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ymagnyma

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valeur moyenne vs espérance

Bonjour, une question me turlupine depuis une semaine ; voici l'histoire :

pour une variable aléatoire discrète, l'espérance de X est la moyenne des valeurs prises par X pondérées par les probabilités d'obtenir ces valeurs.

Par ailleurs, la valeur moyenne µ d'une fonction f intégrable sur un intervalle [a ; b] donné est le quotient de l'intégrale de f sur cet intervalle, par la longueur (b-a) de l'intervalle.
Cette valeur moyenne représente la valeur que prendrait une fonction constante g de même intégrale que f sur [a ; b].

Enfin, dans le cas ou une variable aléatoire X est continue et associée à une fonction de densité de probabilité f définie sur [a ; b],
l'espérance de X est l'intégrale sur [a ; b] de g(x)=xf(x).

Je me suis demandé s'il y a un rapport entre µ et E(X) dans le cas ou X est continue et pourquoi ces notions ne se correspondent pas.

Pour toute suggestion, merci.

Bonne fin de journée.

freddy

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Re : valeur moyenne vs espérance

Salut,

en probabilité, on parle d'espérance de la V. A, qu'elle soit discrète ou continue.
En statistique, on parle de moyenne d'une distribution = série de valeurs observées d'un même caractère. L'idée est de dire que cette série est la réalisation d'une loi de probabilité inconnue dont on peut chercher à connaître quelques paramètres, comme par exemple son espérance.
Tout le problème est de trouver le moyen de dire que la moyenne de cette distribution est une bonne approximation de l'espérance de la loi de probabilité sous-jacente.
C'est tout le rôle de la statistique mathématique !

Dernière modification par freddy (04-03-2015 23:40:30)

ymagnyma

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Re : valeur moyenne vs espérance

Bonjour et merci Freddy, (désolé de n'avoir pas répondu plus tôt, je ne "surfe" plus beaucoup).
Je crois comprendre, on se donne un indicateur statistique : l'espérance, dont on aimerait qu'il approche l'indicateur probabiliste correspondant. ça semble naturel dans ce sens, mais ...
Mais voilà, comment définit-on une loi de probabilité lié à une expérience donnée ? Par exemple, comme "limite" empirique des valeurs des fréquences obtenues de chaque résultat élémentaire après une grand nombre d'essais.

Alors, j'ai l'impression qu'on se marche dessus, non ?

bonne fin de journée.

Dernière modification par ymagnyma (07-03-2015 16:36:55)

freddy

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Re : valeur moyenne vs espérance

Salut,

ben non, on ne sait jamais qu'elle est la bonne loi, on ne fait que des hypothèses. Maintenant, il y a beaucoup de situations bien identifiées depuis longtemps. Parmi les plus courantes, Bernoulli, Binomiale, Poisson, Pascal, Polya, Géométrique, exponentielle, normale, lognormale, gamma, logistique, Student, Weibull ... Il y en a des "tonnes" !

Parfois, en effet, on ne reconnait pas une loi connue, donc on construit sa fonction de répartition comme limite des fréquences cumulées croissante obtenues, jusqu'au jour où un statisticien-probabiliste la formalise et lui donne un nom dès lors qu'elle modélise un phénomène récurrent.
Parfois enfin, il faut être malin pour identifier des loi composées, genre poisson-gamma (un des paramètres de la loi gamma suit une loi de Poisson, c'est une loi très connue par les statisticiens des compagnies d'assurances auto !) ou autre.
Mais non, on ne tourne pas en rond, car seules les réalisations d'une loi sont visibles, la loi elle-même n'est qu'une pure construction de l'esprit.

Bon, tu l'as compris, c'est un vrai métier :-)

ymagnyma

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Re : valeur moyenne vs espérance

En effet, oui, c'est un vrai métier. Je vais aller me lancer deux trois dés, bien équilibrés il va de soi !

Merci encore.