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mona123

Invité

espace de hilbert1

bonjour pouvez vous s'il vous plait maider a demontrer ce resultat
soit H = L² (0,1) et C¹ l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] qui ont une dérivée continue Soient t∈ [0,1] et on  définit  L: C¹ → F par l (h) = h '(t)
montrer qu'il n'y a pasune  fonction linéaire bornée sur H qui accepte de cinque L sur C¹.
merci en avance.

Fred

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Re : espace de hilbert1

Bonjour,

  Je ne comprends pas la fin de ta phrase : "qui accepte de cinque L sur C1".

F.

mona123

Invité

Re : espace de hilbert1

bonjour Fred je veut dire
montrer qu'il n'y a pas une  fonction linéaire bornée sur H qui coïncide avec   L sur C1

Fred

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Re : espace de hilbert1

Si c'était le cas, alors il existerait une constante [tex]C>0[/tex] telle que, pour toute fonction
[tex]f\in C^1,\ |L(f)|\leq C\|f\|_2[/tex]
Essaye avec la suite [tex]f_n=x^n[/tex].

mona123

Invité

Re : espace de hilbert1

bonjour Fred pouvez vous s'il vous plait  me corriger ma reponse :
Si c'était le cas, alors il existerait une constante C>0 telle que, pour toute fonction
f∈C¹, |L(f)|≤C∥f∥₂
pour  la suite f_n=xⁿ on aurait nx^n-1≤C(1/√(2n+1)) pour tout x ∈[0,1] et pour tout n ∈N
en particulier pour x=1
on obtient n≤C(1/√(2n+1)) pour tout n ∈N
en fait tendre n vers l'infini on obtient ∞≤0 absurde.
merci

Fred

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Re : espace de hilbert1

Non, désolé je me suis trompé (je n'avais pas bien lu ton énoncé).
Il faut lire [tex]\| L(f)\|_2 [/tex] (c'est une application linéaire de H dans H, non une forme linéaire).

F.

mona123

Invité

Re : espace de hilbert1

bonjour Fred
dans l’énnoncé on a  L: C1 → F avec l (h) = h '(t) et F désigne C ou R.
donc L est une une forme linéaire.n'est ce pas?
merci

Fred

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Re : espace de hilbert1

Bon, la première fois je lirai l'énoncé autrement qu'en diagonale!
Oui, c'est une forme linéaire.
Bon, ta réponse est fausse car [tex]L(x^n)=nt^{n-1}[/tex] et on ne peut pas choisir la valeur de [tex]t[/tex].
La méthode ne marche que si t=1.

Pour les autres points, il faut considérer une autre suite de fonctions!
Par exemple, la suite [tex]f_n(x)=\sin\big(n(x-t)\big)[/tex]

F.

mona123

Invité

Re : espace de hilbert1

bonjour Fred
donc la reponse est
Si c'était le cas, alors il existerait une constante C>0 telle que, pour toute fonction
[tex]f \in C1,\; |L(f)|\leq C∥f∥_2[/tex]
pour  la suite [tex]f_n(x)=\cos\big(n(x-t)\big)[/tex] on a
[tex]|L(f_n)|=|n \sin(n(x-t))|[/tex]
et
[tex]∥fn∥[/tex][tex]_{2^2}=\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{2n}(\sin(2n(1-t))+sin(2nt))\right][/tex]
mais je ne sait pas comment conclure .pouvez vous m'aider s'il vous plait.merci

Fred

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Re : espace de hilbert1

Bonjour,

  Trois remarques :
1. Tu n'as pas compris ce qu'est L. Il faut évaluer la dérivée en t.
2. Ton calcul de [tex]\|f_n\|_2[/tex] me semble faux (j'imagine que tu as oublié les valeurs absolues), mais il va suffir de majorer cette norme (et c'est facile....)
3. Il faut considérer la suite [tex]f_n(x)=\sin\big(n(x-t)\big)[/tex] et non la même chose avec le cos.

Fred.

mona123

Invité

Re : espace de hilbert1

bonjour Fred oui je suis trompé
pour [tex]\displaystyle f_n(x)=\sin\big(n(x-t)\big)[/tex]
on a
[tex]\displaystyle |L(f_n)|=|n \cos(n(t-t))|=n[/tex]
et
∥f∥₂≤1 car on major  |f_n(x)|2 par 1(sans caculer l'integral)
on aura |L(f_n)|≤C∥f_n∥₂ est equivalent a n≤C pour tout n dans N ce qui est absurde.ma reponse est elle juste maitenent.merci

Fred

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Re : espace de hilbert1

Oui, cela est correct maintenant.

mona123

Invité

Re : espace de hilbert1

merci beaucoup