici ma reponse
f  Une application linéaire de E dans F telque x_n →0 et f(x_n) →y implique y=0
montrons  que   G_f = {(x, f(x)) | x ∈ E} est fermé dans E × F
soit  (x_n, f(x_n))_n∈N est une suite de G_f qui converge dans E × F vers
(x, y) donc x_n-x→0 et  f(x_n-x)=f(x_n) -f(x)→y -f(x) implique y-f(x)=0  par hypothese donc y=f(x)
parsuite
  si (x_n, f(x_n))_n∈N est une suite de G_f qui converge dans E × F vers
(x, y), alors on a y = f(x) et (x, y) ∈ G_f .donc G_f est un fermé
Réciproquement, supposons que Gf est fermé.montrons  que si  x_n →0 et f(x_n) →y implique y=0
soit ( x_n )∈ E  telque
x_n →0 et f(x_n) →y
on a (x_n, f(x_n))∈ G_f  qui est un fermé et (x_n, f(x_n))→(0,y)  donc (0,y)∈ Gf donc y=f(0)=0
merci en avance

Fred

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Re : Graphe fermé

Bonjour,

Cela a l'air correct!
Fred.