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Extension d'une racine d'un polynome

Bonsoir !
J'ai cette question et j'ai besoin de l'aide s'il vous plaît.   

Soient [tex]K[/tex] un corps, \[tex]\bar K[/tex] une clôture algébrique de [tex]K[/tex], [tex]a\in K[/tex] et [tex]m,n[/tex] deux entiers strictement positifs premiers entre eux.
Soient [tex]P=X^m-a[/tex] , [tex]Q=X^n-a[/tex] et [tex]R=X^{mn}-a[/tex]. On désigne par [tex]\alpha[/tex] (resp. [tex]\beta[/tex]) une racine de [tex]P[/tex] (resp. de [tex]Q[/tex]) dans [tex]\bar K[/tex].
Supposons que [tex]P[/tex] et [tex]Q[/tex] sont irréductibles sur [tex]K[/tex]. 
1. Montrer que [tex][K(\alpha,\beta):K]=mn[/tex].
2. Montrer qu'il existe [tex]\gamma\in\bar K[/tex] tel que [tex]R(\gamma)=0[/tex] et [tex]K(\gamma)=K(\alpha,\beta)[/tex].

OK !
Pour 1, je l'ai fait. 
Pour 2, j'ai montré seulement que [tex]K(\gamma)=K(\gamma^m,\gamma^n)[/tex]. Mais j'ai bloqué ici ! :-( 

Je souhaite trouver une indication, s'il vous plaît !
Merci en avance !

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Extension d'une racine d'un polynome

Salut,

  Une piste : si [tex]\alpha',\beta'[/tex] sont deux autres racines de P (resp. Q), alors
[tex]K(\alpha,\beta)=K(\alpha',\beta')[/tex].

F.