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mona123

Invité

analyse de hilbert

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a montrer l'equivalence suivante:
Soit X un espace linéaire normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec //A// ≤ C et //A_n// ≤ C pour tout n. Montrer que A_n → A dans B (X) si et
que se il ya un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y.merci en avance.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

bonjour voici l'ennoncé correct:
Soit X un espace linéaire normé. Soit A ∈ B (X) et soit {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist une constante
C  telque //A// ≤ C et //A_n// ≤ C pour tout n. Montrer que A_n → A dans B (X) si et sulement si
il ya un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que Anx → Ax pour tout x ∈ Y.

remarque //.// designe la norme dans B (X)
merci en avance.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

X un espace  VECTORIEL normé
B (X) est l'ensemble des application  linéaire bornée de X a valeur dans X
voici ma reponse
supposons
qu' il exist  un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y et montons que A_n → A dans B (X)
soit x∈ X ,comme Y est dense dans X ,il existe une suite (y_n)∈Y telque y_n→x
or en utilisant l'inegalité triangulaire on a :
∥A_nx−Ax∥≤∥A_nx−A_ny_n∥+∥A_ny_n−Ay_n∥≤C∥x−y_n∥+∥A_ny_n−Ay_n∥→0
parsuite Anx→Ax pour tout x dans X
ce qui implique que A_n → A dans B (X)
ma reponse est elle juste ? pouvez vous s'il vous plait m'aider a montrer l'autre implication.merci

Fred

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Re : analyse de hilbert

Bonjour,

  Non, ta réponse n'est pas juste. La condition [tex]A_n x\to A x[/tex] n'entraine pas nécessairement que [tex]A_n\to A[/tex] dans B(X).
Ce que tu dois démontrer est que [tex]\|A_n-A\|\to 0[/tex].

D'ailleurs, l'autre implication est beaucoup plus facile à démontrer. En effet, si [tex]\|A_n-A\|\to 0[/tex], il est clair que pour tout x, on a
[tex]A_nx - Ax\to 0[/tex].

F.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

bonjour Fred
pouvez vous s'il vous plait me dire comment corriger ma reponse.merci

Fred

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Re : analyse de hilbert

Il suffit de démontrer que
[tex]\forall \epsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ n\geq N\implies \|A_n x-Ax\|\leq \epsilon. [/tex]

Pour cela, prends [tex]y\in Y[/tex] très proche de x (le "très proche est à préciser plus tard..."), et écris :
[tex]A_n x-Ax=(A_n x-A_n y)+(A_n y-Ay)+(Ay-A_n x)[/tex]
et utilise l'inégalité triangulaire.

F.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

bonjour  Fred voici ma reponse pouvez vous s'il vous plait me la corriger:
Soit X un espace vectoriel  normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec ||A|| ≤ C et ||A_n|| ≤ C pour tout n.
1)    supposons  que A_n → A dans B (X) et montrons qu' exist un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y
on a   ||A_n - A||=sup _x∈X\{0}||A_n(x) - A(x)||_/||x||
on a donc pour tout x∈X ||A_n(x) - A(x)||≤||A_n - A||→0 quand n tend vers ∞ cr par hypothese  A_n → A dans B (X)
ce qui implique que pour tout x∈X A_n(x) → A(x)
par suite il exist Y=X dense dans X  telque  A_n(x) → A(x) pour tout x ∈ Y
2)supposons
qu' il exist  un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y et montons que A_n → A dans B (X)
soit x∈ X
[*][/*]comme Y est dense dans X ,il existe une suite (y_n)∈Y telque y_n→x
donc ∀ x∈ X ,∀ε>0 ,∃N₁>0 telque ∀n≥N₁ ||x-y_n||≤ε_/3c
[*][/*]de plus par hypothese on a  ∀y ∈ Y ,∀ε>0 ,∃N₂>0 telque ∀n≥N₂ ||A_n(y) - A(y)||≤ε_/3
parsuite on a ∀ x∈ X   ∃N=max(N₁,N₂)>0 telque ∀n≥N:
||\displaystyle A_n x-Ax||=||(A_n x-A_n yn)+(A_n yn-Ayn)+(Ayn-A x)||≤||A_n(x) - A_n(y_n)||+||A_n(y_n) - A(y_n)||+||A(y_n) - A(x)||≤||A_n||.||x-y_n||+||A_n(y_n) - A(y_n)||+||A||.||x-y_n||≤c.ε_/3c+ε_/3+c.ε_/3c=ε
parsuite on a  pour tout ∀ x∈ X
\displaystyle \forall \epsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ n\geq N\implies \|A_n x-Ax\|\leq \epsilon.
ce qui donne  A_n → A dans B (X) .
merci

