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aymen123

Invité

equivalence entre les normes

bonjour j'ai  besoin de votre aide  pour demontrer ce resultat :
pour 1≤p≺∞ et x = (x1, x2, ..., xd) ∈Rd montrer que la norme infini et les normes p sont equivalentes
.pour 1≤p et  q≤ + ∞ quelles sont les meilleures constantes c et C tel que c || x || _p≤ || x || _q≤C || x || _p pour tout x ∈Rn
en effet j'ai pu montrer que la norme infini et les normes p sont equivalentes mais je ne sait pas comment repondre a la suite de la question .pouvez vous m'aider s'il vous plait merci en avance .

aymen12

Invité

Re : equivalence entre les normes

bonjour voici ma reponse pour la suite:
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz nous obtenons pour tous x∈Rn
Rappelons l'inégalité de Hölder
∑_i=1ⁿ|a_i||b_i|≤(∑_i=1ⁿ|a_i|^r)^1/r(∑_i=1ⁿ|b_i|^r/(r−1))^1−1/r
Appliquez-le au cas | a_i | = | x_i | ^p, | b_i | = 1 et r = q / p> 1
on obtient
∥x∥_p=(∑_i=1ⁿ|x_i|^p)^1/p≤n^1/p−1/q∥x∥_q
d'autre part

Si x = 0, alors s'est évidemment vrai. Sinon on pose y_k = | x_k | / ∥x∥_q. on a y_k≤1 pour tout k = 1, ..., n. Par conséquent y^p_k≥y^q_k, et donc ∥y∥_p≥1  ce qui donne ∥x∥_p≥∥x∥_q
par suite on a c=1 et
C = n^{1 / p-1 / q} mais je ne peut pas montrer que c et C sont les  meilleures  constantes  possible .pouvez vous m'aider s'il vous plait.merci

Fred

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Re : equivalence entre les normes

Salut,

  Il suffit de trouver des suites pour lesquelles on a exactement par exemple [tex] \|x\|_q=n^{\frac 1p-\frac 1q}\|x\|_p [/tex].
Pour trouver cette suite, il y a deux méthodes possibles :
1. tester, en ayant un peu d'intuition
2. revenir à ta démonstration pour savoir comment tu as trouvé C. Tu l'as trouvé en utilisant l'inégalité de Hölder. Pour avoir égalité, il faudrait également avoir égalité dans l'inégalité de Hölder.

Dans tous les cas, on trouve que [tex]x=(1,\dots,1)[/tex] est un bon choix.

Pour c, c'est encore plus facile. Considère simplement [tex]x=e_1[/tex].

Fred.