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Probabilités (d'après un problème d'agrégation interne 2014)

Bonjour à tous

Dans la seconde épreuve écrite de l'agrégation interne 2014, on trouve dans la partie III, question 24 la question suivante que j'expose ci-dessous en conservant les notations de l'énoncé:

[tex]T_n\;\;(n\in \mathbb N)[/tex] est la variable aléatoire numérique [tex]\;\dfrac{B(n,x_0)}{n}\quad [/tex] où [tex]B(n,x_0)[/tex] désigne la variable binomiale de paramètres [tex] n [/tex] et [tex] x_0 [/tex] avec [tex] x_0\in ]0,1[ [/tex]. On a donc [tex] \mathbb E(T_n)=x_0 [/tex] et [tex]\mathbb V (T_n)=\dfrac{x_0(1-x_0)}{n}[/tex].

On donne d'autre part une fonction  [tex] f [/tex] de [tex][0,1] [/tex] dans [tex]\mathbb R[/tex] dérivable en [tex]x_0[/tex] et on définit la fonction [tex]g[/tex] par [tex] g(x)=f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0)        [/tex]. On a donc [tex]g(x_0)=g'(x_0)=0[/tex], ce qui entraîne [tex]g(x)=(x-x_0)\,o(x-x_0)[/tex].

La question posée est alors la suivante: démontrer que [tex]\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\mathbb E((T_n-x_0)g(T_n))}{\mathbb V(T_n)}=0[/tex].

Autrement dit, démontrer [tex]\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{\mathbb V(T_n)} \sum\limits_{k=0}^n \left(\frac{k}{n}-x_0\right)g\left(\frac{k}{n}\right)\;\mathbb P\left(T_n=\frac{k}{n}\right)=0.[/tex]

La propriété [tex]g(x)=(x-x_0)o(x-x_0)[/tex] semble bien inciter à partager la somme précédente en 2 sommes dont l'une contient les termes correspondant à des valeurs de [tex] \frac {k}{n}[/tex] "proches de [tex]x_0[/tex]". Plus précisément, [tex]\varepsilon>0[/tex] étant fixé, on peut trouver [tex]\delta>0[/tex] tel que [tex] \left|x-x_0\right|<\delta \Rightarrow \left|g(x)\right|<\dfrac {\varepsilon}{2} \left|x-x_0\right|  [/tex].

La somme partielle pour les valeurs de [tex]k[/tex] vérifiant [tex]  \left|\frac {k}{n}-x_0\right|<\delta  [/tex] se majore par [tex] \; \dfrac{\varepsilon}{2}\sum\limits_ {\underset { \left|\frac {k}{n}-x_0\right|<\delta }{k\in \{0,1,...,n     \}}        } \left|\frac{k}{n}-x_0\right|^2 \mathbb P\left(T_n=\frac{k}{n}\right)    \;\leq \dfrac{\varepsilon}{2} \mathbb V(T_n)    [/tex].

Tout semble donc marcher à merveille pour l'instant, mais ça se gâte ensuite... En effet on peut espérer une intervention des célèbres duettistes Bienaymé et Tchebycheff pour majorer convenablement la somme partielle pour  les valeurs de [tex]k[/tex] vérifiant [tex]  \left|\frac {k}{n}-x_0\right|\geq\delta  [/tex], mais ça ne semble pas donner grand chose d'utile, d'autant plus que je ne vois pas bien comment faire intervenir [tex]n\to\infty[/tex]. Par ailleurs l'énoncé ne dit rien d'autre sur [tex]f[/tex] que sa dérivabilité en [tex]x_0[/tex]. On ne sait pas si cette fonction est continue ou même bornée . Toutefois l'énoncé est assez bizarre: Dans le préambule de la partie III qui annonce l'objectif de cette partie, on lit
"Nous montrons que si [tex]f[/tex] est une fonction de classe [tex]C^1[/tex] sur [tex][0,1][/tex], alors la suite [tex](B_n(f)')_{n\in\mathbb N}  [/tex] converge uniformément vers [tex]f'[/tex]", alors qu'un constate qu'à aucun moment on ne montre cette convergence uniforme (mais seulement une convergence simple). La fonction [tex][/tex] ainsi évoquée dans ce préambule a-t-elle un lien avec la [tex] f[/tex] de la question 24 ?         ...

Merci à tous ceux qui m'enverront leur réponse ou simplement un avis.

Fred

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Re : Probabilités (d'après un problème d'agrégation interne 2014)

Bonjour,

  Pas facile de te répondre, c'est une question déjà très loin dans le problème (bien au delà de ce qu'il est nécessaire de traiter pour être admissible) et je n'ai pas le courage de passer une 1/2h à lire tout attentivement. Cela dit, deux remarques :
* il est dit en préambule du problème (première ligne après "Notations") que f désigne dans tout le problème une fonction continue sur [0,1]
* je ne suis pas sûr que BienAymé-Tchebychev soit suffisant, mais ne peux-tu pas utiliser le résultat de la question 23. Si tu ne vois pas trop comment, rappelle-toi comment démontrer Bienaymé-Tchebychev.

Fred.

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Re : Probabilités (d'après un problème d'agrégation interne 2014)

Fred, merci de ta réponse. D'accord, f est continue (j'ai lu un peu trop vite l'énoncé...). Pour le reste, je vais continuer à chercher. Peut-être en effet avec la question 23 ?  Il me paraît clair que Bienaymé Tchebicheff n'est pas suffisant pour conclure.

Fred

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Re : Probabilités (d'après un problème d'agrégation interne 2014)

En fait, tu dois sans doute utiliser que
[tex]P(|T_n-x_0|\geq \delta)=P(|T_n-x_0|^2\geq \delta^2)[/tex] et utiliser l'inégalité de Bienaymé Tchebicheff avec la variable aléatoire [tex]|T_n-x_0|^2[/tex] (ou l'inégalité de Markov avec [tex]|T_n-x_0|^4[/tex].

Fred.

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Re : Probabilités (d'après un problème d'agrégation interne 2014)

Fred,

Super, ça marche !  Il fallait bien sûr penser à faire intervenir la v.a [tex](T_n-x_0)^2[/tex] et utiliser la question 23 permettant avec Bienaymé Tchebychev de montrer que la partie de la somme correspondant à [tex] \left|\frac{k}{n}-x_0 \right |\geq \delta     [/tex] était majorée par [tex]\dfrac{C}{n^2}[/tex]. Ce n'est pas évident à priori, encore qu'un "bon" candidat aurait dû se demander pourquoi on lui avait fait faire cette question 23!

Merci et amicalement
Pierre D.

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Re : Probabilités (d'après un problème d'agrégation interne 2014)

Fred

Euh! c'est bien sûr l'inégalité de Markov et non Bienaymé Tchebycheff qu'on doit appliquer à [tex]  |T_n-x_0|^4      [/tex]

Pierre D.