Fred

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Re : analyse de hilbert

Salut,

  Non cela n'est pas correct, car il y a un problème de permutation de quantificateur...
(il faudrait que le N ne dépende pas de x, pourvu que x est de norme 1).
Plus embêtant, ton énoncé est faux.

Considère [tex]A=Id[/tex] sur un espace de Hilbert de base [tex](e_n)[/tex], et
[tex]A_n=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle e_k [/tex].

F.

mona123

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Re : analyse de hilbert

bonjour Fred POUVEZ VOUS S'il vous plait me corriger mes fautes.merci en avance

Fred

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Re : analyse de hilbert

Ce n'est pas la peine de CRIER.
Ton énoncé est faux, donc on ne peut pas prouver cela.

F.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

bonjour  Fred vous ete tout a fait raison .notre  prof nous a dernierement corriger l'enoncer et voila celui corrigé:
Soit X un espace vectoriel  normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec ||A|| ≤ C et ||A_n|| ≤ C pour tout n.
Supposons que A_nx → Ax pour tout x ∈ X.
Donner un exemple pour montrer qu'  il ne doit pas être le cas que ||A_n - A||→ 0.

on considere Soit X un espace de Hilbert  de base                 \displaystyle (e_n) et  muni de la norme infinie ||x||_∞ =\sum_{k=1}^∞ \langle x,e_k\rangle e_k
on considere
\displaystyle A=Id     
\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle e_k
on a A=Id est lineaire et vérifie ||A(x)||=||x||∞ ≤1 pour tout x appartenant a la boule unité par suite A ∈ B (X) et ||A||≤1
de meme on montre la linéarité de A_n grace a la linearité du produit scalaire par rapport a la premiere variable et on a
||A_n(x)||≤||x||∞≤1 pour tout x appartenant a la boule unité par suite A_n ∈ B (X) et ||A_n||≤1
on a ||A_n(x) - A(x) ||=||\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle e_k || -||\sum_{k=1}^∞ \langle x,e_k\rangle e_k ||=
|| \sum_{k=n+1}^∞ \langle x,e_k\rangle e_k ||
mais je ne sais pas comment continuer pouvez vous m'aider s'il vous plait.merci

Fred

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Re : analyse de hilbert

Il suffit de remarquer que [tex]A_n(e_{n+1})=0[/tex] alors que [tex]A_n(e_n)=0[/tex] pour prouver que [tex]\|A-A_n\|=1[/tex].

F.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

bonjour Fred
on a \displaystyle \|A-A_n\|≥∥An(e_n+1)−A(e_n+1)∥_{/∥(en+1)∥}=∥A(e_n+1)∥=1
mais je ne sais pas comment prouver l'autre inegalité pour obtenir \displaystyle \|A-A_n\|=1
pouvez vous s'il vous plait m'aider.merci en avance

Fred

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Re : analyse de hilbert

En réalité, tu t'en fiches de l'autre inégalité pour ce que tu veux prouver.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

donc on ecrit
\displaystyle \|A-A_n\|≥∥An(en+1)−A(en+1)∥/∥(en+1)∥=∥A(en+1)∥=1
par suite lim n→∞  \displaystyle \|A-A_n\|≥1
alors A_n ne tend pas vers A dans B(x)
merci