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- Contributions : Récentes | Sans réponse
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#1 22-02-2015 15:16:37
- Legendre
- Membre
- Inscription : 02-07-2014
- Messages : 72
Questions
Salut à tous,
Je me posais plusieurs questions restées sans réponse...
- Y-a t-il une différence topologique de voir [tex]\mathbb{R}[/tex] comme un [tex]\mathbb{R}[/tex]-espace vectoriel ou [tex]\mathbb{Q}[/tex]-espace vectoriel ?
- Pour une norme d'algèbre [tex]||.||[/tex], comment se sert-on (matrice d'Hilbert, de Vandermonde, Cauchy... ou exercices) du résultat : [tex]||A-I_n||<1[/tex] implique [tex]A[/tex] inversible ?
- Les fonctions [tex]ζ[/tex] et [tex]Γ[/tex] sont-elles développables en série entière ?
- Comment montrer que pour tout [tex]n\in\mathbb{N}, tan^{(n)}(0)\geq 0[/tex] ?
Merci.
Dernière modification par Legendre (22-02-2015 15:17:32)
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#2 22-02-2015 21:34:04
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Questions
Beaucoup de questions.... Quelques réponses rapides :
- Y-a t-il une différence topologique de voir [tex]\mathbb{R}[/tex] comme un [tex]\mathbb{R}[/tex]-espace vectoriel ou [tex]\mathbb{Q}[/tex]-espace vectoriel ?
Je ne pense pas.
- Pour une norme d'algèbre [tex]||.||[/tex], comment se sert-on (matrice d'Hilbert, de Vandermonde, Cauchy... ou exercices) du résultat : [tex]||A-I_n||<1[/tex] implique [tex]A[/tex] inversible ?
Ca sert dans plein de problèmes... Par exemple, si tu veux démontrer que dans un espace vectoriel de dimension infinie, l'ensemble des applications linéaires continues et inversibles est un ouvert....
- Les fonctions [tex]ζ[/tex] et [tex]Γ[/tex] sont-elles développables en série entière ?
Oui! (enfin, là où elles sont définies...)
- Comment montrer que pour tout [tex]n\in\mathbb{N}, tan^{(n)}(0)\geq 0[/tex] ?
Par récurrence à partir de la formule [tex]\tan'=1+\tan^2[/tex] par exemple.
Hors ligne
#4 23-02-2015 13:27:45
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Questions
Pour le deuxième, je peux te le faire, car c'est facile. Si [tex]U[/tex] est une application linéaire continue inversible,
alors on peut écrire [tex]U+H=U(Id+U^{-1}H)[/tex]. Ainsi, si [tex]\|U^{-1}H\|<1 [/tex], [tex]U+H[/tex] est inversible.
Pour la troisième, les preuves les plus faciles utilisent un gros théorème que tu ne connais sans doute pas : toute fonction définie sur un ouvert de [tex]\mathbb C[/tex] et dérivable de la variable complexe sont développables en série entière.
Le plus élémentaire, c'est pour [tex]\Gamma[/tex] de développer en série entière à l'intérieur de l'intégrale, et d'échanger intégrale et somme.
F.
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